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专题06 圆的标准方程
题型一：求圆的标准方程
题型二：由圆的方程求圆心或半径
题型三：点与圆的位置关系
题型四：与圆有关的最值问题
题型五：与圆有关的对称问题
题型六：轨迹方程
题型一：求圆的标准方程
1．圆心为
且过点
的圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断
是否在圆上即可.
【详解】由
的圆心为
，A 错；
由
的圆心为
，B 错；
由
的圆心为
，显然点
在圆上，C 对；
由
的圆心为
，D 错；
故选：C.
2．写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为
，半径是
；
(2)圆心为
，且经过点
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程；
（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．
【详解】（1）
圆心在
，半径长是
，
故圆的标准方程为
．
（2）
圆心在
，且经过点
，
故半径为
，
故圆的标准方程为
．
3．（1）写出下列圆的标准方程：
①圆心为
，半径是
；
②圆心为
，且经过点
.
（2）求下列各圆的圆心坐标和半径：
①
；
②
.
【答案】（1）①
；②
（2）①圆心为
，半径为
；②圆心为
，半径为3
【分析】
（1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程．
（2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径．
【详解】
（1）①
圆心在
，半径长是
，故圆的标准方程为
．
②
圆心在
，且经过点
，故半径为
，
故圆的标准方程为
．
（2）①
，即
，故圆心为
，半径为
，
②
，即 即
，故圆心为
，半径为3.
4．求经过两点
，
且圆心在
轴上的圆的方程．
【答案】
【分析】根据圆心在
轴上设出圆心坐标
和半径，写出圆的方程，然后把
与
的坐标代入即可
求出
和
的值，写出圆的方程即可．
【详解】设圆心坐标为
，半径为，则圆的方程为
，
∵圆经过两点
，
，
∴
，两式相减，可得
，解得
,
故
，
∴圆的方程为
.
5．求圆心为
，半径为5 的圆的标准方程，并判断点
，
是否在这个圆上．
【答案】
，点
在这个圆上，点
不在这个圆上
【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点
是否在图上．
【详解】圆心为
，半径为5 的圆的标准方程是
,
因为
，所以点
的坐标满足圆的方程，
所以点
在这个圆上．
因为
，所以点
的坐标不满足圆的方程，
所以点
不在这个圆上（如图）．
6．求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心为原点，半径是3；
(2)已知圆
经过
两点，圆心在
轴上；
(3)经过点
，圆心为点
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据圆的标准方程求解即可；
（2）利用圆的几何性质，先找到圆心，再求半径即可；
（3）利用圆心到圆上任意一点均为半径，求出半径即可.
【详解】（1）根据圆的标准方程可知
，所有可得
.
（2）由题
，所以其垂线斜率
，且中点为
，即
，所以可求得其垂直平
分线为
，
由圆的垂径定理可知，
与
轴的交点
即为圆心
的坐标，所以半径为
，所以
圆
的方程为
.
（3）圆的半径
，圆心为点
所以圆的方程是
题型二：由圆的方程求圆心或半径
7．圆
的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用圆的标准方程直接写出圆心即可.
【详解】由题可知圆心坐标为
.
故选：B
8．圆C：
的半径为（ ）
A．9
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】由圆的标准方程直接得出答案．
【详解】∵以
为圆心，为半径的圆的标准方程是
，
∴圆C：
的半径为3，
故选：C．
9．圆
的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程，直接得到圆心和半径.
【详解】根据圆的标准方程
，
即可得圆心坐标为
，半径为
.
故选：B
10．根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)圆心为
，半径为5；
(2)圆心为
，半径为
；
(3)圆心为
，半径为
；
(4)圆心为
，半径为3.
【详解】（1）解：因为圆的方程为
，即
，
所以圆心为
，半径为5；
（2）解：因为圆的方程为
，即
，
所以圆心为
，半径为
；
（3）解：因为圆的方程为
，即
，
所以圆心为
，半径为
；
（4）因为圆的方程为
，即
，
所以圆心为
，半径为3.
题型三：点与圆的位置关系
11．点P
与圆
的位置关系为（ ）
A．点
在圆外
B．点
在圆上
C．点
在圆内
D．无法确定
【答案】A
【分析】先求点
到圆心的距离，再根据这个距离与圆的半径的关系确定点与圆的位置关系.
【详解】因为圆
的圆心为：
，半径为：1.
由点
与圆心
的距离为：
，
又
.
所以点
在圆
外.
故选：A
12．“
”是“点
在圆
内”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先求出“点
在圆
内”的充要条件，对比即可得解.
【详解】点
在圆
内
，
所以“
”是“点
在圆
内”的充分不必要条件.
故选：A.
13．点
与圆
的位置关系为（ ）
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．与m 的值有关
【答案】A
【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果.
【详解】
，
在圆
外，
故选：A.
14．已知圆
的方程为
，则点
在（ ）
A．圆内
B．圆上
C．圆外
D．不确定
【答案】C
【分析】根据该点到圆心的距离与圆的半径进行比较即可.
【详解】圆心为
，半径为
，
因为
，
所以
在圆外，
故选：C
15．已知点
，则该点与圆
的位置关系是 ．
【答案】在圆的外部
【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得.
【详解】由圆
的圆心
到点
的距离为
，
知点
在圆的外部.
故答案为：在圆的外部.
16．点
与圆
的位置关系如何？
【答案】答案见解析
【分析】将点的坐标代入圆的方程的左端与半径的平方比较大小即可.
【详解】圆心为
．
因为
，所以点
在圆上；
因为
，所以点
在圆外；
因为
，所以点
在圆内．
题型四：与圆有关的最值问题
17．已知直线
过定点
，若
为圆
上任意一点，则
的
最大值为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径.
【详解】由
，得
，所以直线过定点
，
由
，知圆心坐标
，半径为2，
所以
到圆心的距离为
，
所以
在圆外，故
的最大值为
.
故选：C.
18．已知点
的坐标为
，动点
满足
，
为坐标原点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
点的轨迹为以点
为圆心，
为半径的圆，从而
的最大值为
，得到答案.
【详解】点
的坐标为
，动点
满足
，
故
点的轨迹为以点
为圆心，
为半径的圆，
圆的方程为
，
圆心
与原点
的距离为
，
则
的最大值为
.
故选：B
19．已知点
在圆
上，点
，则
的值可能为（ ）
A．1
B．7
C．13
D．15
【答案】B
【分析】先确定
在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到
的取值范围即可.
【详解】因为
，所以点
在圆内，
又圆心
，半径为7，点
到圆心的距离为
，
所以
，即
的取值范围为
，
所以
的值可能为7.
故选：B.
20．已知点A(3,0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P 到点A 距离的最大值和最小值分别是 ．
【答案】5，1
【分析】根据点
的坐标和圆的方程得到圆的半径为2，圆心到点A 的距离为3，然后结合圆的性质即可得
到圆上一点P 到点A 距离的最大值和最小值.
【详解】圆的半径为2，圆心到点A 的距离为3，根据圆的性质可得，圆上一点P 到点A 距离的最大值是3
＋2＝5，最小值是3－2＝1.
故答案为：5，1.
21．已知直线
，直线
，若与
的交点为
，且
，则
的最
小值为 ．
【答案】2
【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点
的轨迹，最后结合点
的位置求出
的最小值.
【详解】可变形为
，由
可得
，则恒过定点
，
同理可得
恒过定点
，且有
，则
，
此时
的轨迹是以
为直径的圆：
.
因
，由图知，当点
在线段
上时，
的值最小，其最小值为
.
故答案为：2.
22．实数
、
满足
，则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据
几何意义为圆上的点
与
距离的平方，找出圆上的与
的最
大值，再平方即可求解.
【详解】解：由题意知：设
，
，
则
为圆
上的点，
圆
的圆心
,半径
，
则
表示圆上的点
与
距离的平方，
又因为
,
所以
；
故
的最大值是
.
故答案为：
.
题型五：与圆有关的对称问题
23．若圆
上存在两点关于直线
对称，则
的最小值
是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．8
【答案】B
【分析】利用圆的对称性与基本不等式中“1”的妙用解题.
【详解】由题可知圆的圆心为
，若圆上存在两点关于
对称，则说明直线过圆心，即
，即
，变形可得
故
当且仅当
，即
时取得等号，故最小值为4.
故选：B
24．若圆
关于直线
对称，则直线l 的斜率是（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可得直线经过圆心，求出
即可得出斜率.
【详解】由题可得直线
经过圆心
，
则
，解得
，
则直线l 的斜率是
.
故选：C.
25．若圆
关于直线
对称，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】圆关于直线对称，则圆心在直线上，代入求值即可．
【详解】圆
关于直线
对称，
所以圆心
在直线
上，得
.
故选：D
26．若直线
始终平分圆
的周长，则
等于（ ）
A．3
B．2
C．5
D．1
【答案】A
【分析】根据直线平分圆可知圆心在直线上，代入直线方程即得
值.
【详解】由题直线
始终平分圆
的周长，
可知，圆心
在直线
上，所以
，即
.
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的对称轴，属于基础题.
27．已知圆
上存在两点关于直线
对称，则
的最小值
是 ．
【答案】2
【分析】依题意有直线过圆心，得到
，再利用重要不等式求
的最小值.
【详解】圆
上存在两点关于直线
对称，所以直线过圆心，有
，即
.
，当且仅当
，即
时等号成立.
∴
，即
，所以
时，
的最小值
为2.
故答案为：2
28．设曲线
关于直线
对称，则
．
【答案】
【分析】利用圆的性质，可知圆心在直线
上，即可求
.
【详解】
表示圆心是
，半径
的圆，由条件可知，圆心
在直线
上，即
，得
.
故答案为：
题型六：轨迹方程
29．已知
为圆
：
上的动点，点
满足
，记
的轨迹为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据
得到
，代入圆中，得到轨迹方程.
【详解】设
，因为
，所以
，
又
在圆
：
上，
故
，即
的方程为
．
故选：C
30．已知圆
是圆
上一动点，点
为线段
的中点，则动点
的轨
迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，由题设得
，代入已知圆方程整理即可得动点M 的轨迹方程；
【详解】解：设
，
M 为线段
的中点，
，
，
而A 是圆C 上一动点，
故
，
整理得：
，
即
，
故动点M 的轨迹方程为
.
故选:C.
31．已知曲线
，设曲线
上任意一点
与定点
连线的中点为
，则动点
的轨迹方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程.
【详解】设
，因为
为
的中点，所以
，即
，
又因为点
在曲线
上，所以
，即
．
所以点
的轨迹方程为
，即
．
故选：B
32．已知
，
，动点
满足
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意列出等式并化简即可.
【详解】由题可知
,
所以
,
化简得
,
故选：C,
33．已知等腰三角形
的底边
对应的顶点是
，底边的一个端点是
，则底边另一个端点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解.
【详解】设
，由题意知，
，
因为
是以
为底边的等腰三角形，于是有
，
即点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
又点
，
，
构成三角形，即三点不可共线，
则轨迹中需去掉点
及点
关于点
对称的点
，
所以点
的轨迹方程为
（去掉
，
两点），
故选：C.
34．平面上一动点
满足：
且
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，借助两点间距离公式代入计算后化简即可得.
【详解】设
，由
，所以
6，
整理得
，即动点
的轨迹方程为
.
故选：C.
35．已知点
，点
为圆
上任意一点，则
连线的中点轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】首先设中点坐标为
，再设出相关点
的坐标，代入圆的方程，即可求解.
【详解】设
连线的中点为
，则
，
则
，即
.
故答案为：
