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专题05 充分条件、必要条件
题型一：充分条件、必要条件的判断
题型二：根据充分性，必要性求参数
题型三：探索命题为真的充要条件
题型四：易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
题型一：充分条件、必要条件的判断
1．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可.
【详解】当
时，
，且当
时，
，即当
时，
不一定成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A
2．已知a，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由
推不出
，例如
，
；由
可得
，
或
，
，当
，
时不能推出
，例如
，
，所以“
”是 “
”的既
不充分也不必要条件.
3．设集合
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据已知条件，推得
是
的真子集，即可判断．
【详解】∵集合
，
，
∴
是
的真子集，
是
的充分不必要条件．
故选：A．
4． “
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若
，则
，但
不一定相等.若
，则
，故“
”是“
”的必要
不充分条件.
5．命题A：
是无理数，命题B：
是无理数，则命题A 是命题B 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.
【详解】
是无理数，
不一定是无理数，如
，
；而
是无理数，
一定是无理数，
故命题A 是命题B 的必要不充分条件.
故选：B
6．已知
、
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出
的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由
可得
且
，
因为“
”
“
且
”，“
”
“
且
”，
因此，“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
7．已知
，
且
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】当
且
时，
成立，但当
时，
且
不一定成立，如
且
，
所以
，
，
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B.
8．“一元二次方程
有实数根”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若一元二次方程
有实数根，则
且
，
所以充分性成立；
由
推不出
，即推不出方程
一定为一元二次方程，故必要性不成立；
所以“一元二次方程
有实数根”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
9．若
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，求得满足条件
的集合A，再根据必要不充分条件定义即可得解.
【详解】由
可得
，
因为集合
是集合
的真子集，
所以
是
的必要不充分条件.
故选：C.
题型二：根据充分性，必要性求参数
10．已知
，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，若p 是q 的充分条件，则
，故
．
11．若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的最小值是 ．
【答案】2
【详解】由
，得
．因为“
”是“
”的必要不充分条件，所以
，所以
，即实数
的最小值为2．
12．已知
或
，
或
，若
是
的必要条件，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设集合
或
，
或
，由题意可得
，分
、
两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得
出关于实数
的不等式组，综合可得出实数
的取值范围.
【详解】设集合
或
，
或
，
若
是
的必要条件，则
，
当
时，即
时，此时
，
成立；
当
时，即
时，若
，此时
，该不等式组无解.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
13．已知集合
，
.
(1)若
，求
；
(2)若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当
时，求出集合
，利用补集和交集的定义可求得集合
；
（2）分析可知
是
的真子集，分
、
两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数
的不等式（组），综合可得出实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，集合
，可得
或
，
因为
，所以
.
（2）若“
”是“
”的充分不必要条件，所以
是
的真子集，
当
时，即
时，此时
，满足
是
的真子集；
当
时，则满足
，解得
，
当
时，
，此时
是
的真子集，合乎题意；
当
时，
，此时
是
的真子集，合乎题意.
综上，实数
的取值范围为
.
14．已知集合
．
(1)若
，求
;
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
；
(3)
．
【分析】
利用交集运算即可；
利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可；
把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围.
【详解】（1）当
时，
，
所以
；
（2）因为
，
所以由
，得
，
当
时，
，解得
，满足题意；
当
时，则
，解得
，
综上，
，故实数
的取值范围为
；
（3）由
是
的充分不必要条件，可得
，
又
，
则
，且
式等号不同时成立，解得
，
故实数
的取值范围是
．
15．设集合
，集合
，
．
(1)若集合
是空集，求
的取值范围；
(2)若“
”是“
”的充分不必要条件，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空集构造不等式求解即可；
（2）由条件确定集合
是集合
的真子集，再构造不等式求解即可；
【详解】（1）因为集合
是空集，所以
，
解得
，所以
的取值范围为
．
（2）
．
集合
不是空集，则
，解得
．
“
”是“
”的充分不必要条件等价于集合
是集合
的真子集，
则
，等号不同时取到，解得
，
故
的取值范围为
．
16．已知集合
，集合
．
(1)若
，求
；
(2)设命题
；命题
，若命题
是命题
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合
，再求
即可；
（2）由命题
是命题
的必要不充分条件得集合
是集合
的真子集，再分
、
讨论可得答案.
【详解】（1）
，
若
，则集合
，
所以
，
则
=
；
（2）∵命题
是命题
的必要不充分条件，
∴集合
是集合
的真子集，
当
时，
，解得
，
当
时，
，或
，
解得
，
综上所述，实数
的取值范围为
．
17．已知
：关于
的方程
有实数根，
.
(1)若命题
是真命题，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题
是真命题，可得命题
是假命题，再借助
，求出
的取值范围作答.
（2）由命题
是命题
的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为命题
是真命题，则命题
是假命题，
即关于
的方程
无实数根，
因此
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
（2）由（1）知，若命题
是真命题，则
，
因为命题
是命题
的必要不充分条件，
则
是
的真子集，
因此
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
18．已知集合
.
(1)求
；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
，
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合；
（2）由必要不充分条件有
，进而分情况求解参数范围.
【详解】（1）由题意知：集合
，
集合
或
，
所以
或
，
；
（2）由“
是
的必要不充分条件”知：
，
当
时，
，即
，符合题意，
当
时，
，即
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
题型三：探索命题为真的充要条件
19．“
，
”成立的充分必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】讨论
是否为0，当
时，显然无解，故
，用
表示出方程的解，令结果大于0，
求得
的取值范围.
【详解】当
即
时，
，
，所以
；
当
即
时，
，
.
故选：C.
20．“方程
有实根”的充要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分
和
，利用判别式法求得a 的范围，再利用逻辑条件判断.
【详解】解：当
时，
，方程有实根；
当
时，
，解得
，此时，
，且
，
综上：方程
有实根”的充要条件为
，
故选：A
21．一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合一元二次方程根的情况求解即得.
【详解】一元二次方程
有一个正根和一个负根，等价于
，解得
，
所以所求充要条件是
.
故选：A
22．若
，则
成立的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合充要条件的概念列出不等式即可.
【详解】充分性：因为当
时，
，所以
成立的充分条件为
，充分性成立；
必要性：若
，当
时，
成立，必要性成立．
故若
，则
成立的充要条件是
．
故选：B
23．若命题
：“
”是命题
：“
”的充要条件，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将问题转化为
恒成立即可求解.
【详解】
恒成立，
，所以
，解得
．
故选：B
24．关于
的方程
的解为
的充要条件是 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由必要性得，若方程
的解为
，把
代入方程解得
，
当
时，方程为
，解得
，充分性成立，
所以方程
的解为
的充要条件为
.
故答案为：
.
25．已知命题
，若
是
的充要条件，则
．
【答案】-1
【分析】设
，
，由
是
的充要条件，得
求解即可.
【详解】由题意得，
，得
，
设
，
，由
是
的充要条件，得
，
即
，得
．
故答案为：-1
题型四：易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
26．设实数
，则不等式
的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件.
【详解】当等号成立时
，可知
，两边同时平方得
，
化简得
，可得
时等号成立，则一个充分不必要条件可以是
.
故选：A.
27．若“
”的充分不必要条件是“
”，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数
的取值范围.
【详解】由＂
＂的充分不必要条件是＂
＂，
得
，但
，
所以
．
故选：B.
28．下列条件中，是“
”的充分不必要条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用充分不必要条件的定义即可判断.
【详解】因为
是
的真子集，即由
能推出
，
而
推不出
，所以“
”的充分不必要条件的是“
”．
故选：C．
29．使“
或
”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据充分不必要条件的判定可得
【详解】各选项中，只有
为
或
的真子集，其余均不为真子集，
故“
”是“
或
”的一个充分不必要条件，
故选:C
30．（多选）在下列条件中，能成为“使二次方程
的两根为正数”的必要不充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
且
D．
，
，
【答案】ABC
【详解】若二次方程
的两根为正数，则
，
，
，故满足其中一个或两
个不能推出二次方程
的两根为正数，所以选项A，B，C 能成为使二次方程
的
两根为正数的必要不充分条件.
