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2023-2024 学年高二数学上学期期末模拟考试
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C A B A D B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABD 10．ACD 11．BCD 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．12 16．6
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【详解】（1）由 ，
则 ，
则 ，
，
故 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列 ...................................................5分
（2）由（1）可知， ，故 ，
故
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司．...................................................10分
18．（12分）
【详解】（1）圆 即 ，
圆心为 ，半径 ，
若直线 的斜率不存在，则 的方程为 ，................................................2分
将 代入圆 的方程，解得 或 ，
所以 ，符合条件；
若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，
即 ．
因为 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ， 解得 ，所以直线 的方程为 ，
综上，直线 的方程为 或 ...................................................6分
（2）设圆 的方程为 ．
因为圆 经过点 ，且与圆 相切于点 ，
所以圆心 在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以圆 的方程为 ．...............................................12分
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．（12分）
【详解】（1）连接 ，记 ，再连接 ，如图所示．
因为四边形 是菱形， ， ，
所以O是 的中点， ， ， ．
在 中， ，O是 的中点， ，所以 ， ，
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；.................................................6分
（2）若 ， ， ，
所以 ，所以 ．
以O为坐标原点OA，OB，OP，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图
所示．所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面PAD的一个法向量 ，所以
令 ，解得 ， ，
所以平面 的一个法向量 ．.................................................8分
设 ，
所以 ，
设直线BE与平面PAD所成角的大小为θ，
所以 ，
解得 ，所以 ．................................................12分
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．（12分）
【详解】（1）因为 ，当 时，
两式相减得
化简得 ，
， ，
当 时， ，解得 或 （舍去）
故数列 是以2为首项，2为公差的等差数列．
．.................................................6分
（2）由（1）知， ， ，
， ， ，
， ， 成等比数列， ，
即 ，整理得： ，
或 ．
①当 时， ，所以 （定值），满足 为等差数
列，.................................................9分
②当 时， ，
， ， ，
4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司不满足 ，故此时数列 不为等差数列（舍去）．
综上可得 ．................................................12分
21．（12分）
【详解】（1）因为： 关于原点对称，且双曲线 也关于原点对称，所以： 在双曲线 上，
对于点 ， ， ，所以： ，所以点 不在双
曲线 上，
所以： 都在双曲线 上，所以： ，解得： ，
所以：双曲线 的标准方程为： ..................................................5分
（2）由题意，双曲线 的两条渐近线方程为 ，由双曲线的对称性，不妨设 为双曲
线 右支上的动点，且 ， ，
将直线方程与渐近线方程联立： ，化简得： ，
又因为： 在双曲线 ： ，所以： ，所以：
，.................................................8分
由根与系数关系得： ，设渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
所以： ， ， ，
所以： ，
即 的面积为定值2................................................12分
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．（12分）
【详解】（1）由抛物线 经过点 ，得 .
所以抛物线 的方程为 ，其准线方程为 ................................................5分
（2）抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 .
由 ，得 .
设 ，则 .
直线 的方程为 ，令 ，得 ，同理 .
由抛物线的对称性可得若以 为直径的圆过定点，则定点必在 轴上.
设 ，则 ，
所以 .
令 ，即 ，得 或 .
综上，以 为直径的圆经过 轴上的定点 和 ................................................12分
6
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