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专题05 椭圆的方程13 大考点
考点01 求椭圆的标准方程
考点02 椭圆定义的判断及应用
考点03 椭圆的筒单性质
考点04 椭圆的焦点三角形
考点05 椭圆的轨迹方程
考点06 椭圆的离心率问题
考点07 直线与椭圆的位置关系
考点08 椭圆的弦长问题
考点09 椭圆的中点弦问题
考点10 椭圆的范范围最值问题
考点11 椭圆的定点问题
考点12 椭圆的定值问題
考点13 椭圆的定直线问题
考点01 求椭圆的标准方程
1．过点
，且与椭圆
有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．
2．已知椭圆
的左右两个焦点分别为
､
，且焦距为
是
上一点，若
，且
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)
，
，焦点在坐标轴上；
(2)椭圆上一点P 到其两焦点
，
的距离之和为10；
(3)两个焦点坐标分别是
，
，并且经过点
.
4．平面内动点
满足方程
，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，下顶点为
，过原点
作
于点
，点
到直线
的距离为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆
的长轴长是焦距的2 倍，且点
在椭圆
上，则椭圆
的标准
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点02 椭圆定义的判断及应用
7．如果椭圆
上一点P 与焦点
的距离等于3，那么点P 与另一个焦点
的距离是（ ）
A．5
B．13
C．1
D．3
8．已知点
在椭圆
上，
是
的一个焦点，
为
的中点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如果点
在运动过程中，总满足关系式
，那么点
的轨迹为
（ ）
A．线段
B．射线
C．椭圆
D．双曲线
10．设
为椭圆
的两个焦点，点
在
上，若
，则
（ ）
A．9
B．18
C．20
D．36
考点03 椭圆的筒单性质
11．已知椭圆方程为
，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为3，最小值为1，则椭圆
的短轴长是（ ）
A．
B．2
C．
D．
12．已知椭圆
的长轴长是短轴长的3 倍，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（多选）已知椭圆
，下列结论不正确的是（ ）
A．焦点坐标
B．长轴长为4
C．短轴长为1
D．
焦距为
14．、若椭圆
：
的离心率是
，则
.
15．数学试卷（回忆版））已知椭圆
与椭圆
相交于
、
、
、
四点，且与
和
的四个焦点在同一个圆上，则
.
16．已知椭圆
：
左焦点为
，椭圆上顶点为
，右顶点为
，则
的面积为 .
考点04 椭圆的焦点三角形
17．已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，
为
上一点，且
的内切圆半径为
，若
在
第一象限，则
点的纵坐标为（ ）
A．
B．1
C．
D．
18．已知
为椭圆
上一点，
分别是椭圆
的左、右焦点．
的面积为
，则
的纵坐标的绝对值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知
是椭圆
的左、右焦点，点P 在C 上，且线段
的中点在以
为直径的圆
上，则三角形
的面积为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
20．已知
，
为椭圆
的两个焦点，若
上一点
满足
，则
面积
为 ．
21．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率
，点
为该椭圆上一点，且
满足
，若
的内切圆的面积为
，则
的外接圆的面积为 .
22．椭圆
左右焦点为
，
，椭圆上点
满足
，则
．
23．已知椭圆
上的点到其焦点的距离的最大值为
，最小值为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设P 为椭圆上一点，且
，求焦点三角形
的周长和面积．
考点05 椭圆的轨迹方程
24．一动圆与圆
外切，同时与圆
内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．一动圆与圆
外切，同时与圆
内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
26．已知圆C 的方程为
，直线l 为圆C 的切线，记
，
两点到直线l 的距离分别为
，
，动点P 满足
，
，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．在平面直角坐标系
中，点
在
轴上运动，点
在
轴上运动，
，且满足
，
则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．已知曲线
，从
上任意一点
向
轴作垂线段
为垂足，点
在
的延长
线上，且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．已知圆
的方程为
，直线为圆
的切线，记
两点到直线的距离分别为
，动点
满足
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点06 椭圆的离心率问题
30．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
．记以
为直径的圆与椭圆
在第一
象限的交点为
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
31．已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，过
的直线与椭圆
交于
两点，与
轴交于
点.若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
32．已知椭圆
的上焦点为
，右顶点为B，斜率为
的直线l 交椭圆
于
，
两点，若
恰好为
的重心，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
或
B．
C．1
D．
33．已知椭圆
，该椭圆上一点到直线
距离的最大值为
，则该椭圆的离心
率是（ ）
A．
B．
C．
D．
34．已知
是椭圆
的焦点，
，
分别是
上第二、四象限上的点．若四边形
为矩形，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
35．已知点
，
为椭圆
的左、右焦点，点P 为该椭圆上一点，且满足
，
若
的外接圆面积是其内切圆面积的9 倍，则该椭圆的离心率为
36．已知椭圆
，
、
分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点
，使得
，则该椭圆离心率的取值范围为 ．
考点07 直线与椭圆的位置关系
37．直线
与椭圆
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无法确定
38．直线
与椭圆
的位置关系为（ ）
A．与k 的值有关B．相切
C．相离
D．相交
39．已知
是椭圆
上一点，
是直线
上一点，则
的最小值为
.
40．若过点
的任意直线均与椭圆
相交，则实数
的取值范围是 ．
41．已知椭圆
：
的离心率为
，
为椭圆
上一点
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
有且只有一个公共点，求
的值.
考点08 椭圆的弦长问题
42．已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
.过点
的直线与椭圆
交于
两点.当
轴时，
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设
，当
面积为
时，求直线的方程.
43．已知椭圆C 的方程为
（
）上顶点为
，离心率为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为2 的直线l 经过椭圆C 的左焦点，且与椭圆C 相交于M，N 两点，求
的长.
44．已知椭圆
：
的离心率为
，焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线：
与椭圆
相交于A，B 两点，且
.求弦长
.
45．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与
交于
两点，求
的面积．
46．已知
和
为椭圆
上两点．
(1)求C 的标准方程；
(2)若过点A 的直线l 交C 于另一点B，
的面积为24，且
的外接圆圆心在y 轴上，求直线l 的方
程；
47．椭圆
的右焦点为
、右顶点为
，上顶点为
，且满足
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线与椭圆有唯一公共点
，与
轴相交于
异于
记
为坐标原点，若
，且
的面积为
，求椭圆的标准方程．
考点09 椭圆的中点弦问题
48．已知椭圆
的右焦点为
，过点
的直线交椭圆于
，
两点，若
的中
点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
49．椭圆
中，以点
为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
50．已知椭圆
，过点
的直线交椭圆于A，B 两点，且P 为线段
的中点，则直线
的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
51．直线
椭圆
相交于
两点，则弦
的中点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
52．已知中心在原点，焦点坐标为
的椭圆被直线
截得的弦的中点的横坐标为
，则
该椭圆的方程为 ．
53．已知椭圆
的长轴长为6，
是
上的一点．
(1)求
的离心率；
(2)若直线与
交于
两点，且弦
的中点为
，求的斜率．
考点10 椭圆的范围最值问题
54．已知
是椭圆
上的两点，且线段
的垂直平分线为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
55．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在
上且位于第一象限，直线
与
的另一个
交点为
，直线
与
的另一个交点为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
56．椭圆
的长轴的顶点为
，动点
在椭圆内，且
，则
的取值范
围是 ．
57．（多选）椭圆
的两个焦点分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆
焦点在
轴上，且离心率为
，则
B．若
,点
为
上一点，则
面积的最大值为
C．若直线
与
恒有公共点，则
的取值范围为
D．若以线段
为直径的圆与椭圆
有四个交点，则
的取值范围是
58．已知椭圆
：
（
）的右顶点为
，离心率为
，左、右焦点分别为
、
，
为椭圆
上不同于左、右顶点的任意一点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)求
的取值范围.
考点11 椭圆的定点问题
59．已知椭圆
，过点
的两条弦
相互垂直，若
，
，求证
直线
过定点．
60．已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线与E 交于
两点．当A 为E 的上
顶点时，
．
(1)求E 的方程；
(2)过点A 作
的垂线，垂足为M．证明：直线
过定点．
61．已知椭圆
：
经过点
，离心率是
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线与椭圆
交于
，
两点两点均不在
轴上，且以
为直径的圆过椭圆右顶点
，求证：
直线恒过定点．
62．已知椭圆
经过点
.
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)设椭圆
的左顶点为
，直线
与
相交于
两点，直线
与直线
相交于点
. 问: 直线
是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由.
63．已知椭圆
的离心率
，左右焦点分别为
､
，双曲线
的焦点
恰好是
该椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知圆
的切线与椭圆相交于
两点，那么以
为直径的圆是否通过定点？若是，求
出定点的坐标；若不是，请说明理由.
考点12 椭圆的定值问題
64．椭圆
的离心率为
，左右顶点分别为
，
，上下顶点分别为
，
，四
边形
是边长为
的菱形．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知A 是椭圆C 在第一象限上的点，B 与A 关于原点对称，
为椭圆C 的右焦点，连接
与
，并
延长交椭圆C 于D，E 两点，若直线AB 的斜率为
，直线DE 的斜率为
，试探究
是否为定值．若是，
则求出这个定值；若不是，请说明理由．
65．已知椭圆
过点
，左焦点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
相交于
两点，线段
的中点为
，点
在椭圆
上，满足
（
为坐标原点），求证：
的面积为定值，并求出该定值.
66．已知椭圆
的两个焦点为
，点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若过点
的直线与椭圆
交于
两点，求证：
的内心在一条定直线上.
67．已知动点
到定点
的距离和它到定直线
距离的比是常数
．
(1)求动点
的轨迹
；
(2)已知不过原点的直线与曲线
交于
、
两点，若直线
，直线，直线
的斜率
成等比数
列．
①求直线的斜率
；
②记以
为直径的圆的面积分别为
，试探究
是否为定值，若是，求出此值；若不是，说
明理由．
考点13 椭圆的定直线问题
68．已知椭圆C：
（
）的右焦点为
，点
在C 上，直线l 经过F 且与C 交
于
两点（不在x 轴上）.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 的斜率为
，求
；
(3)设
分别为C 的左，右顶点，直线
与
交于点T.证明：点T 在定直线上.
69．动点
与定点
的距离和点
到定直线
的距离的比是常数
，记点
的轨迹为曲
线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)记
的左焦点为
，过点
且不与
轴重合的直线与
交于
两点，证明：直线
关
于直线
对称．
70．已知椭圆
的长轴长为
，且
.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)椭圆的左、右顶点分别为
，
，经过点
的直线与椭圆
相交于不同的两点
，
（不与点
，
重合）.直线
与直线
相交于点
，求证：
，
，
三点共线.
71．如图1，圆C：
，点
，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线和直线CP
相交于点Q.当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为E.
(1)求轨迹E 的方程；
(2)过点C 且与x 轴不重合的直线l 与E 相交于M，N 两点.设点
，记直线BM，BN 的斜率分别为
，
，求
的值；
(3)过点
作直线l 交E 于G，H 两点（G 在上方），设点
，
，若直线GS 与HR 相交
于点T，证明：动点T 在某定直线上.
72．已知椭圆
过点
，且
的右焦点为
.
(1)求
的方程；
(2)设过点
的一条直线与
交于
两点，且与线段
交于点.证明：直线
平分
.
