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高一上数学暑假测试密卷（一）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求，选对得5分，选错得0分．
1．已知命题 ，都有 ，则命题p的否定为（ ）
A． ，都有 B． ，使得
C． ，使得 D． ，使得
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定方法进行求解.
【详解】因为命题 ，都有 ，
所以命题p的否定为 ，使得 .
故选：C.
2．若不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】讨论 是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求.
【详解】①当 时， 成立
②当 时，若不等式 的解集为 ，
则不等式 在 恒成立，
则 ，
解得：
综上，实数 的取值范围是
故选：D.
3．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选：C.
4．已知函数 的值域为R，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段函数值域为R，在x＝1左侧值域和右侧值域并集为R.
【详解】当 ，
∴当 时， ，
∵ 的值域为R，∴当 时， 值域需包含 ，
∴ ，解得 ，
故选：C.
5．已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指，对，幂函数的单调性，即可比较大小.
【详解】函数 单调递减，所以 ，
函数 在 上单调递增，所以 ，
单调递减， ，
所以 ，即 .
故选：C6．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成木，每条生产线生产的产品可获得的
利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年）， ，满足二次函数关系： ，现在要
使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（ ）年.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意，年平均利润为 ， ，
因为 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
即当 时，年平均利润最大为6万元.
故选：B
7．设函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，讨论 、 ，结合一次函数、二次函数性质判断 是否存在最小值，进而
确定参数范围.
【详解】由 ，函数开口向上且对称轴为 ，且最小值为 ，
当 ，则 在定义域上递减，则 ，
此时，若 ，即 时， 最小值为 ；
若 ，即 时， 无最小值；当 ，则 在定义域上为常数，而 ，故 最小值为 ；
当 ，则 在定义域上递增，且值域为 ，故 无最小值.
综上， .
故选：B
8．函数 的图象如下图所示，函数 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图象求出 的范围，然后可得答案.
【详解】由图可知当 或 时，满足 ；
由 可得 ，由 可得 ，
综上 的解集是 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【分析】取特值可判断A；由不等式的性质可判断B，C，D.
【详解】对于A，当 时，不等式不成立，故A是假命题；
对于B，若 ，则 ， ，所以 ，故B是真命题；
对于C，若 ，则 ，
所以 ，故C是假命题；
对于D，若 ，则 成立，故D是真命题.
故选：BD.
10．设函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后结合换底公式进行判断即可.
【详解】解：函数 ，定义域为 ，
，
所以 为奇函数，所以 ，
当 时，由复合函数的单调性可知 单调递增，
因为 ，
所以 ，结合选项可知A，B正确.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：比较函数值的大小一般从函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等性质方面进行判断.
11．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．“ ”的否定是“ ”
B．函数 （其中 ，且 ）的图象过定点
C．当 时，幂函数 的图象是一条直线
D．若函数 ，则
【答案】ABD
【分析】根据全称量词命题的否定即可判断A；根据指数函数、对数函数的性质即可判断B；根据幂函数的定义与
性质即可判断C；令 ，则 ，代入即可判断D．
【详解】对于A，“ ”的否定是“ ”，故A正确；
对于B，函数 （其中 ，且 ），当 ，即 时，此时
，故 的图象过定点 ，故B正确；
对于C，当 时，幂函数 （ ），其图象是一条直线（除去与y轴的交点），故C错误；
对于D，令 ，则 ，即 ，所以 ，故D正确．
故选：ABD．
12．已知定义域为R的奇函数 ，当 时， 下列说法中正确的是（ ）
A．当 时，恒有B．若当 时， 的最小值为 ，则m的取值范围为
C．不存在实数k，使函数 有5个不相等的零点
D．若关于x的方程 所有实数根之和为0，则
【答案】BC
【解析】根据函数的奇偶性及 时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立 与
可判断相切时切点横坐标为1，当 ， 时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性
判断D．
【详解】当 时， 且 为R上的奇函数，
作函数f（x）的图象如图：
对于A，当 时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x ）＞f（x ）不成立，故A不正确；
1 2
对于B，令 ，解得 ，由图象可知，当 时， 的最小值为 ，则 ，故B正确；
对于C，联立 ，得 ，
△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在 ，使得△=0，此时 ,可知最多有3个不同的交点，∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；
对于D，由 可得 或 ，
∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程 与 所有根的和为0，
∴函数 的根与 根关于原点对称，则 ，
但x＞0时，方程 有2个根，分别为 ，两根之和为 ，
若关于x的两个方程 与 所有根的和为0，
则 的根为 ，此时 ，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值
的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算： .
【答案】
【分析】由对数和指数幂的运算性质计算即可.
【详解】原式 .
故答案为： .
14．已知函数 ，若 有两个零点，且 在 上单调递增，则实数m的取
值范围为 .
【答案】【分析】根据函数有两个零点得出 的范围，再根据单调性求出范围，取交集可得答案.
【详解】因为 有两个零点，所以 ，解得 或 ；
因为 在 上单调递增，所以 ；
综上可得实数m的取值范围为 .
故答案为： .
15．已知函数 ，则不等式 的解集是 .
【答案】
【分析】由题可得 为偶函数，且在 上单调递增，后利用 可得答案.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，所以 是偶函数.
又当 时， 单调递增.
因为 是偶函数，所以 在 单调递减，
又因为 ，
所以 .
故答案为： .
16．已知函数 有两个零点分别为a，b，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数零点可转化为 有2个不等的根，利用对数函数的性质可知 ，由均值不等
式求解即可.
【详解】不妨设 ，
因为函数 有两个零点分别为a，b，所以 ，
所以 ，
即 ，且 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 不满足题意，
，
即 ，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．集合 ，集合 .
(1)当 时，求 ， ；
(2)若 ，求实数m的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集；
（2）由条件可知， ，再分 和 两种情况，求实数 的取值范围.
【详解】（1）解不等式 ，得 ，
所以 ，
当 时，则 ，
所以 ， ；
（2）因为 ，所以
当 时， ，即 ，此时 ；当 时， ，则 ，解得: ，
综上所述，实数m的取值范围是 .
18．已知函数 （ 且 ）为定义在R上的奇函数，且 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若实数t满足 ，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的奇偶性求解析式即可；
（2）利用函数的单调性解不等式，求参数的范围.
【详解】（1）函数 为定义在R上的奇函数，
所以 ，解得 ，
又 ，解得 ，
所以函数 的解析式为： .
经检验，函数满足题设要求.
（2）因为 ，
所以 ，
因为 和 在R上单调递减，
所以 在R上单调递减，
所以 ，解得： .所以实数t的取值范围.为： .
19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费 （单位：万
元）与仓库到车站的距离x（单位： ）成反比，每月库存货物费 （单位：万元）与x成正比；若在距离车站
处建仓库，则 和 分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费
用之和最小？并求出该值．
【答案】5km；最小费用为8万元
【分析】先设出 ，代入自变量及对应的函数值，求出 ，从而得到两项费用之和，利用
基本不等式求出最小值.
【详解】设 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴两项费用之和为 ．
当且仅当 时，即当 时等号成立．
即应将这家仓库建在距离车站 处，才能使两项费用之和最小，
且最小费用为8万元．
20．已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，函数 在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数 的解析式；
（2）讨论关于x的方程 的根的个数．
【答案】（1） ；（2）具体见解析．
【分析】（1）根据偶函数的定义求出 时的函数解析式即可.
（2）对参数 分类讨论，借助数形结合的方法求得结果.
【详解】解：（1）由图可知 ，解得 ．
设 ，则 ，
∵函数 是定义在 上的偶函数，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（2）作出函数 的图象如图所示：．
由图可知，当 时，关于x的方程 的根的个数为0；
当 或 时，关于x的方程 的根的个数为2；
当 时，关于x的方程 的根的个数为4；
当 时，关于x的方程 的根的个数为3．
【点睛】方法点睛：借助数形结合来解决函数交点问题.
21．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 .
(1)求实数a的值；
(2)对于 ， 成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇偶性定义 可求出答案；
（2）由 可得 ，然后求出右边对应函数的最小值即可.
【详解】（1） 是定义在 上的奇函数，
， ，
于是， ， ，因此 ；
（2） 在 上恒成立，
在 上成立，
于是， 在 上恒成立，记 ，
当且仅当 ，即 等号成立.
因此， ，即 ，
所汉，实数m的取值范围为 .
22．已知函数 为偶函数.
(1)求实数 的值;
(2)解关于 的不等式 ;
(3)设 ，若函数 与 图象有 个公共点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断 时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数 与 图象有 个公共点，可得 有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程
有两个根，利用判别式求参数范围.
【详解】（1）函数的定义或为 ，
函数 为偶函数.
，即 ，
，
；（2） ，
当 时， ， 单调递增，
在 上单调递增，
又函数 为偶函数，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
，
，
解得 或 ，
所以所求不等式的解集为 ；
（3） 函数 与 图象有 个公共点，
，
即 ， ，
设 ，则 ，即 ，
又 在 上单调递增，
所以方程 有两个不等的正根；
，
解得 ，即 的取值范围为 .
