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专题19 数列中常见的求和问题
1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条
对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规
格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
【答案】 (1). 5 (2).
【解析】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以
对着三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积
成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想
，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．【解析】1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设等比数列{a }满足 ， ．
n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记 为数列{log a }的前n项和．若 ，求m．
3 n
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，
所以 ；
（2）令 ，
所以 ，根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
4、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设数列{a }满足a =3， ．
n 1
（1）计算a ，a ，猜想{a }的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列{2na }的前n项和S ．
n n
【解析】（1）由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
，
即 .5、【2021年乙卷文科】设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成等
差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以
，下同方法二．
6、【2021年新高考1卷】已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
题组一、利用周期性（规律性求和）
1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）记 表示不超过实数 的最大整数，记 ，则 的值为（
）
A．5479 B．5485 C．5475 D．5482
【答案】B
【解析】由题意可知，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
所以 .
故选：B
2、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称
号.设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且
，若 数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A．4950 B．4953 C．4956 D．4959【答案】C
【解析】由 ， 可得 ，
根据累加法可得
所以 ，
故 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
时， ，
因此 .
故选：C.
题组二、裂项相消求和
2-1、（2022·河北张家口·高三期末）已知 是数列 的前 项和， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)当 时，由 ，得 ，
则 .
当 时，有 ，符合上式.
综上， .(2)由（1）得， ，
则
.
2-2、（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】解：（1）因为 ， ，当 时 ，当 时，
，所以 ，即 ，即 ，又 ，所以 是
首项为3，公比为3的等比数列，即 ．
（2）由（1）知 ， ，令 ，则 ，
所以 ．
2-3、（2022·河北唐山·高三期末）已知 是数列 的前n项和， ，且 ．
(1)证明： 为常数列；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．【解析】
【分析】
（1）由已知得 ，即 ，利用 与 的关系化简可得 化简即可得出结果.
（2）由（1）可得 ，化简可知 ，通过裂项求和可得出结果.
(1)
由已知得 ，即 ，
时，由 ， ，两式相减得 ，
则 ，又
于是 为常数列．
(2)
由（1）得 ．
则 ，
故 ．
题组三、分组求和
3-1、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ， 为等差数列；数列 满
足 ， .
(1)求数列 的前n项和 ；
【解析】(1)
解：因为 ， ， 为等差数列，所以 ，所以 ，两式相减得，
即 ，所以数列 是以2为公比的等比数列，
又 ， ，所以 ，解得 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，
所以 ；
3-2、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列 ，若满足 ，对于任意的 ，都
有 ，则称 为“指数型数列”.
(1)已知数列 的通项公式为 ，证明： 为“指数型数列”；
(2)若数列 满足： ；
（I）判断 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】
【分析】
（1）由新定义直接验证即可证明（2）（I）由题意可得 ，先求出 的通项公式，再由新定义直接验证即可.
(Ⅱ)由题意可得 ，由分组求和即可得出答案.
(1)
为“指数型数列”
(2)
（I）将 两边同除
得： ，
是以 为首项，公比为 的等比数列
是“指数型数列”
（Ⅱ）因为 ，则
3-3、（2022·山东临沂·高三期末）设数列 的前n项和为 ，且满足 ，
．(1)求数列的通 项公式：
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】
【分析】
（1）根据 化简条件可得数列为等差数列，再由 求出首项即可得出等差数列的
通项公式；
（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.
(1)
，
是以2为公差的等差数列，
，
即 ，
解得 ，
(2)
，.
题组四、错位相减
4-1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知 是公差为1的等差数列，且 ， ， 成等比
数列．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和．
【答案】（1） ．（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得 的通项公式．
（2）数列 可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解．
【详解】
（1）由题意得 ， ，故 ，
所以 的通项公式为 ．
（2）设数列 的前 项和为 ，则
，
，两式相减得
，
所以 ．
4-2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【解析】1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
4-3、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 满足 是 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【解析】
【分析】
（1）结合等比数列性质，将 全部代换为与 有关的形式，结合等差中项性质化简即可求解；（2）结合（1）可得 ，由错位相减法可求 .
(1)
设等比数列 的公比为q，
，又 ，∴ ， ， ；
(2)
，
①，
②，
①-②得： ，
.
题组五、奇偶项
5-1、（2022·山东烟台·高三期末）已知数列 满足 ， ．
(1)记 ，证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)求数列 的前2n项和 ．
【解析】(1)
依题意， ，
而 ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列， ， .(2)由(1)知， ，则有 ，
又 ，则 ，
于是有 ，
因此，
，
所以 .
5-2、(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)
(10分)已知等差数列满足，n∈N*．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前2n项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由已知可得 与已知条件两式相减可得
求得 的值，再由 求得 的值，利用等差数列的通项公式可得 的通项
公式；
的
（2）当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，再利用分组并项求和以及等比数列
求和公式即可求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，可得 ，当 时， ，可得 ，所以 .
【小问2详解】
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以
.
5-3、(2022·江苏南通海安市期中)
已知数列满足a＝1，a ＝
1 n＋1
(1)从下面两个条件中选一个，写出b，b，并求数列的通项公式；
1 2
①b＝a ＋3；②b＝a －a ．
n 2n－1 n 2n＋1 2n－1
(2)求数列的前n项和为S．
n
【答案】（1）所选条件见解析， ； ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）分 为奇数和 为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.
（2）分 为奇数和 为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果.
【小问1详解】
当 为奇数时， ，则 ，且 ，则 ，即 ，
当 为偶数时， ，则 ，且 ，
，则 ，即 ，
若选①，则 ，则 ；
若选②，则 ，则 ，
【小问2详解】
当 为偶数时，
当 为奇数时，.
1、（2022·江苏如东·高三期末）已知数列{an}的各项均为正数，其前n页和为Sn，且a ＝2，
1
.
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和.
【解析】
【分析】(1)由条件可得 ，从而可得 ，即证结论.
(2)由（1）可得 ，从而求出 ，则可得 ，由裂项相消法可求和.
(1)
由 ，即 ，则
所以
数列 是以4为首项，2为公比的等比数列
(2)
由（1）数列 是以4为首项，2为公比的等比数列
所以 ，所以
则所以
即
设数列 的前n项和
则
2、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列 满足 是 的等差中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合等比数列性质，将 全部代换为与 有关的形式，结合等差中项性质化简即可求解；
（2）结合（1）可得 ，由错位相减法可求 .
(1)
设等比数列 的公比为q，
，又 ，∴ ， ， ；
(2)，
①，
②，
①-②得： ，
.
3、．(2022·江苏南通市区期中)(本题满分10分)已知数列是公比为正数的等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和S．
n
【解析】
(1)根据题意，设公比为q，且q＞0，
∵a＝2，a＝a＋4，∴2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，
1 3 2
解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴．
(2)根据题意，得，故，
因此S＝(1＋2＋…＋n)＋(21＋22＋…＋2n)＝＋．
n
所以S．
n
4、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 ， 表示不超过 的最大整数，求 的前1000项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用 可求出；
（2）根据数列特点采用分组求和法求解.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
将 代入上式验证显然适合，所以 .
（2）因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 .
5、（2022·河北保定·高三期末）在数列 中， ，且数列 是公差为2的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据数列 是公差为2的等差数列写出通项公式即可；
（2）由 ，利用裂项相消法求和即可.
(1)
因为数列 是公差为2的等差数列，所以 ，
则 .
因为 ，所以 ，解得 .
故 .
(2)
因为 ，
所以
.
6、（2022·山东临沂·高三期末）设数列 的前n项和为 ，且满足 ，
．
(1)求数列的通 项公式：
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据 化简条件可得数列为等差数列，再由 求出首项即可得出等差数列的
通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.
(1)
，
是以2为公差的等差数列，
，
即 ，
解得 ，
(2)
，
.
