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专题05 函数的应用（一）
题型一：二次函数模型的应用
题型二：分段函数模型的应用
题型三：对钩函数模型
题型一：二次函数模型的应用
1．某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量
（台）与零售价
（元）间满足：
，已知第一、二月份销售情况如下表所示：
月份
1 月
2 月
零售价
（元）
6000
6500
月销售量
（台）
60
55
(1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700 元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？
(2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000 元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润
是多少？
【答案】(1)53 台
(2)当该按摩椅定价为8000 元/台时，月利润最大，最大利润为160000 元
【分析】（1）待定系数法得到
，将
代入，求出答案；
（2）设月利润为
元，则
，从而得到最大利润.
【详解】（1）由题意知，将
和
分别代入
得
，解得
，故
．
当
时，
，故该厂家这个月能销售53 台按摩椅．
（2）设月利润为
元，则
，
当
元时，
，故当该按摩椅定价为8000 元/台时，月利润最大，
最大利润为160000 元．
2．某种蔬菜从1 月1 日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本
（单位：元/
）与上市时
间
（单位：10 天）的数据如下表：
上市时间
5
11
25
种植成本
15
10.8
15
(1)根据上表数据，从下列函数：
中（其中
），选取一
个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本
与上市时间
的变化关系，并简要说明理由；
(2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
【答案】(1)
，理由见解析；
(2)上市时间为150 天时，种植成本最低为10 元/
.
【分析】（1）根据表格数据的变化趋势确定函数模型；
（2）根据数据有
，则
，再把数据代入求参数，应用二次函数性质求结果.
【详解】（1）由表格数据知，种植成本随着上市时间先减后增，显然只有
合适；
（2）由题设
是
的对称轴，则
，
所以
，且
，可得
，
所以
，
所以上市时间为150 天时，种植成本最低为10 元/
.
3．某公司生产的某种时令商品每件成本为22 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40 天内的日销售量
（件）与
（天）的关系如表：
时间
（天）
1
3
6
10
36
日销售量
（件）
94
90
84
76
24
未来40 天内，前20 天每天的价格
（
且
为整数），后20 天每天的价格
（
且
为整数）．
(1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量
与时间
（天）之间的关系式；
(2)请预测未来40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20 天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠
元利润（
）给希望工程．公司通
过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间
（天）的增大而增大，求
的取值范
围．
【答案】(1)
(2)第18 天的日销售利润最大，最大日销售利润为450 元；
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分
和
两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函
数的性质可得；
（3）根据前20 天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数
的性质和
即可.
【详解】（1）通过表格可知m 与x 之间的关系为一次函数，
设一次函数为
，把
和
代入，
解得
，
∴
；
把
代入检验，
，符合题意，
∴日销售量m 与时间x（天）之间的关系式为
；
（2）设销售利润为W 元，
①当
时，
，
∴当
时，W 有最大值450，
②当
时，
，
∴当
时，W 随x 增大而减小，
∴
时，
，
∵
，
∴未来40 天中第18 天日销售利润最大，最大日销售利润为450 元；
（3）由题意知
二次函数开口向下，对称轴是
，
要使日销售利润随时间x 的增大而增大，则
，
∴
，
又
，
∴
．
4．某商场销售
型商品，已知该商品的进价是每件3 元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价（元）
4
5
6
7
8
9
10
日均销售量（件）
400
360
320
280
240
200
160
请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润
的最大值.
【答案】当定价为8.5 元时，该商品的日均销售利润最大，且最大值为1210 元.
【分析】设定价为
元，日均销售利润为
元，则
，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意表格中的数据可知，当售价为4 元时，日销售量为400 件，
售价每增加1 元，日销售量就减少40 件.
设定价为
元，日均销售利润为
元，
则
，
故当
时，
有最大值.
所以定价为8.5 元时，日均销售利润最大，且最大值为1210 元.
5．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化
工产品．已知该单位每月的处理量最少为400 吨，最多为600 吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似表示为
，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产
品价值为100 元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位
不亏损？
【答案】(1)600 吨
(2)该单位每月不获利．需要国家每月至少补贴140000 元才能不亏损
【分析】（1）根据题意得到二氧化碳每吨的平均处理成本表达式，结合基本不等式求解最小值即可；
（2）根据题意得到该单位每月获利的表达式，结合二次函数性质求解最值即可.
【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故该单位每月处理量为600 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为400 元
（2）设该单位每月获利为元，
则
，
由题意得，
，所以当
时，
故该单位每月不获利．需要国家每月至少补贴140000 元才能不亏损．
6．某矿物质有A、B 两种冶炼方法，若使用A 方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：
吨）的平方成正比，若使用B 方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知
用A 方法冶炼2 吨、用B 方法冶炼1 吨所需的总费用为14 千元，用A 方法冶炼1 吨、用B 方法冶炼2 吨所
需的总费用也是14 千元，现有该矿物质共m 吨（
），计划用A 方法冶炼x 吨（
），剩余部
分用B 方法冶炼，所需总费用为y 千元.
(1)建立y 与x 的函数关系：
(2)求总费用y 的最小值，并说明其实际意义．
【答案】(1)
，
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设，令各方法费用
，
，再由已知列方程组求参数
，即可得y 与x
的函数关系；
（2）由（1）有
，
，讨论
、
确定对应总费最小对应的实际意
义即可.
【详解】（1）若
分别表示用A、B 方法的费用，
表示A、B 方法使用矿物重量，
所以，可设
，
，
由题意，
，
所以，所需总费用
，且
.
（2）由（1）知：
，
，
当
时，
时总费用y 的最小值，即全部用方法A 冶炼费用最小；
当
时，
时总费用y 的最小值，即1.5 吨用方法A，剩余的用方法B，费用最小.
7．某厂家制造一件产品的成本为
元，如果一件产品的定价为
元时，可卖出
个；如果定价每提高
元售出的个数会减少
个，试将利润
表示成单价
的函数，并求出利润的最大值.
【答案】
，
元
【分析】根据条件先列出
关于
的函数，然后根据二次函数的性质求解出
的最大值即为最大利润.
【详解】由已知可得
，
所以
，
当
时，
，
所以利润的最大值为
元.
8．某商场试销一种进价为3 元的袜子，规定试销时的销售单价不低于4 元，又不高于8 元，试销期间经调
查发现：当销售单价为4 元时，平均每天能售出50 件．销售单价每增加1 元，平均每天就少售出10 件．
设该种袜子的销售单价为x 元，每天销售的利润为y 元．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)根据以上数据，袜子销售单价定价为多少元时每天销售的利润最高？最高利润是多少？
【答案】(1)
(2)当袜子销售单价定价为6 元时每天销售的利润最高，且最高利润是90 元．
【分析】（1）根据题意得到函数解析式，注意定义域；
（2）配方，求出函数最大值，得到答案.
【详解】（1）由题意可知
，则
，
即
（2）
，
而
，
当
时，
取到最大值为90，
当袜子销售单价定价为6 元时每天销售的利润最高，且最高利润是90 元．
题型二：分段函数模型的应用
9．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，
某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：
，且施用肥料及其它成本总投入为
元．已知这种水果的市场售价大约10 元/千克，且生产的水果都能
售出．记该水果利润为
（单位：元）．（利润
销售额
成本）
(1)写出利润
（元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为3 千克时，该水果利润最大，最大利润是400 元
【分析】（1）根据题目信息直接写出表达式即可；
（2）根据分段函数性质，结合二次函数和基本不等式分别求解最大值并比较即可.
【详解】（1）由已知
，
又
，
所以
，
整理得
（2）当
时，
，
所以当
时，
，
当
时，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
，
因为
，所以
的最大值为400，
故当施用肥料为3 千克时，该水果的利润最大，最大利润是400 元
10．随着人工智能的飞速进展，临港某车辆装配车间每2 小时装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产
8 小时.从当天开始生产的时刻起，所经过的时间x（单位：小时）与装配完成的车辆数
（单位：辆），
表示为函数
.
(1)用分段表示法写出函数
的解析式；
(2)数学上，常用
表示不大于
的最大整数，例如
，
；
也叫做取整函数.请用取
整函数写出函数
的简洁表达式.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定的条件，利用分段函数写出函数解析式即得.
（2）利用（1）的结论，结合取整函数的定义求解即得.
【详解】（1）当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
，
所以函数
的解析式为
.
（2）由取整函数的意义知，当
，即
时，
；
当
，即
时，
；当
，即
时，
；
当
，即
时，
；当
，即
时，
，
所以
.
11．佗城位于龙川县最南端，内有百岁街越王井赵伦故居正相塔越王庙孔庙考棚等旧址及古建筑，
､
､
､
､
､
､
某开发商计划2024 年在伦城景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400 万元，若该项目在2024 年
有
万名游客，则需另投入成本
万元，且
，该游玩项目的每张门票售
价为80 元.
(1)求2024 年该项目的利润
（万元）关于游客数量
（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)当2024 年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
；
(2)游客为40 万人时利润最大，最大为370 万.
【分析】（1）根据利润=销售额-成本，结合题目已知可得；
（2）根据一次函数和二次函数单调性，以及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可得，
，
即
.
（2）当
时，
单调递增，所以
；
当
时，
单调递增，
；
当
时，由基本不等式知
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故
.
综上，游客为40 万人时利润最大，最大为370 万.
12．中美贸易摩擦不断，美国对中国科技企业进行打压，更甚的是，美国对我国华为公司的限制上升到了
科技战的程度．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们压制和封锁华
为，然而这并没有让华为却步．华为及中国科技者经过三年多的努力，终于在今年取得突破．今年，我国
某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2024 年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此
款手机全年需投入固定成本500 万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本
万元，且
，由市场调研知，每部手机售价0.7 万元，且全年内生产的手机当年能
全部销售完．
(1)求2024 年的利润
（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润
销售额
成本）；
(2)2024 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)产量
千部时，利润取得最大值7750 万元.
【分析】（1）利用已知条件建立函数模型即可；
（2）根据二次函数的性质与基本不等式分类讨论计算即可.
【详解】（1）由题意可知
，
（2）当
时，
，
当且仅当
时取得最大值7500；
当
时，
，
当且仅当
时，取得最大值7750，显然
，
综上：当
时，取得最大值7750.
13．已知某医疗器械公司生产某型号的心电监测仪，生产该心电监测仪的固定成本为4 万元.月产量为
台，每生产一台仪器需增加投入200 元，为了积极响应政府复工复产的号召，该公司准备扩大产能，当月
产量不超过800 台时，总收益为
元，当月产量超过800 台时，总收益为25 万元，（注：利润=
总收益-总成本）
(1)将利润表示为月产量
的函数
；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少?
【答案】(1)
(2)600 台，140000 元
【分析】（1）分别将
与
时的利润与
关系的计算出即可；
（2）分段将
与
时的利润最大值计算出，选其中最大的即可.
【详解】（1）当
，
时，
；
当
，
时，
，
故
；
（2）当
，
时，
，
故当
时，有最大值
；
当
，
时，
，
综上所述，当
时，公司所获利润最大，最大值利润为
元.
14．某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调
研发现：某珍惜果树的单株产量
（单位：千克）与施用肥料
（单位：千克）满足如下关系：
，肥料成本投入为
元，其它成本投入
元.已知这种水果的市场售价大约
20 元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为
（单位：元）
(1)写单株利润
（元）关于施用肥料
（千克）的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
；
(2)当施用肥料4 千克时，单株利润取得最大值640.
【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可；
（2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可.
【详解】（1）由题意可知：
；
（2）根据（1）可知：
当
时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
易知
，
当
时，
，
当且仅当
，即
时取得等号，
综上，当施用肥料
千克时，单株利润取得最大值640.
题型三：对钩函数模型
15．某工厂为提升品牌知名度进行促销活动，需促销费用
万元，计划生产并销售某种文化产品
万件（生产量与销售量相等）．已知生产该产品需投入成本费用
万元（不含促销费
用），产品的促销价格定为
元/件．
(1)将该产品的利润
万元表示为促销费用
万元的函数；（注：利润
销售额
投入成本
促销费用）
(2)当促销费用投入多少万元时，此工厂所获得的利润最大?最大利润为多少?
【答案】(1)
，
(2)当促销费用投入1 万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为15 万元
【分析】（1）依题意可得
，
，化简即可；
（2）由（1）得
，
，先判断函数的单调性，从而可求解.
【详解】（1）根据题意可得销售额
，
则利润
，
，
化简得
，
；
（2）由（1）得
，
，
任取
，且
，
则
所以
在
上单调递增，
当
时，
，
当促销费用投入1 万元时，此工厂所获得的利润最大，最大利润为15 万元.
16．喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距
的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道
路限速
.油价为每升8 元，当汽车以
的速度行驶时，油耗率为
.已知代驾司机按
每小时56 元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.
【答案】最经济的车速为
时，使得本次行程的总费用最少为
元.
【分析】根据题设可得
，
，利用对勾函数的性质可求该函数的最小值.
【详解】设汽车以
行驶时，开车时间为
小时，则代驾费用为
，
油耗为
，
则总费用
，
，
由对勾函数的性质知，函数在
单调递减，在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
取到最小值，
最小值为
.
最经济的车速为
时，使得本次行程的总费用最少为
元.
17．为迎接2022 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调
查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足：
（其中
，a
为正常数）．已知生产该产品还需投入成本
万元（不含促销费用），产品的销售价格定为
元/件．假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据已知可推得
，代入
，化简即可得出结果；
（2）当
时，根据基本不等式即可求出最大值；当
，先根据单调性的定义得出
在
上的单调性，即可得出最大值.
【详解】（1）由题意知，
，
将
代入化简得，
．
（2）因为
当且仅当
，即
时，等号成立．
所以（ⅰ）当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立；
（ⅱ）当
时，
设
，
，
.
，且
，则
.
因为
，且
，所以
，所以
，
所以，函数
在
上单调递增，
所以，
在
上单调递增，
所以，
在
上单调递增.
所以，当
时，y 取最大值为
．
综上，当
时，促销费用投入2 万元时，厂家的利润最大为17 万元；
当
时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大为
万元．
18．市政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税，某外资厂该第一个月A 型产品出厂价为每件
10 元，月销售量为6 万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为
，即销售1 元
要征收
元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件
元，预计月销售量将减少p 万件.
（1）将第二个月政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二个月该厂的税收不少于1 万元，则p 的范围是多少？
（3）在第（2）问的前提下，要让厂家本月获得最大销售金额，则p 应为多少？
【答案】（1）
.定义域为
.（2）
（3）
【分析】（1）求出月销售收入，从而求出政府对该商品征收的税收；
（2）解不等式，求出
的范围即可；
（3）求出厂家的销售收入为
，根据函数的单调性求出
的最大值以及对应
的
的值即可.
【详解】解：（1）依题意，第二个月该商品销量为
万件，
月销售收入为
万元，
政府对该商品征收的税收
（万元）.
所以所求函数为
.
由
>0 及
得，所求函数的定义域为
；
（2）由
得
化简得
，
即
，解得
，
所以当
，税收不少于１万元；
（3）第二个月，当税收不少于１万元时，厂家的销售收入为
，因为
在区间上
是减函数，
所以
（万元）.
所以当
时，厂家销售金额最大.
【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查解不等式，有一定的综合性.
