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专题05 直线与平面的夹角五大题型
题型一：定义法求直线与平面所成角
题型二：向量法求直线与平面所成角
题型三：根据线面角求参数
题型四：直线与平面所成角的最值（范围）问题
题型五：直线与平面所成角的探索性问题
题型一：定义法求直线与平面所成角
1．如图，在长方体
中，
，
，则
与平面
所成角的大小为
，
与平面
所成角的正弦值为 ．
【答案】 0/
/
【分析】利用平面
平面
可得
与平面
所成角；取
是
的中点，先证
平
面
，然后可解.
【详解】根据长方体的性质可知：平面
平面
，
又
平面
，∴
平面
，
∴
与平面
所成角的大小为
．
设
是
的中点，连接
，由于
，
∴
，∴
，
根据长方体的性质可知
平面
，
平面
，∴
，
由于
，
平面
，
∴
平面
，
∴
是直线
与平面
所成角，
又
，
，
∴
．
故答案为：0；
.
2．在三棱柱
中，
平面
，
为正三角形，
，则
与平面
所
成角的正切值为 .
【答案】
【分析】找到
在平面
内的射影，由线面角的定义求解.
【详解】
为
中点，连接
，如图所示，
在三棱柱
中，
平面
，则
平面
，
平面
，则
，
为正三角形，
为
中点，则
，
平面
，
，
平面
，
在平面
内的射影为
，则
与平面
所成角为
，
，则
，
，
，
中，
，
所以
与平面
所成角的正切值为
.
故答案为：
.
3．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，底面
为矩形，
，
为
等边三角形，则直线
与平面
所成角的正弦值为 .
【答案】
/
【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可
求解.
【详解】取
中点为
，连接
,
由于
是等边三角形，所以
因为平面
平面
，其交线为
,
平面
,
所以
平面
，
是直线
与平面
所成角．
不妨设
，
在等边
中，
，
，所以
，
故
故直线
与平面
所成角的正弦值为
．
故答案为：
4．正方体
中直线
与平面
所成角的大小为 .
【答案】
【分析】利用直线与平面夹角的定义及正方体的特征即可求解.
【详解】根据题意，如下图所示，连接
，与
交于点E，
易知
，由
平面
，得
，
又
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
可知
是直线
与平面
所成的角，
在正方形
中，
，
故直线
与平面
所成角的大小为
.
故答案为：
.
题型二：向量法求直线与平面所成角
5．若在空间直角坐标系
中，点
，平面OMQ 的一个法向量
，则直线OP 与平
面OMQ 所成角的大小为 ．
【答案】
【分析】应用向量法求线面角的大小即可.
【详解】由题设
，且平面OMQ 的一个法向量
，
令直线OP 与平面OMQ 所成角为
，
则
，所以
.
故答案为：
6．在四棱锥
中，
底面
，底面
是边长为1 的正方形，
，则直线PB 与平
面PCD 所成角的正弦值为 .
【答案】
/0.4
【分析】由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面
的法向量，利用
线面角的正弦向量夹角公式进行求解.
【详解】因为
底面
，
平面
，
所以
，
，
又底面
是边长为1 的正方形，
所以
，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
，故
，
设平面
的法向量为
，
则
，
解得
，令
，则
，故
，
，
PB 与平面PCD 的夹角正弦值为
.
故答案为：
7．在棱长为2 的正方体
中，
为正方形
的中心，
为
上一动点，现有如下两
个条件：①
，②
，若选 ，则直线
与平面
夹角的正弦值为 ．
【答案】 ①或②（两者选填一个）
（当空1 填①时)或
(当空1 填②时）
【分析】建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值.
【详解】如图所示，分别以
为
轴建立空间直角坐标系
，
则
．
设平面
的法向量为
，则
即
取
可得
，
设
与
夹角为
，直线
与平面
夹角为
．
若选择条件①：此时
，
，
则
．
若选择条件②：此时
，
，
则
.
故答案为：①；
. (或②；
)
8．如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，
，
，
，二面角
的平面角为
．设M，N 分别为AE，BC 的中点，直线BM 与
平面ADE 所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，先由线面垂直的判定定理可证
平面
，然后过点
做
平行线
，所以
以点
为原点，
，
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，结合空
间向量的坐标运算即可得到结果.
【详解】
过点
、
分别做直线
、
的垂线
、
并分别交于点
、
．
∵四边形
和
都是直角梯形，
，
，
由平面几何知识易知，
，则四边形
和四边形
是矩形，∴在Rt
和Rt
，
，
∵
，且
，
∴
平面
是二面角
的平面角，则
，
∴
是正三角形，由
平面
，得平面
平面
，
∵
是
的中点，
，又
平面
，
平面
，可得
，而
，
∴
平面
，
过点
做
平行线
，所以以点
为原点，
，
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空
间直角坐标系
，
设
，则
，
设平面
的法向量为
，
由
，得
，取
，
设直线
与平面
所成角为
，
∴
．
故答案为：
9．如图，
平面
，
，且
，则直线
与平面
所成角的正切值为
.
【答案】
【分析】根据几何性质建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，得到直线
的方向向量与平面
的法
向量，进而求出直线
与平面
所成角的正切值.
【详解】解：由题意，在
中，
，且
，
∴
是等腰直角三角形，
，
，
设
，则
，
∵
平面
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
建立空间直角坐标系如图所示：
则
,
,
,
,
∴平面
的一个法向量为：
，
,
设直线
与平面
所成角为
，
∴
，
∴
，
.
故答案为：
.
10．如图所示，在几何体
中，
，
平面
，则点E 到直线
的距离为 、直线
与平面
所成角的正
弦值为 ．
【答案】
【分析】建立坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】以A 为原点，
的方向分别为x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则
．
．
因为
，所以
，所以点E 到直线
的距离为
．
记平面
的法向量为
，
则
令
，得
．
因为
，所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
故答案为：
；
11．正三棱锥
的侧面都是直角三角形，E，F 分别是棱
，
的中点，则
与平面
所成角
的正弦值为 ．
【答案】
【分析】由已知可得
两两垂直，设
.以点
为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到各点
的坐标，通过向量求出平面
的一个法向量
，进而通过向量即可求出结果.
【详解】由已知可得，
两两垂直，且
.
设
，由已知可得，
，
.
如图，连结
.以点
为坐标原点，分别以
所在的直线为
轴，如图建立空间直角
坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
，
.
设
是平面
的一个法向量，
则
，则
，取
，则
.
所以
，
与平面
所成角的正弦值为
.
故答案为：
.
12．如图，在三棱锥
中，底面
是等腰直角三角形，
底面
是
的中点，
是
的中点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）在平面
内，过点
作
，以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴､
轴､
轴建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明结论；
（2）求出
以及平面
的法向量
，再利用空间向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）在平面
内，过点
作
，
由题知，
，
所以
，
所以
.
因为
底面
，且
在平面
内，
所以
，
所以
两两垂直，
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴､
轴､
轴建立空间直角坐标系
如图所示，
则
，
，
设
，因为
，所以
所以
，所以
，
易知平面
的一个法向量为
，
所以
，所以
，又因为
平面
.
所以
平面
.
（2）由（1）知，
，
设平面
的法向量为
，
则
令
，得
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
又
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
13．如图，圆柱
中，
是底面圆
上的一条直径，
分别是底面
圆周上的一点，
，且点
不与
两点重合．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到
，由线面垂直得到
，从而得到线面垂直，
面面垂直；
（2）先得到
为二面角
的平面角，
为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平
面
的法向量，由线面角的向量公式求出直线
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）因为
是底面圆
上的一条直径，
所以
，
因为
底面圆
，
所以
底面圆
，
因为
底面圆
，所以
，
因为
平画
，所以
平画
，
因为
平面
，所以平面
平面
．
（2）因为
底面圆
圆
，
所以
，
又
，又
，所以
为等边三角形，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
，设
，故
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
则
，
解得
，令
，得
，故
，
设直线
与平面
所成角的大小为
，
则
，
直线
与平面
所成角的正弦值为
．
14．如图，三棱柱
中，底面
是边长为2 的正三角形，
，
，
为
的中点.
(1)求证：
⊥平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）由已知利用勾股定理的逆定理可得
，可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线
与平面
所成角的正弦值.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
，
所以
，又因为
，
平面
，
所以
⊥平面
；
（2）以
为原点，
直线为
轴，在平面
内过点
与
垂直的直线为
轴，直线
为
轴建立空
间直角坐标系，如图所示，
则
，
所以
，
所以
.
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
题型三：根据线面角求参数
15．已知四棱锥
的底面为平行四边形，
，
，
，
平面ABCD，直
线PD 与平面PAC 所成角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD 与平面PAC 的线面角，可求出PD.
【详解】
，
，
，
由余弦定理得
，即
，
则有
，所以
，
又
平面ABCD，以D 为原点，
的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角
坐标系，
设
，由
，
，
得
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面PAC 的法向量为
， 则
，
令
，则
，
，所以
，
直线PD 与平面PAC 所成角为
，所以
，
则有
，解得
， 则
.
故选：C.
16．设平面
的一个法向量为
，直线l 的一个方向向量为
，若直线l 与平面
所成的
角为
，则正数
.
【答案】
【分析】根据线面角的向量计算公式得到方程，解得即可；
【详解】解：依题意可得
，
即
，解得
或
（舍去）；
故答案为：
17．在三棱锥
中，
，
，
，
是
的中点，且平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)已知平面
经过直线
，且
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求三棱锥
的
体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
【分析】（1）由平面
平面
，得到
平面
，再结合
即可求证；
（2）建系，设
求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解
，利用体积公式计计
算得出结果.
【详解】（1）因为平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以
平面
.
又
平面
，所以
.
又
平面
，
所以
平面
.
（2）记
的中点为
，连接
，
因为
，所以
，
因为平面
平面
，所以
平面
.
因为
分别是
的中点，所以
，又
，所以
.
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
设
，则
，
所以
.
由题知
，设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，则
.
则
.
化简可得
，解得
或
，
三棱锥
的体积
，所以体积为
或
.
18．如图，在三棱锥
中，
是边长为4 的正三角形，
与底面
的夹角
为
，且
是线段
上的点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AC 的中点O，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定性质得
，再结合余弦
定理，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.
（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量求法列式求解.
【详解】（1）取
的中点O，连接
，由
是等边三角形，
是等腰三角形，
得
，
，又
平面
，则
平面
，
而
平面
，于是平面
平面
，
在平面
内射影为直线
，
即为
与底面
的夹角，
，
由正
边长为4，
，得
，
，
在
中，由余弦定理得
，
而
，解
，因此
，
，
又
平面
，则
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由（1）知，直线
两两垂直，以O 为原点，直线
分别为
轴建立空间直角
坐标系，
则
，
，
设
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，得
，由
与平面
所成角的正弦值为
，
得
，整理得
，而
，解得
，
所以
19．如图，四棱锥
的底面为正方形，
平面ABCD，E，F 分别是线段PB，PD
的中点，
是线段PC 上的一点．
(1)求证：平面
平面PAC；
(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为
，求CG 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
．
【分析】（1）连接BD，由线面垂直的性质得到
，再由面面垂直的判定定理证明可得；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设
，求出平面AEF 的一个法向量，代入空间线
面角公式计算可得.
【详解】（1）连接BD，因为E，F 分别是线段PB，PD 的中点，所以
．
因为
平面
平面ABCD，所以
，即
，
又ABCD 为正方形，所以
，即
又
平面PAC，所以
平面PAC，
又
平面EFG，所以平面
平面PAC．
（2）如图，以
为原点，分别以AB，AD，AP 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系
，则
，
设
，则
．
设平面AEF 的一个法向量为
，则
，令
得
．
设直线AG 与平面AEF 所成角为
，则
解得
或
，所以
或
．
题型四：直线与平面所成角的最值（范围）问题
20．如图，在四棱锥
中，
是边长为2 的正三角形，且二面角
的大小为
．底
面
为平行四边形，
，
，点Q 在棱
上且
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需证明
，再结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）以
为坐标原点，
，
所在直线为x，y 轴，过A 且垂直平面
的直线为z 轴，建立空间直
角坐标系，求直线
的方向向量与平面
的法向量，由向量夹角公式可得
，结合
即可求解.
【详解】（1）若
，即Q 为
中点，连接
交
于点M，连接
，
因为
为
的中位线，所以
，
因为
平面
，
面
，
所以
平面
．
（2）因为
，
，
，所以
．
以A 为坐标原点，
，
所在直线为x，y 轴，过A 且垂直平面
的直线为z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
是边长为2 的正三角形，所以P 和
中点连线的距离为
，
因为二面角
的大小为
，
所以点P 到底面
的距离为
，
点P 在底面的射影到
的距离为
，
所以点P 在底面
的射影在边
上且靠近C 的四分之一等分点处，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
又
，
．
又
，设平面
的一个法向量
，
则
，即
，
令
，则
，
，
即
，
，
又
，设直线
与平面
所成角为
，
则
，
整理得
．
所以当
时，
，
所以
．
即直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
．
21．如图，已知底面
是正三角形，
平面
，
平面
，
．
(1)若
，
是
中点，证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）由已知有
，取
中点
，连接
，
，易证
，再应用线面平行的
判定证明结论；
（2）令
，取
中点为
，连接
，过
作
，且交
于
，构建合适的空间直
角坐标系，标出相关点坐标，求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角的最大正弦值，
【详解】（1）
，
均垂直于平面
，
，
取
中点
，连接
，
，
，
，
且
，
又
且
，故四边形
是平行四边形，
，又
平面
，
平面
，
平面
；
（2）令
，取
中点为
，连接
，过
作
，且交
于
，
，
平面
，
平面
，
是正三角形，所以
，
，
以
为坐标原点，
，
，
方向为
，
，
轴正方向，建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，所以
，
，
设平面
法向量
，则
，所以
，
取
，则
，
又
，设
与平面
所成角为
，则
所以，当
时，
最大值为
，
综上，直线
与平面
所成角正弦值的最大值为
.
22．如图，
是圆柱
的一条母线，
是底面的一条直径，
是圆
上一点，且
.
(1)求三棱锥
的体积最大值；
(2)求直线
与平面
所成角正弦值的最大值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由底面
面积最大时，三棱锥的体积最大.即可求解；
（2）建系，求得直线方向向量及平面法向量，代入夹角公式，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由于三棱锥
的高
，所以当底面
面积最大时，三棱锥的体积最大.
又
是底面圆的一条直径，所以当
时，底面
的面积最大.
此时
.
（2）如图以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系系，则
，
设平面
的一个法向量为
，
记
，则
，
所以
，
则直线
与平面
所成角的正弦值为
，
当且仅当
时等号成立.
故直线
与平面
所成角正弦值的最大值为
.
23．如图，四棱锥
中，
平面
，
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，动点
在
内（含边界）且
.
（ⅰ）求线段
的轨迹形成的面积；
（ⅱ）设直线
与平面
所成角为
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
.
【分析】（1）通过线线垂直证明
平面
，即可完成证明；
（2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，设
的坐标为
，由
可得动点
的轨迹，即
可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）可设
，据此可表示出平面
的法向量，然后由空间向量结合三角函
数知识可得答案.
【详解】（1）
由
，
可知，
三角形
为等腰直角三角形，
，
，
又因为
，由余弦定理得：
，
即得
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
平面
，所以
平面
.
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）（ⅰ）依题意，建立如图坐标系
，
设
的坐标为
，
，
由
，
化简得：
，即
，
则动点
的轨迹是以线段
的中点为圆心，以1 为半径的圆弧，
由于线段
的中点
，所以该圆弧经过点
，
故动点
的轨迹是四分之一圆弧
，
线段
的轨迹形成的面积为圆锥侧面的
，面积为
；
（ⅱ）由（ⅰ）可设
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
即
取
，则
，
则
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
综上所述，
.
24．在四棱台
中，
，
，
，
，
.
(1)证明：
.
(2)若四棱台
的体积为7，
（i）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（ii）若
为棱
上一动点，求平面
与平面
所成角余弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）由线线垂直得
平面
，得
，进一步得
平面
，从而得到
；
（2）（i）由四棱台
的体积为7 得
，以D 为坐标原点，分别以
所在直
线为
轴建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，利用线面角的向量求法得到
与平面
所成角的正弦值；
（ii）因为
为棱
上一动点，设
，分别求出平面
与平面
的法向量，用
表示出两平面所成角的余弦值，从而求得最大值.
【详解】（1）在
中，
，所以
，所以
，即
，
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
.
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）因为
，
，
所以
，所以
.
（i）以D 为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
则
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，得
，
，所以
，
因为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（ii）
，
则
，
设
，
，
设平面
法向量
，则
，
即
，
令
，得
，所以
，
由题意可得平面
的法向量
，
所以
，
即平面
与平面
所成角余弦值为
，
因为
，所以当
时，
取得最大值
，
所以平面
与平面
所成角余弦值的最大值为
.
题型五：直线与平面所成角的探索性问题
25．如图，四棱锥
的底面
是边长为3 的正方形，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)已知点
在线段
上，且
（
），若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
．
【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理得
平面
，再根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判
定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，利用
得
，利用线面角的
向量公式列式求解即可.
【详解】（1）因为四边形
是正方形，所以
，
因为
，
，所以
．
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，即
．
因为
，
，
，所以
，
所以
，即
，
因为
，
，
平面
，所以
平面
.
（2）由（1）知
，
，
两两垂直，
因为
，
，所以
．
以点
为原点，
，
，
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设
，所以
，
，
因为
，
，所以
，
即
所以
所以
，
，
设
是平面
的一个法向量，则
所以
令
，则
所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，解得
或
．
26．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
平面
，平面
平面
，
.M，N 分别为AB，PC 的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)在棱PA 上是否存在一点E，使得直线DE 与平面
所成角为
.若存在，确定点E 的位置，若不存在，
说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在，点
为
中点.
【分析】（1）取
的中点
，利用平行公理、线面平行的判定推理即得.
（2）取
的中点
，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证.
（3）由（2）可得直线
两两垂直，以
为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求
解即可.
【详解】（1）在四棱锥
中，取
的中点
，连接
，由
分别为
的中点，
，又四边形
是菱形，则
，
于是四边形
是平行四边形，
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的中点
，连接
，由
，得
，又平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，则
平面
，
而
平面
，于是
，由
平面
，
平面
，
得
，又
平面
，
所以
平面
.
（3）由（2）知，
，又四边形
是菱形，则四边形
是正方形，
直线
两两垂直，以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
假定在棱PA 上存在一点E，满足条件，令
，
，
，
设平面
的一个法向量
，则
，取
，得
，
则直线DE 与平面
所成角正弦值为
，
解得
，所以在棱PA 上存在一点E，使得直线DE 与平面
所成角为
，点
为
中点.
27．正三角形
所在的平面与菱形
所在的平面互相垂直，
，
，
是
的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
？若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，进而可得线线垂直.
（2）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解.
【详解】（1）∵
，
是
的中点，∴
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，
平面
，
∴
.
（2）由（1）知
平面
，
平面
，
∴
，菱形
中，
，
所以
是正三角形，∴
．
∴
两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系
．
则
，
，
，
，
，
因为
轴垂直平面
，所以设平面
的法向量为
，
，
设
，
，
则
，
∵直线
与平面
所成的角为
，
，
由
，解得
，∴
．
28．如图，在三棱锥
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)在棱
上是否存在点
（不与端点重合），使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，
求出点
的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，点
位于棱
上靠近点
或点
的四等分点处.
【分析】（1）取
的中点
，连接
，易得
，
，根据线面垂直的判定及性质定
理证结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，设
，
，利用向量法及线面角的正弦值，
列方程求参数
，即可判断存在性.
【详解】（1）如图，取
的中点
，连接
，
因为
，所以
，
，
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
．
（2）存在点
，位于棱
上靠近点
或点
的四等分点处，使直线
与平面
所成角的正弦值为
，证明如下：
如图，因为
，易知
，则
，
取
的中点
，连接
，易知
，又
平面
，易知
两两垂直，
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，
轴，过点
作
的平行线为
轴，建立如图所示的
空间直角坐标系．
由题设，易得
，
，则
，
，
，
，
则
，
，设
，
，
则
，故
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，设直线
与平面
所成角为
，
则
，解得
或
，
故在棱
上存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，
此时点
位于棱
上靠近点
或点
的四等分点处．
29．如图，在四棱锥
中，侧面
底面ABCD，底面ABCD 是平行四边形，且
，
，
.
(1)求证：
平面PAD；
(2)若
，在棱PB 上是否存在一点
，使得直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值为
?若存
在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，
.
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证得
，再利用面面垂直的性质
推理即得.
（2）取
的中点
，以
为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦求解.
【详解】（1）在
中，
，
由余弦定理，得
，
则
，即
，由平面
平面
，
平面
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）设
的中点分别为
，连接
，
由
，得
，又平面
平面
，
平面
平面
平面
，则
平面
，
又
平面
，则
，又
，
，则
，即
两两互相垂直，
以
为坐标原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系
，如图，
，则
，
设
，则
，
于是
，
设
是平面
的法向量，则
，
令
，则
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，
，
则
，
即
，而
，解得
，
所以存在点
，使得直线直线
与平面
所成角的正弦值为
，
.
30．如图，在三棱柱
中，
与
的距离为
，
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)试判断在棱
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的余弦值是
，若有，请求出
的位置，若没有，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点
符合题意，
为
中点
【分析】（1）取棱
中点
，连接
，则
，由勾股定理得
，
，即
平
面
，从而得证；
（2）取
中点
，连接
，取
中点
，连接
，可证
，
，建立如图
所示的空间直角坐标系
，利用线面角的向量法求解问题.
【详解】（1）取棱
中点
，连接
，因为
，
所以
，所以
．
又因为
，所以
，
；
因为
，
，所以
，
所以
，同理
，
因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
；
（2）取
中点
，连接
，取
中点
，连接
，则
//
，
由（1）知
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，则
．
以
为坐标原点，
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
可设
，则点
，
，
设平面
的法向量为
，
得
，取
，则
，
，所以
设直线
与平面
所角为
，因为
，所以
则
，
解得
或
（舍）
所以，存在
符合题意，此时
为
中点．
