文档文本内容
专题05 指对数函数11 大题型
考点01 指对数函数的概念判断
考点02 求指对数函数的解析式
考点03 指对数函数的定义域
考点04 指对数函数的值域
考点05 指对数函数的图象
考点06 指对数函数的定点问题
考点07 指数函数与对数函数的关系
考点08 指对数函数的单调性问题
考点09 指对幂比较大小
考点10 指对数函数解不等式
考点11 指对数函数的综合应用
考点01 指对数函数的概念判断
1．下列是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足
，自变量在指数位置可知，A，B，C 不满
足，D 满足．故选D.
答案：D.
2．下列函数中，哪些是对数函数？
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
（
，且
）；
(5)
．
【答案】(1)不是
(2)不是
(3)不是
(4)不是
(5)是
【分析】
【详解】（1）原式中真数为
，不是对数函数．
（2）原式中对数式后加2，
不是对数函数．
（3）原式中真数为
，且系数不为1，故不是对数函数．
（4）原式中底数不是常数，而真数是常数，所以不是对数函数．
（5）原式中底数是6，真数为
，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
3．“
”是“
为指数函数”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当
时，
为指数函数；
当
为指数函数时，即
，只需
；
所以“
”是“
为指数函数”的充分不必要条件.
故选：C
4．函数
为对数函数，则实数
的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
或2
【答案】C
【详解】因为函数
为对数函数，
所以
，解得
，
所以实数
的值为2，
故选：C
5．若函数
是指数函数，则实数
．
【答案】
/0.5
【详解】由题意得
，解得
或1（舍去）.
故答案为：
.
考点02 求指对数函数的解析式
6．若指数函数
的图象过点
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，（
且
），
因为函数
的图象过点
，则
，解得
，
所以
.
故选：B.
7．若点
都在同一个对数函数的图象上，则t 等于（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】C
【详解】设对数函数为
（
且
），
代入点
可得
，则
，解得
，
所以
，
代入点
可得
，则
，
可得
，所以
.
故选：C.
8．已知对数函数的图象过点
，则此对数函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设对数函数为
,
代入可得
,
所以
,
则对数函数的解析式为
.
故选：C.
9．已知指数函数
的图象经过点
，则这个函数的解析式是 ．
【答案】
【详解】由已知，设
，
且
，
又函数图像过点
，
即
，
解得
，
即
，
故答案为：
.
10．若某对数函数的图象过点
，则该对数函数的解析式为 ．
【答案】
【详解】设函数解析式为
，且
，
由函数的图象过点
，得
，即
，解得
，
所以该对数函数的解析式为为
.
故答案为：
考点03 指对数函数的定义域
11．函数
的定义域是 .
【答案】
【详解】要使函数有意义，须使
.
所以
.
因为函数
是减函数，所以
，所以
.
所以函数
的定义域是
.
故答案为：
.
12．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由函数
有意义，等价于
，解得
，
所以函数
的定义域为
故选：A
13．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
.
所以所求函数的定义域为
.
故选：B
14．函数
的定义域为 ．
【答案】
【详解】根据题意，
，
则
，
解得
或
，
所以函数定义域为
.
故答案为：
15．函数
的定义域是 ．
【答案】
【详解】要使函数
有意义，则
，变形可得
，
因为指数函数
在
上单调递增，则
，解得
，
故函数
的定义域是
.
故答案为：
.
考点04 指对数函数的值域
16．函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
的值域为
，且
在
上单调递增，
所以
的值域为
，
故选：A
17．函数
的值域为 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，
，
所以
，即
的值域为
．
故答案为：
.
18．函数
（
）的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，且
，
令
，则
，
又
的图象开口向上且对称轴为
，且
，
所以
.
故选：B
19．已知函数
的定义域是A，则函数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．0
D．8
【答案】C
【详解】由函数
有意义，则满足
，即
，
解得
，即函数
的定义域为
，即
，
又由函数
，
令
，可得
且
，
因为函数
的图像开口向上，且对称轴为
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又由
，所以函数
的最大值为
，即函数
的最大值为
.
故选：C.
20．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
，
当
时，
单调递增，所以值域为
，
要使得分段函数的值域为
，
则当
时，
的取值包含
的每一个取值，
所以
，解得
，
故选：D
21．已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，即函数
的取值集合为
；
由函数
的值域为
，得函数
在
上的值域包含
，
当
时，
，
，不符合题意；
当
时，
在
上单调递减，
，不符合题意；
当
时，
在
上单调递增，
，函数值值集合为
，
由
，得
，解得
，因此
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：A
考点05 指对数函数的图象
22．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】先做出函数
的图象，保留
轴右边的图象不变，并将
轴右边的图象对称到
轴左边，
可得
的图象，再将
的图象向左平移1 个单位，可得
的图象，如下图：
.
故选：B
23．已知函数
的图象如图所示，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意得
，所以
在定义域
上单调递减．
，
，故B 符合题意．
故选：B．
24．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
为减函数，排除C、D，
当
时，
为增函数，排除B.
故选：A
25．若函数
的图象过点
，则函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由函数
的图象过点
，得
，解得
，
函数
，即
的定义域为
，
，即函数
是偶函数，
当
时，
在
上单调递减，ABD 错误，C 正确.
故选：C
26．若函数
，则由图象可得
，依次对应的函数为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】B
【详解】由函数图象知，
为正比例函数，则对应函数为
，
为对数函数，则对应函数为
，
为指数函数，则对应函数为
，
故选：B.
27．（多选）已知
（
，
，
，
），则函数
与
的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】由
，可得
，即
，
所以
，与
具有相同的单调性，
当
时，
与
同为增函数，故B 满足；
当
时，
与
同为减函数，故D 满足.
故选：BD
考点06 指对数函数的定点问题
28．已知函数
的图象恒过定点
，则
（ ）
A．2
B．0
C．
D．
【答案】A
【详解】∵
，∴
恒过定点
，
∴
，
，∴
，
故选：A.
29．（多选）已知函数
且
恒过定点
，则函数
的图象经过
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】ACD
【详解】由指数函数的性质可知，当
时，
，
所以
恒过定点
，
，
则函数
恒过定点
，且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故选：ACD.
30．若函数
（
且
）的图象不经过第三象限，则a 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】函数
（
且
）的图象不经过第三象限，
当
，由对数函数图象性质知不合题意；
当
时，
，
所以
，所以
.
故答案为：
31．已知函数
的图象恒过定点
，且
点在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由指数函数
的图象恒过定点
可知
函数
的图象恒过定点
.
又点
在直线
上，
所以
，所以
.
则
，
因为
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
所以
的最小值为
.
故选：D.
32．若曲线
（
且
）经过定点
，曲线
（
，且
）经过定点
，则
．
【答案】
【详解】依题意，当
，即
时，恒有
，因此点
，
当
，即
时，恒有
，因此点
，所以
.
故答案为：
考点07 指数函数与对数函数的关系
33．若函数
的反函数的图象过点
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】函数
的反函数是
.
已知反函数的图象过点
，则有
，解得
，
因此原函数为
，所以
.
故选：D
34．已知对数函数
且
，且图象过点
，
的反函数记为
，则
的解析式是 ．
【答案】
【详解】因为对数函数
且
的图象经过点
，
所以
，所以
，所以对数函数的解析式为
，
所以其反函数为
.
故答案为：
35．已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则函数
的单调
递增区间为 ．
【答案】
【详解】由题意可知
，
令
，则
，
i 因为
在定义域内单调递减，若要求函数
的单调递增函数，
则需满足
，解得：
，
函数的单调递增区间是
.
故答案为：
36．若函数
且
的图象关于直线
对称，则
的最大值为
.
【答案】
【详解】由函数
，可得
，即
，
所以函数
的反函数为
，
因为函数
的图象关于直线
对称，可得
，
可得
，所以
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
37．已知函数
和
互为反函数，若正数
满足
，
，则
.
【答案】
【详解】因为函数
和
互为反函数，所以
，
所以
，即
，两边取对数得
①，
又
，即
，整理得
，即
②，
令函数
，又
和
在
上均单调递增，
故函数
在
上单调递增，
又因
，
，
故此函数有且仅有一个零点，由①和②可得
，即
，
所以
.
故答案为：
考点08 指对数函数的单调性问题
38．已知
，“
”是“函数
在
上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由
，得
.所以函数
在
上为增函数；
由函数
在
上为增函数，得
.所以
.
所以“
”是“函数
在
上为增函数”的充要条件.
故选：C.
39．若函数
在区间
上单调递减， 则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，则
，
因为函数
在区间
上单调递减，且
在定义域内递增，
所以
，解得
故答案为：C
40．若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，则原函数
可以看作函数
与
的复合函数.
因
为R 上的增函数，要使函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调
递增.
所以
，即
，所以
的取值范围
.
故选：C
41．已知函数
若对任意的
，且
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
对任意的
，且
，都有
，
所以函数
在
上单调递增，
当
时，
在
上递减，不合题意；
当
时，
在
上是常函数，不合题意；
当
时，所以
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
42．函数
的单调递增区间为 .
【答案】
【详解】由
，解得
或
，
所以
的定义域为
，
函数
在
上单调递减，
由二次函数性质得
在
上单调递减，在
上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，
在
上单调递增.
故答案为：
43．若函数
（
且
）在区间
上的最大值是4，最小值为
，且函数
在
内是严格增函数，则
.
【答案】
/0.25
【详解】当
时，函数
在区间
上单调递增，
则有
，解得
，
此时
，
则
，
所以函数
在
内是严格减函数，不满足题意；
当
时，函数
在区间
上单调递减，
则有
，解得
，
此时
，
则
，
函数
在
内是严格增函数，满足题意；
综上，
.
故答案为：
.
考点09 指对幂比较大小
44．设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
为
上的增函数，
，
，
，
，
，
，
.
故选：C.
45．已知
，则实数
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由对数函数的图象与性质，可得
，即
，
又由
，所以
，
又由
，指数函数
为单调递增函数，可得
，所以
，
又由
，所以
，
综上可得：
.
故选：D.
46．若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：D.
47．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由指数函数的性质，可得
且
，所以
，
又由对数函数的性质，可得
，
且
，
，所以
，
所以
.
故选：C.
48．已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
在
上单调递减，设
，
，
，则（ ）
A．
＜
＜
B．
＜
＜
C．
＜
＜
D．
＜
＜
【答案】A
【详解】因为函数
是定义在R 上的奇函数，且
在
上单调递减；
所以
在
上单调递减；
所以函数
在R 上单调递减.
因为
，
，
所以
；
所以
＜
＜
.
故选：A.
考点10 指对数函数解不等式
49．已知函数
为
上的奇函数，当
时，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为函数
为
上的奇函数，且当
时，
，
当
时，
，可得
，所以
，
又因为
为
上的奇函数，则
，
则
可转化为
或
，解得
或
，
故不等式
的解集为
.
故选：C.
50．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，可将
转化为
，即
，
又指数函数
是增函数，所以
，即
，解得
．
故原不等式的解集为
.
故选：D．
51．不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】
，
因为函数
是定义域为
的增函数，
所以
，解得
，故原不等式的解集为
．
故答案为：
．
52．已知函数
，则不等式
的解集为 .
【答案】
.
【详解】由函数
，可得
的定义域为
，关于原点对称，
且
，所以
为偶函数，其图象关于
轴对称，
当
时，
，可得
在
上为单调递增函数，
则在
为单调递减函数，
因为函数
为偶函数，可得
又由不等式
，即为
，可得
，
即
，解得
，所以不等式的解集为
.
故答案为：
.
53．已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
.
(1)求
的解析式；
(2)若
，求
的取值集合.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）由已知当
时，
，
当
时，
，则
，
又函数
为奇函数，
则当
时，
，
且当
时，
，
综上所述
；
（2）由（1）可得当
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，
又不等式
，即
或
，
所以
或
，
解得
或
，
即不等式
的解集为
或
.
54．已知函数
．
(1)求函数
的定义域并判断函数
的奇偶性；
(2)解不等式
．
【答案】(1)
，偶函数
(2)当
时不等式解集为，
，当
时不等式解集为
.
【分析】
【详解】（1）由题意得
解得：
，
函数
的定义域是
，定义域关于原点对称，
，
所以函数
是偶函数；
（2）
即
，
化简得：
，
当
时，由题意得：
，
解得：
，
当
时，由题意得：
，
解得
，
综上所述当
时不等式解集为，
，
当
时不等式解集为
.
考点11 指对数函数的综合应用
55．已知函数
，若函数
恰有个零点，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】画出函数的大致图象，如下图所示：
因为函数
恰好有个不同的零点，
所以方程
有个根，
设
，则方程化为
，
解得
，
，
即
或
，
由图可知方程
有两个根，
则方程
有三个根，所以由图可知
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
56．（多选）已知函数
.（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有
（ ）
A．
是奇函数
B．
C．函数
是单调递增函数
D．
【答案】AC
【详解】对于A，
，
令
，定义域为
，
因为
，
所以
是奇函数，故A 正确；
对于B，因为
，
，
所以
，故B 错误；
对于C，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，
所以函数
在
上是增函数，故C 正确；
对于D，
，故D 不正确；
故选：AC
57．（多选）已知函数
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
【答案】BCD
【详解】作出函数
的图象，如图所示，
设
，因为
，
所以由图可知，当
时，直线
与函数
的图象有4 个交点，
又设这4 个交点横坐标分别为
，且
，
由
关于直线
对称，得
，故A 错误；
由
，可得
，
故B 正确；
由图可知
，则
，故C 正确；
由图可知
，即
，得
，
则
，故D 正确.
故选：BCD
58．已知函数
．
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
最小值为
，求m 的值；
(3)在（2）的条件下，若不等式
在
有实数解，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）设
，
由二次函数
图像开口向上，对称轴为直线
，
故函数
在
上单调递增，所以
，
故所求值域为
.
（2）
函数
的最小值为
，
令
，则
，
由二次函数
图像开口向上，对称轴为直线
，
当
时，函数
在
上单调递增，无最小值；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则函数
在
上的最小值为
，
由题意可得
，解得
或
（舍去）.
综上，
.
（3）由题意，
有实数解，
即
，可得
，
，当且仅当
时取等号，
在
上恒成立，
有实数解，
，有实数解
解得
，即实数a 的取值范围为
．
59．已知函数
（
为常数）
(1)若函数
的定义域为
，求实数
的取值集合：
(2)当
时，是否存在正整数
，使得关于
的不等式
在区间
上有解?若存在，求
出
的最大值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；
(2)存在，
的最大值为
.
【分析】
【详解】（1）由题意函数
的定义域为
，
则
对于
恒成立，
当
时，
，不恒成立；
当
时，
，无解；
综上所述，实数
的取值范围为
.
（2）存在；
的最大值为
，理由如下：
当
时，
，则
，
则不等式
可化为
，
则
，即
在区间
上有解，
令
，
，则
，
因为
，
，
可得：
在区间
上单调递增.
所以
，
又因为
为正整数，所以
的最大值为
.
