高一上学期期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数）（解析版）_1多考区联考试卷_1102高一上学期期中重难点检测卷（培优卷）

高一上学期期中重难点检测卷（培优卷）
【考试范围：集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数】
注意事项：
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟，试题共 19 题。答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．）
1．（2023·全国·一模）已知集合A={1,2,4}，集合B={x|2−x<1}，则AB=（ ）
A．{1,4} B．{2,4} C．{1,2} D．{4}
【答案】B
【解析】可以求出集合B,然后进行交集的运算即可.
【详解】解：B={x|2−x<1}={x|x>1}，
所以AB={2,4}
.
故选：B.
【点睛】本题考查描述法和列举法的定义，以及交集的运算.
2．（21-22高三上·江苏南通·期中）设a,b∈R，集合P={0,1,a}，Q={−1,0,b}，若P=Q，则a+b=（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】按照集合相等的定义，计算可求解.
【详解】P=Q，∴a=−1,b=1，∴a+b=0.
故选：C
3．（23-24高一上·江苏南京·期中） a <1是a2 < 1的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据题干直接判断即可.
【详解】因为 a <1⇒a2 <1，且 a2 <1⇒ a <1，
学科网（北京）股份有限公司所以 a <1⇔a2 <1，
所以 a <1是a2 < 1的充要条件.
故选：C
4．（23-24高一上·江苏无锡·期中）若a,b,c∈R，且a>b，则（ ）
1 1
A． < B．a2 >b2
a b
a a+c
C．−a+c<−b+c D．若a>b>c>0，则 <
b b+c
【答案】C
【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C即可．
1 1 1
【详解】对于A，若a=1,b=−2，则 =1> =− ，故A错误；
a b 2
对于B，若a=1,b=−2，则a2 <b2，故B错误；
对于C，因为a>b，所以−a<−b，所以−a+c<−b+c，故C正确；
a 5 a+c 6
对于D，若a=5,b=2,c=1，则 = > = =2，故D错误；
b 2 b+c 3
故选：C
5．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(−∞,1)∪(3,+∞)，则不等式
bx2+ax+c≥0的解集是（ ）
 3  3 
A．

−1,

B．

− ,1

 4  4 
 3 3 
C．−∞,−

[ 1,+∞) D．(−∞,−1 ]

,+∞
 4 4 
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出a，b，c，之间的关系，再
代入不等式即可求解.
【详解】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(−∞,1)∪(3,+∞)
∴1和3是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a>0.
 b
1+3=−
  a b=−4a
则 ，解得 .
 1×3= c c=3a
 a
所以不等式bx2+ax+c≥0等价于−4ax2+ax+3a≥0（a>0），即4x2−x−3≤0，
学科网（北京）股份有限公司3
解得：− ≤x≤1
4
 3 
所以不等式bx2+ax+c≥0的解集是

− ,1

 4 
故选：B.
6．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（ ）
A．3 −8 = 6 (−8)2 B． (3−π)2 =3−π
C．n an = a ( n>1,n∈N*) D．(n a)n =a ( n>1,n∈N*)
【答案】D
【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.
【详解】3 −8=−2，6 (−8)2 = 6 64 = 6 26 =2，故A错误；
(3−π)2 = 3−π =π−3，故B错误；
∵n>1,n∈N*，∴当n为奇数时，n an =a ；当n为偶数时，n an = a ，故C错误；
(n a)n =a ( n>1,n∈N*) 成立，故D正确.
故选：D.
b
1
7．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知a=log
2
3−1，
 
=5，c=log
3
2，则a，b，c的大小关系为
2
A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c
【答案】B
b=log 5=−log 5
【分析】先将指数结构转化为对数结构可得 1 2 ，再利用对数的性质即可比较大小.
2
b
1 b=log 5=−log 5
【详解】解：由   =5，则 1 2 ，
2 2
又a=log 3−1 =−log 3，
2 2
则有−log 5<−log 3<0<log 2，
2 2 3
即b<a<c，
故选：B.
【点睛】本题考查了对数的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
8．（22-23高一上·江苏南通·期中）计算：lg2+5log25 (lg2−1)2 =（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2lg2 B．1 C．2lg2−1 D．lg5
【答案】B
【分析】利用换底公式和对数的运算律可计算出所求代数式的值.
【详解】lg2<lg10=1，∴lg2−1<0，
由换底公式可得log (lg2−1)2 =log (1−lg2)2 =log (1−lg2)，
25 52 5
因此，原式=lg2+5log5 (1−lg2) =lg2+1−lg2=1.
故选：B.
【点睛】本题考查对数的运算，解题时要充分利用换底公式、对数的运算律以及对数恒等式来进行化简计
算，考查计算能力，属于基础题.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（22-23高一上·江苏连云港·期中）图中阴影部分用集合表示正确的是（ ）
A．A∩B B． (A B)
A U
C． (B A) D．( A)( B)
B U U U
【答案】ABC
【分析】由图可得图中阴影部分表示为A∩B，再根据集合的运算判断即可.
【详解】由图可得图中阴影部分表示为A∩B，
又 ( A B )=AB， ( B A )=AB，(  A )(  B )= (AB)，
A U B U U U U
故符合题意的有A、B、C.
故选：ABC
10．（22-23高一上·江苏南京·期中）若“∃x∈M,x<0”为真命题，“∃x∈M,x≥3”为假命题，则集合M可以
是（ ）
A．(−∞,1) B．[−1,3 ]
C．[ 0,2) D．(−3,3)
【答案】AD
学科网（北京）股份有限公司【分析】由已知条件，写出命题∃x∈M,x≥3的否定，即为真命题，四个选项逐一判断即可.
【详解】由题意∃x∈M,x<0为真命题，∀x∈M,x<3为真命题，则应满足选项为集合 { x x<3 } 的子集，且
满足∃x∈M,x<0，AD选项均满足，B选项当x=3时不符合∀x∈M,x<3，故错误，C选项不存在x∈M,x<0，
故错误.
故选：AD
11．（23-24高一上·江苏·期中）关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为 { x x≤−1或x≥4 } ，下列说法正确的
是（ ）
A．a>0
 1 
B．不等式cx2−bx+a<0的解集为x − <x<1
 4 
3
C． +c的最大值为−4
b
1 2
D．关于x的不等式x2+bx+c<0解集中仅有两个整数，则a的取值范围是 ,

7 5
【答案】ACD
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得b=−3a,c=−4a，进而可判断
ABC，根据二次函数零点分布即可求解D.
【详解】不等式ax2+bx+c≥0的解集为 { x x≤−1或 ，
故x=−1和x=4是方程ax2+bx+c=0的两个根， 𝑥𝑥 ≥4}

a>0

 b
所以− =−1+4，解得b=−3a,c=−4a，故A正确，
 a
c

=−1×4
a
1
对于B，cx2−bx+a<0可变为−4ax2+3ax+a<0⇔4x2−3x−1>0，解得x>1或x<− ，故B错误，
4
3 1 1  1 1 3
对于C， +(−4a)= −4a=− +4a≤−4，当且仅当 =4a，即a= 时等号成立，所以 +c的最大
−3a −a a  a 2 b
值为−4，C正确，
对于D，x2+bx+c<0的不等式可变为x2−3ax−4a<0，
记 f (x)=x2−3ax−4a,由于 f (0)=−4a<0，故0是x2+bx+c<0的一个整数解，
学科网（北京）股份有限公司f (1)=1−7a<0
3a  1 2
由于对称轴x= >0，要使不等式x2+bx+c<0解集中仅有两个整数，则f (2)=4−10a≥0,，故 <a≤ ，
2  f (−1)=1−a≥0 7 5
故D正确，
故选：ACD
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．（22-23高一上·江苏淮安·期中）满足{1,3,5}∪A={1,3,5,7}的集合A的个数为
.
【答案】8
【分析】由题可知,集合A中必含有元素7，再一一列举即可.
【详解】解：集合A可以为{7},{7,1},{7,3},{7,5},{7,1,3},{7,1,5},{7,3,5},{1,3,5,7}
,
共8个.
故答案为：8.
13．（23-24高一上·江苏无锡·期中）若命题p:∃x∈R，ax2 −ax≤−1为假命题，则a的取值范围为 .
【答案】[0,4)
【分析】由它的否定是真命题求解．
【详解】由题意¬p:∀x∈R, ax2−ax>−1是真命题，即ax2−ax+1>0，
a=0时显然满足，
a>0
a≠0时， ，解得0<a<4，
Δ=a2−4a<0
综上a的范围是[0,4)．
故答案为：[0,4)．
14．（21-22高三上·江苏苏州·阶段练习）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通
常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足
L=5+1gV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为 ．（精确到
0.1）（参考数据：1010 ≈1.259）
【答案】0.8
【分析】根据给定条件，把L=4.9代入进行计算即可作答.
1 1
【详解】在L=5+1gV中，当L=4.9时，lgV =−0.1，则V =10−0.1 = ≈ ≈0.8，
1010 1.259
学科网（北京）股份有限公司所以视力的小数记录法的数据为0.8.
故答案为：0.8
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知集合P={x∣−2<x<2},Q={x∣0≤x<3}，求下列集合：
(1)P∩Q;
(2)
(
 P
)∪(
 Q
)．
R R
【答案】(1) {x|0≤x<2}
(2)
{x|x<0或x≥2}
.
【分析】（1）直接由交集的概念即可得解.
（2）直接由补集、并集的概念即可得解.
【详解】（1）因为P={x∣−2<x<2},Q={x∣0≤x<3}，所以PQ={x|0≤x<2}
.
（2）因为P={x∣−2<x<2},Q={x∣0≤x<3}，
所以 P={x|x≤−2或x≥2}， Q={x|x<0或x≥3}，
R R
从而
(
 P
)∪(
 Q
)={x|x<0或x≥2}
.
R R
16．（20-21高一上·江苏南通·期中）在①充分不必要；②必要不充分；③充要这三个条件中任选一个，补充
到下面的横线中，求解下列问题：
 1 { }
已知集合A=x|2−a≤x≤1+2a,a≥ ，B= y| y= 6x+1,0≤x≤4 .
 3
（1）若a=2，求A∩B；
（2）是否存在实数a，使得x∈A是x∈B的 条件.若存在，求实数a的取值范围；若不存在，
请说明理由.
(注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分)
1 
【答案】（1）A∩B=[ 1，5 ]；（2）选①

，1

；选②a≥2；选③不存在，理由见解析.
3 
【分析】（1）首先根据题意得到A={x|0≤x≤5}，B={y|1≤ y≤5}，再求A∩B即可.
学科网（北京）股份有限公司 
2−a≥1 2−a≤1
 
（2）若选①，得到1+2a≤5，再解不等式组即可；若选②得到1+2a≥5，再解不等式组即可；若选③，
 
1 1
a≥ a≥
 3  3

2−a=1

得到1+2a=5，再解方程组即可.

1
a≥
 3
【详解】（1）A={x|0≤x≤5}，B= { y| y= 6x+1,0≤x≤4 } ={y|1≤ y≤5}，
所以A∩B=[ 1，5 ] .
（2）若选①，x∈A是x∈B的充分不必要条件，

2−a≥1
 1
所以1+2a≤5⇒ ≤a≤1.
 3
1
a≥
 3
若选②，x∈A是x∈B的必要不充分条件，

2−a≤1

所以1+2a≥5⇒a≥2.

1
a≥
 3
若选③，x∈A是x∈B的充要条件，

2−a=1

所以1+2a=5，无解.

1
a≥
 3
17．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知a∈R，命题p:∀x∈[
1,2
]，a≤x2；命题q:∃x∈R，使得
x2+2ax−(a−2)=0.
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围；
【答案】(1)1；
(2)
(−2,1)∪(1,+∞)
.
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先求出x2的范围，利用全称命题为真命题即可求得；（2）先求出命题q为真时a的取值范围，
进而分类讨论：i.p真q假时和ii. p假q真时分别求出对应a的取值范围即可求解.
【详解】（1）记y=x2,x∈[1,2]，由y=x2在[ 1,2 ]单调递增，所以y =12 =1.
min
要使命题p:∀x∈[
1,2
]，a≤x2为真命题，只需a≤1，即a的最大值为1.
（2）命题q:∃x∈R，使得x2+2ax−(a−2)=0为真命题，则∆=4a2+4(a−2)≥0，解得：a≥1或a≤−2.
a≤1
i.p真q假时，只需 ，所以−2<a<1；
−2<a<1
a>1 a>1
ii. p假q真时，只需 或 ，所以a>1；
a≥1 a≤−2
所以−2<a<1或a>1.
综上所述：a的取值范围为(−2,1)∪(1,+∞)
.
18．（22-23高一上·江苏无锡·期中）试比较下列各组中两个代数式的大小
(1)
(x+1)(x+5)与(x+3)2
;
1
(2)当x>3时,x+ 与4．
x−2
【答案】(1)(x+1)(x+5)<(x+3)2
1
(2)x+ >4
x−2
【分析】(1)对两式进行做差化简判断与零的大小关系,即可判断出大小;
(2)对两式进行做差通分化简合并判断与零的大小关系,即可判断出大小.
【详解】（1）解:由题知,(x+1)(x+5)−(x+3)2 =x2+6x+5−(x2+6x+9)=−4<0,
故(x+1)(x+5)<(x+3)2;
1 x(x−2)+1−4(x−2) x2−6x+9 (x−3)2
（2）x+ −4= = = ,
x−2 x−2 x−2 x−2
(x−3)2
 x>3,∴ >0,
x−2
1
∴x+ −4>0,
x−2
1
即x+ >4.
x−2
学科网（北京）股份有限公司19．（23-24高一上·江苏扬州·期中）计算：
8 6 1
（1）
(a5b5)2 ÷55 a4 ÷5b3
32
（2）2log 2−log +log 8
3 3 9 3
1
【答案】（1） ；（2）2
5
【分析】（1）利用指数幂和根式的运算法则计算化简；（2）利用对数运算法则计算得解.
8 6 1 4 3 1 4 − 4 3 − 3 1
【详解】（1）原式=(a5b5)2 ÷5⋅a5 ÷b5 = a5 5b5 5 = ；
5 5
32 4×8
log 4−log +log 8=log =log 9=2
（2）原式= 3 3 9 3 3 32 3 .
9
【点睛】本题主要考查指数幂和根式的运算，考查对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平.
学科网（北京）股份有限公司