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2.5 对数运算及对数函数（精讲）
考向一 对数的运算
【例1-1】计算下列式子
(1)
(2)
．
(3)
．
(4)
；
（5）
【答案】(1)5 (2)8 (3)2(4) (5)
【解析】（1）
.
（2）因为
，
，
所以原式
（3）
.
（4）
.
（5）
.
【例1-2】（2025·海南海口·模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，又
，
所以
.
故选：C.
【一隅三反】
1．（24-25 陕西咸阳）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，
即
.故选：C.
2.计算下来式子
（1）
.
（2）
（3）
．
（4）
（5）
．
（6）
；
【答案】(1)
（2）
(3)
（4）
.(5)8 (6)
【解析】（1）
.
（2）
（3）原式
（4）
.
（5）因为
，
，
所以原式
（6）
.
考向二 对数型函数的定义域
【例2-1】（2025 辽宁）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，得
且
．即函数
的定义域为
，故
选：D
【例2-2】（24-25 辽宁）
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】要使函数
有意义，
则应有
.
由正切函数的图象与性质解
可得，
，
所以，函数
的定义域为
.
故选：A.
【例2-3】（24-25 辽宁）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于函数
，
，则
，
所以，函数
的定义域
，
对于函数
，有
，即
，解得
.
因此，函数
的定义域为
.
故选：D.
【例2-4】（23-24 北京·期中）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知：
对任意
恒成立，
若
，则
，符合题意；
若
，则
，解得
；
综上所述：
的取值范围是
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（24-25 吉林四平）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
，解得
，所以
的定义域的为
.故选：C
2．（24-25 广东梅州）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意：
，所以所求函数的定义域为：
.故选：B
3.（24-25 上海）函数
的定义域为
【答案】
【解析】由题，
，解得
，解得
或
.
所以函数的定义域为
.故答案为：
.
4.（24-25 辽宁沈阳）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】由
，则
，
化简可得
，解得
.
故答案为：
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）求函数
的定义域 ．
【答案】答案见解析
【解析】要使函数有意义，则
，即
．
若
，则
，∴
；
若
，则
，∴
．
综上，当
时，函数定义域为
；当
时，函数定义域为
．
故答案为：当
时，函数定义域为
；当
时，函数定义域为
考向三 对数型函数的单调性
【例3-1】（2025 高三·全国·专题练习）函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
，解得
或
，
所以函数
的定义域是
，
因为当
时，
单调递增，
而
在定义域内单调递增，故函数
的单调增区间是
.
故选：D
【例3-2】（2025·吉林·三模）若函数
（
且
）在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
是由
，
复合而成，
由题意知：
，
在区间
上单调递增，
若函数
（其中
且
）在区间
上单调递减，所以
单调递减，
可得：
,又
对于
恒成立，所以
，解得：
，综上所述：
.
故选：A
【例3-3】（24-25 山西）已知函数
，若对任意的
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，
若对任意的
，都有
，所以
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
在
上递增，且
，
所以
，解得
，即
的取值范围是
.
故选：C.
【一隅三反】
1．（24-25 广东揭阳）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
，则
，
解得
或
，所以函数
的定义域为
，
令
，则函数
在定义域上为单调递减函数，
而
在
上单调递减，在
单调递增，
根据复合函数
同增异减
原则可得
“
”
的单调递减区间为
.
故选：A.
2．（24-25 安徽蚌埠 ）函数
的单调递增区间是 .
【答案】
（或
）
【解析】令
，解得
，可知函数
的定义域为
，
因为
，
且
在
内单调递增，在
内单调递减，
在定义域内单调递增，
可知函数
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.
故答案为：
（或
）.
3．（24-25 湖南岳阳 ）已知
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，需使
；
①
在
上恒成立
；
②
；
③
④
同时满足，由
可得
②
；由
可得
③
；由
可得
④
.
综上可得：实数a 的取值范围为
.
故选：C.
4．（24-25 高三下·江苏镇江·开学考试）“
是
函数
”
“
在
上单调递增”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意易知
或
，
且
开口向上，且对称轴为
，
结合复合函数的单调性知
在
上单调递增，
所以当
时不能得出
在
上单调递增，即不满足充分性；
而函数
在
上单调递增可知
，
显然
成立，满足必要性.
故选：B.
考向四 对数型函数单调性的应用---比较大小
【例4-1】（2025·四川·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因
在
上单调递增，
则
，
，所以
.故选：B
【例4-2】（2025·浙江金华·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
.
则
，所以
.
则
，所以
.
所以
.
故选：D.
【例4-3】（2025·陕西商洛·三模）已知
是偶函数，且
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
是偶函数，且
在
上单调递增，则该函数在
上为减函数，
因为
，所以，
，且函数
在
上为增函数，
所以，
，
因为函数
在
上为减函数，则
，
故
，且
，
所以，
，故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题
，
，且
，
，
综上，
，即
.
故选：B.
2．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 中，由函数
在
上单调递减，可得
，所以A 错误；
对于B 中，由函数
在
上单调递增，可得
，所以B 错误；
对于C 中，由
，且
，所以
，所以C 正确；
对于D 中，由
，且
，所以
，所以D 错误.故选：C.
3.（2025·山东菏泽·一模）已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知
，
，
即函数
图象的对称轴为
，且
在
上单调递增，在
上单调递减.
.
，
.
故选：A.
4．（2025·江西赣州·一模）已知
，记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由换底公式等价变形得：
，
因为
，两边取以7 为底的对数可得：
，
又因为
，两边取以7 为底的对数可得：
，可知
，由
，可得
，
由
，可得
，
从而可得
，故选：C.
考向五 对数型函数单调性的应用---解不等式
【例5-1】（24-25 江苏苏州 ）已知函数
，且
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以函数
的定义域为
，
则定义域关于原点对称，且
，所以
为偶函数，
又
时，
是单调递增函数，而
是单调递减函数，所以
是单调递减函数，
根据对称性知
时，所以
是单调递增函数，函数
中，
，
由
得
，解得
或
.故选：D.
【例5-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
可得
，
，所以
，
．
因为
，所以
为奇函数．
当
时，
为增函数，且
为连续函数，
则
在
上单调递增，所以原不等式等价于
，
即
，即
，解得
．
故选：D．
【一隅三反】
1．（24-25 广东佛山·阶段练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，在区间
上单调递增，且
.则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，
函数
是定义在
上的偶函数，在区间
上单调递增，
，故
，即
或
，
解得
或
，
故
的解集为
.
故选：D
2．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，又因为定义域为
关于原点对称，
所以
是奇函数，
由于
，
可知函数
在定义域
上单调递减，
所以
即
，即
，
则
，该不等式组无解，所以解集为
.
故选：D.
3．（24-25 云南德宏 ）已知实数a 满足
，
，则不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，综上
当
时，
.
故选：A.
考向六 对数型函数的值域
【例6-1】（2025 陕西）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意可知
，解得
；
易知函数
的定义域为
；
又
是由函数
和
复合而成的，
由对数函数单调性可知
在定义域内单调递减，
而二次函数
开口向上，关于
对称，
因此
在
上单调递增，在
上单调递减；
由复合函数单调性可知
在
上单调递减，在
上单调递增；
因此
在
处取得最大值，即
，
可得
的值域为
.
故选：C
【例6-2】（24-25 高三下·河南·开学考试）已知函数
的最大值为1，则实数
（ ）
A．1
B．2 或
C．4
D．4 或
【答案】D
【解析】令
因为
在定义域内为增函数，且最大值为1，
可知
的最大值为4，则
，解得
，
经验证
均满足题意.
故选：D.
【例6-3】（24-25 江苏）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
的值域为
，
可知
在
内单调递减，则
，解得
，
可得当
时，
，即
在
内值域为
，符合题意；
且
在
内不单调递减，
若
在
内单调递增，则
，解得
，
此时
，符合题意；
若
在
内为常函数，则
，解得
，
此时
，符合题意；
综上所述：实数
的取值范围是
．
故选：A．
【一隅三反】
1.（2025 高三·全国·阶段练习）函数
的最小值为
【答案】1
【解析】
，
令
则
，当且仅当
时，取等号，
所以
，即函数
的最小值为1.
2（2024·上海·模拟预测）函数
的最小值为 .
【答案】
【解析】因为
，
当
，即
时，
取到最小值，且
.
故答案为：
3．（2023·云南·模拟预测）已知
，设
，则函数
的最大值
为 .
【答案】8
【解析】
，
由
得
，即
的定义域为
，
令
，因为
，所以
，
所以
在
上为增函数，
所以
时，
.
故答案为：.
4.（24-25 高三下·广西·开学考试）函数
值域为R 的一个充分不必要条件是
【答案】
【解析】当
时，
，满足值域为R，成立；
当
时，应有
，则
，
综上
，
对于A，
是
的充分不必要条件，满足；
对于B，
是
的充要条件，不满足；
对于C，
是
的必要不充分条件，不满足；
对于D，
是
的既不充分也不必要条件，不满足.
5．（24-25 广东揭阳·阶段练习）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
【答案】
【解析】
在
上单调递增，则
在
上的值域为
.
若
时，函数
在
上单调递减，
值域为
，与
并集不是R，故
不满足题意；
若
时，函数
在
上单调递增，
值域为
，要使与
并集为R，则
，即
满足题意.
考向七 对数型函数过定点
【例7-1】（24-25 河南 ）已知
为正实数，函数
的图象经过点
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．6
C．
D．8
【答案】D
【解析】函数的图象经过点
，则
，即
，
又
，.当且仅当
时取等号，
时取等号.
【一隅三反】
1.（24-25 ·广东潮州 ）已知函数
（
，
）的图象经过定点P，且点P 在角
的终
边上，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】
的图象经过定点
，故
故选：D
2．（24-25 江西）已知函数
且
的图象恒过定点
，且点
在直线
上，
则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于函数
且
，
由
，可得
，此时，
，即点
，
将点
的坐标代入直线方程可得
，可得
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
的最小值为
.
故选：B.
3．（24-25 山东德州）已知函数
（
且
）恒过定点
，则过点
的幂函数经过
（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限
D．第二、四象限
【答案】A
【解析】由
，得
，则
，
所以函数
（
且
）恒过定点
，
设过点
的幂函数为
，则
，得
，所以过点
的幂函数为
，
此幂函数的图象只经过第一、二象限，故选：A
考向八 对数型函数图像
【例8-1】（24-25 安徽合肥）函数
（
且
）的图象恒过定点
，若点
在幂函数
的图象上，则幂函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
（
且
）中由
得
，
则函数
过定点
，
设
，代入可得
，解得
，
故幂函数
，则B 选项图象符合.
故选：B.
【例8-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，则
在
上是增函数，
在
上是减函数；
若
，则
在
上是减函数，
在
上是增函数，
综上，这两个函数中，一个是增函数，另一个是减函数，故排除A，C，D．
又由于
的定义域为
，其图象只能在y 轴左侧，B 正确．
故选：B.
【一隅三反】
1．（24-25 高三下·福建福州·开学考试）若函数
的图象如图所示，则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由幂函数图象可得
，
函数
定义域为
，
而
，则
恒成立，BCD 错误，A 正确.
故选：A
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（
为常数，其中
，
）的图象如图所示，
则下列结论中成立的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】由函数的图象知该函数为减函数，∴
．
图象通过第一、二、四象限且图象与
轴的交点横坐标在区间
内，
∴
，解得
．
故选:D．
3．（24-25 贵州六盘水·期末）如图，
不可能是函数
①②③④
或
（其中
且
）的部分图
象的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【解析】指数函数
（其中
且
）恒过点
，且与
轴无交点，
当
时，单调递增，当
时，单调递减；
对数函数
（其中
且
）恒过点
，与
轴无交点，
当
时，单调递增，当
时，单调递减；
可以看出
过点
②
，与
轴有交点，不合要求，其他均满足要求.
故选：B
4．（24-25 湖南岳阳）若如图是函数
（
且
，
）的大致图象，则函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
的图象知
，则
，
所以函数
为增函数，
且函数
的图象是由函数
向上平大于零小于个单位，
所以函数
的大致图象是C 选项.故选：C.
考向九 对数函数的对称性
【例9-1】（24-25 高三下·广西柳州·阶段练习）若函数
是奇函数，则b 的值为（ ）
A．
B．2
C．-2
D．4
【答案】A
【解析】由函数
是奇函数，得
，
即
，
则
，即
，而
不恒为0，
因此
，解得
，此时
，
函数
的定义域为R，符合题意，所以
.
故选：A
【例9-2】．（2025·福建厦门·一模）若函数
的图象关于直线
对称，则
的值域
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，
，其图象关于直线
对称，
则
，
所以
，所以
，解得
，
所以
，此时
，满足题意；
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
故选：B．
【一隅三反】
1.．（24-25 北京·期中）关于函数
的性质，下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是增函数，且曲线
存在对称轴
B．
在
上是增函数，且曲线
存在对称中心
C．
在
上是减函数，且曲线
存在对称轴
D．
在
上是减函数，且曲线
存在对称中心
【答案】B
【解析】对于函数
，由
可得
，解得
，
即函数
的定义域为
，
因为
，即函数
为奇函数，
设
，
因为内层函数
在
上为增函数，外层函数
为增函数，
故函数
在
上是增函数，故函数
不存在对称轴，且该函数的图象关于原点对称，
故选：B.
2．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A：
，定义域为R，
是偶函数，不符；
B：
，定义域为
，
是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知
在
上单调递减，不符；
C：
，定义域为R，
是偶函数，不符；
D：
，定义域为R，
是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知
在R 上单调递增，符合.
故选：D
3．（24-25 湖北 ）若函数
为奇函数，则实数
的值为 ．
【答案】1
【解析】由题意可得
，即
，
即
，
所以
，即
，
展开整理可得
，
即
，
比较系数可得
，解得
.
当
时，
，函数定义域为
关于原点对称，
，
为奇函数符合题意.
故答案为：1
考向十 对数函数的实际应用
【例10-1】（2025·甘肃）中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C
取决于信道带宽W，经科学研究表明：C 与W 满足
，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是
信道内部的高斯噪声功率，
为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1 可以忽略不计.若不改变带宽
W，而将信噪比
从1000 提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：
)
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
【答案】B
【解析】当
时，
；
当
时，
.
所以增大的百分比为：
.
故选：B.
【例10-2】（2025 安徽）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数
的
次方是个
位数，那么根据
，取常用对数得到
，即可得到
，由下面的对数
表可知这个数是
，已知某个正整数的
次方是个
位数，则该正整数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设这个正整数为
，因为
的
次方是个
位数，所以
，即
，则
，结合表中数据易知，
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量
（单位：
焦耳）与地震里氏震级
之间的关系为
．2025 年1 月7 日西藏日喀则市发生里氏6.8 级地震，
释放出来的能量为
，2025 年1 月10 日山西临汾市发生里氏4.1 级地震，释放出来的能量为
，则
（ ）
A．10
B．4.05
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
，两式相减，得
，
因此
，
.
故选：D
2．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025 年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃
圾分类已经成为新时尚。某市2025 年全年用于垃圾分类的资金为5000 万元，在此基础上，每年投入的资金比
上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28 亿元的年份是（ ）（参考数据：
，
）
A．2028 年
B．2029 年
C．2030 年
D．2031 年
【答案】D
【解析】设2025 年后第
年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28 亿元，
则
，即
，
则
，
即
.
所以
，即2031 年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28 亿元.
故选：D.
3．（2025·贵州·模拟预测）2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力
需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长
．截止至
2025 年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在哪一年首
次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】C
【解析】由题意可知，截止至2025 年，DeepSeek 的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到
年，其算力提升至
PetaFLOPS，
到
年，其算力提升至
PetaFLOPS，
，
以此类推可知，从
年起，到第
年，DeepSeek 的算力提升至
PetaFLOPS，
由
，可得
，
所以，
，
所以，DeepSeek 的算力预计在
年首次突破
PetaFLOPS，
故选：C.
考向十一 反函数
【例11-1】（23-24 湖南株洲）已知函数
与
互为反函数．若
的反函
数为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】由函数
与
互为反函数，
若
的反函数为
，则
.
故选：C.
【例11-2】（2025·上海）若函数
存在反函数，则常数a 的取值范围为（ ）
A．（
，
﹣∞
1]
B．[1，2]
C．[2，+∞）
D．（
，
﹣∞
1] [2
∪
，+∞）
【答案】D
【解析】函数
∵
存在反函数
函数
∴
在[0，1]上单调
若单调递增，即
，则
在x [0
∈
，1]上恒成立，即
在
上恒成立
∵
在[0，1]上单调递增∴
∴a≤1
若单调递减，即
，则
在
上恒成立即
在
上恒成立∴
在
上单
调递增∴
∴
．综上，常数a 的取值范围为
．选：D．
【一隅三反】
1．（23-24 福建 ）已知函数
，
是
的反函数，则
（ ）
A．10
B．8
C．5
D．2
【答案】C
【解析】因为函数
，
是
的反函数，故
，故
.
故选：C
2．（2025·河南）已知函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且满足
，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】B
【解析】函数
的图象与
的图象关于直线
对称，
所以点
，
在函数
的图象上，
所以
，所以
，所以
，
又
，所以
，所以
.
故选：B
3．（2025·浙江·二模）（多选）若函数
与函数
的图象关于直线
对称，则函数
的解析
式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为函数
与函数
的图象关于直线
对称，所以函数
需满足在定义域上单调.
对于A，易知函数
在R 上单调递增，故A 正确；
对于B，因为
在R 上单调递增，函数
在R 上单调递减，故可知函数
在R 上单调递增，
故B 正确；
对于C，因为
，定义域为R，所以
.当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减，故C 错误；
对于D，因为
，定义域为R，所以
，化简可得
，
因为
，所以对
，
，又因为
，所以对
，
恒成立，所以函数
在R 上单调递减，故D 正确.
故选：ABD.
考向十二 对数函数的综合应用
【例12-1】（23-24 高三上·山东德州·阶段练习）已知函数
为偶函数.
(1)解关于x 的不等式
；
(2)若
在区间
上恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，由于函数
为偶函数，所以
，
即
，即
，
即
恒成立，∴
.
所以不等式为
，解得：
或
，所以原不等式的解集是
.
（2）由题得
恒成立，即
恒成立，
因为
，所以
，所以
恒成立，
令
，令
，
则
，
因为
在
单调递增，
所以函数
在
上单调递减，故
.
∴
.
∵
对任意的
恒成立，且
，∴
.
实数
∴
a 的取值范围是
.
【一隅三反】
1（2025 ·陕西西安 ）已知函数
且
.
(1)当
时，
若
①
，求
的值；
当
②
时，用定义证明函数
是
上的减函数；
(2)若
为偶函数，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)①
，
证明见详解；
②
(2)
.
【解析】（1）当
时，
，
若
①
，则
，解得
.
当
②
时，
，
任取
，且
，令
，
则
，
因为
是R 单调递增函数，所以
，则
，
即
，即
，
又
是
上的增函数， 则
，
,
，
所以
是R 上的减函数.
（2）若
为偶函数，则
，
即
，
所以
，即
，
，则
，
因为
在
上单调递增，且
，
所以由
，得
，
所以
的取值范围为
.
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数
，（
且
）
(1)若
，求方程
的解；
(2)已知
，若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求实数
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
即
解得
，于是
，
方程
即为
，
令
，则有
即
，
求得
（舍负） ，
所以方程的解为
.
（2）由已知
得
，
整理得
，
因为
，所以
，
从而
对任意
恒成立，
因为
（当且仅当
取等号），
所以
，
即实数
的最大值为
.
3．（2025·上海金山·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，
所以
；
（2）
，
令
，问题等价于求
的值域，
函数
图象开口向上，对称轴为直线
，
，
函数
的值域为
．
