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第一章 集合与逻辑词
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【来源】云南省保山市2021-2022学年高一下学期期末质量监测数学试题
【答案】D
【解析】解：由 ，即 ，解得 ，所以
，
由 ，即 ，解得 ，即 ，
所以 .
故选：D
2．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】黑龙江省齐齐哈尔市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】取 ，满足 ，而 无意义，即 不能推出 ；
若 ，则必有 ，即 成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
3．已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题【答案】B由 解得 或 ，
所以 ，有两个元素，
所以 的子集个数为 .
故选：B
4．已知 是 的必要不充分条件， 是 的充分且必要条件，那么 是 成立的（ ）
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】湖南省长沙市麓山国际学校2020-2021学年高一下学期入学学情检测数学试题
【答案】C
【解析】由条件可知 ， ，所以 ， ，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：C
5．下面有四个命题：
（1）集合 中最小的数是 ； （2） 是自然数；
（3） 是不大于 的自然数组成的集合；（4） ，则 不小于 ．
其中正确的命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【来源】1.1 集合的含义与表示
【答案】A
【解析】对于（1），集合 中最小的数是0，故错误，
对于（2），0是自然数，故正确，
对于（3），不大于3的自然数还包括0，故错误，
对于（4），当 ，则 ，故错误，
故选：A
6．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【来源】贵州省黔西南州2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题
【答案】D
【解析】解：因为 ， ，
所以 .
2故选：D
7．若集合 ，则集合A的元素个数为（ ）
A．4042 B．4044 C．20212 D．20222
【来源】北京市第十二中学2021-2022学年高一下学期10月月考数学试题
【答案】B
【解析】由题意， .
若n为偶数， 为奇数，
若 ，
以此类推， ，共2022个n，每个n对应一个 ；
同理，若n为奇数， 为偶数，此时 ，共2022个n，每个n对应一
个 .
于是，共有4044个n，每一个n对应一个m满足题意.
故选：B.
8．设数集 满足下列两个条件：
(1) ， ；(2) 或 ，则 ．
现给出如下论断：
① 中必有一个为 ；② 中必有一个为 ；
③若 且 ，则 ；④存在互不相等的 ，使得 ．
其中正确论断的个数是（ ）
A． B． C． D．
【来源】1.4&1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词
【答案】C
【解析】由(2)知 不属于 (①不成立)，
由(1)可推出对于任意 ，
等于 中的某一个，
不妨设 ，
， (由(1)知②成立)，
若③中 ，则 ，
由(1)知 ，即 ，
时③成立，
同理有 时③成立和 时③成立，下面讨论 时，
， 若 ，则 ，③成立(最后会证到 即 不可能等于1)，
若 ，则 中的某个等于1，
不妨设 ，由 知 ，
由(1)知 ，又 (即 )， (即 )， (即 )，
，
同理有 ，
， ， ，
， ③成立，
综上，对于任意 ，有 成立，即③成立，
由 即 的讨论可知
当 时， ，(联立 解出 )
此时，④成立，
若 即 ，则 ，由（1）知 ，
若 ，则 ，不可能，
若 ，则 ，不可能，
若 ，则 ，不可能，
，
同理有 ，
的平方根有且只有两个值，
那么 中至少有两个相同，这与 同属于 矛盾，
不存在 即 的情况，
④成立．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下面四个结论正确的是（ ）
A． ，若 ，则 ．
B．命题“ ”的否定是“
4C．“ ”是“ ”的必要而不充分条件．
D．“ 是关于x的方程 有一正一负根的充要条件．
【来源】专题02 《常用逻辑用语》中的易错题-2021-2022学年高一数学上册同步培优训
练系列（苏教版2019）
【答案】BD
【解析】对于A，取 ，满足 ，而 ，A不正确；
对于B，存在量词命题的否定是全称量词命题，则“ ”的否定是“
”，B正确；
对于C，取 ，满足 ，而 ，即 不能推出 ，
反之，取 ，满足 ，而 ，即 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件，C不正确；
对于D，当方程 有一正一负根时，由方程两根之积可得 ，
反之，当 时， ，方程有两个根，并且两根之积为负数，两根异号，
所以“ ”是“关于x的方程 有一正一负根”的充要条件，D正确．
故选：BD
10．设 ， ，若 ，则实数 的值可以为
（ ）
A．2 B． C． D．0
【来源】第一章 集合与常用逻辑用语综合测试-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学
讲义（人教A版2019）
【答案】BCD
【解析】集合 ， ， ，
又 ，
所以 ，
当 时， ，符合题意，
当 时，则 ，所以 或 ，
解得 或 ，
综上所述， 或 或 ,
故选：11．下列命题中是真命题的是（ ）
A．若 ，且 ，则 ， 中至少有一个大于
B． 的充要条件是
C． ，
D． ，
【来源】河北省唐山市遵化市2021-2022学年高一上学期期中数学试题
【答案】AC
【解析】解：对于A选项，假设 ， 中没有一个大于 ，即 ， ，则 ，与
矛盾，故命题正确；
对于B选项，显然充分性不成立；当 时， ，此时 ，必要性不成
立，故错误；
对于C选项，当 时， 成立，故正确；
对于D选项， 时， ，故错误.
故选：AC
12．已知集合 ，则使 的实数 的取值
范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】福建省厦门松柏中学2021-2022学年高一10月第一次月考数学试题
【答案】ACD
【解析】
，
①若 不为空集，则 ，解得 ，
，且 ，
解得 ，此时 ；
②若 为空集，则 ，解得 ，符合题意，
综上实数 满足 即可，
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合 ， ，定义集合
6，则 中元素的个数为_______．
【来源】1.1集合的概念C卷
【答案】 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， 共45个元素；
故答案为：
14．若命题“ ，使得 ”是真命题，则实数a的取值范围是_______．
【来源】第2章 常用逻辑用语（基础卷）
【答案】
【解析】 ，使得 ，
，解得 或 ，即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
15．集合 有10个元素，设M的所有非空子集为
每一个 中所有元素乘积为 ，则
___________.
【来源】福建省福州第三中学2021－2022学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】-1
【解析】集合M的所有非空子集为 可以分成以下几种情况
①含元素0的子集共有 个，这些子集中所有元素乘积 ；
②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有 个
③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有 个
其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则 的和为0，④只含元素-1的子集1个，满足 ，
综上：所有子集中元素乘积 .
故答案为：-1
16．集合 任取 这三个式子
中至少有一个成立，则 的最大值为________．
【来源】1.3 集合的基本运算
【答案】7
【解析】不妨假设 若集合 中的正数个数大于等于 ，故 为正
项，
则 和 均大于 于是有 从而 矛盾！
所以集合 中至多有3个正数，同理集合 中最多有 个负数，取
满足题意，
所以 的最大值为 ．
故答案为：7
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知集合 ， 或 .
(1)求 ， B；
(2)若集合 ，且 为假命题.求m的取值范围.
【来源】第一章 集合与常用逻辑用语综合测试-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学
讲义（人教A版2019）
【答案】(1) ，
(2) 或
【解析】(1) ， 或 ，
或 ；
(2)∵ 为假命题，
∴ 为真命题，即 ，
又 ， ，
当 时， ，即 ， ；
当 时，由 可得，
8，或 ，
解得 ，
综上，m的取值范围为 或 .
18．（12分）
已知集合A＝ ， ．
(1)当m＝1时，求A B，( A) B；
(2)若A B＝A，求实数m的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
① 函数 的定义域为集合B；② 不等式 的解集为B．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【来源】广东省汕头市潮阳区河溪中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
【答案】(1) ；
(2)
【解析】(1)选条件①：
（1）当 时， ，
选条件②：此时集合 与①相同，其余答案与①一致；
(2)
若 ，则
当 时， ，解得
当 时， ，即 ，解得
综上，实数m的取值范围为19．（12分）
已知“ ，使等式 ”是真命题
(1)求实数m的取值范围M
(2)设集合 ，若“ ”是“ ”的充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】(1)
若“ ，使等式 ”是真命题，则 ，
由 ，则 ，
∴ .
(2)
若“ ”是“ ”的充分条件，则 是 的子集，
∴ 解得 ，经检验 符合题意，
∴a的取值范围是 .
20（12分）
已知p： ，q： ，
(1)若 是 的必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的必要非充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：设 ， ，
因为 是 的必要条件，所以集合 是集合 的子集，
所以 ，即实数 的取值范围
(2)解：因为 是 的必要非充分条件，
所以集合 是集合 的真子集，
所以 ，即实数 的取值范围
21（12分）
10设集合 ， ， ．
(1) ，求 的值；
(2) ，且 ，求 的值；
(3) ，求 的值．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)
此时当且仅当 ，由韦达定理可得 和 同时成立，即 ．
(2)
由于 ， ，故只可能 ，此时 即 或 ，由
（1）可得 ．
(3)
此时只可能 ，由 ，得 或 ，由（1）得 ．
22．（12分）
已知 ， ， 均为实数，二次函数 ，集合 ，
， ．
(1)若 且 ，求 的值；
(2)当 时，若集合 中恰有 个元素，求 的最小值．
【来源】第01练 集合-2022年【寒假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第一册）
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)
证明：由方程 解得 ，
又因为 ，
所以 ．
把 代入方程 ，即得 ．
(2)
解：记方程 的判别式为 ，记方程 的判别式 ．
当 时， ，显然不符合题意．
当 ， 时 ，则 ， ．因为 ，所以 中有4个元素，不符合题意．
当 ， 时，则 且 ，所以 ．
解得 或 （舍去），此时 ．
当 ， 时， 或 ．
①若 ，即 ，则必有 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ．即 ．
②若 ，即 ，化为 ，必有 ．
则 ， ．
综上所述，当且仅当 ， 时， 有最小值 ．
12
