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第4讲常用逻辑用语 学习目标
1．了解命题的概念，学会判断简单命题的真假.
2．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；能正确地判断、论证两个条件之间的充分性与必要性．
3．理解全称量词与存在量词的意义．
4．通过数学实例，理解命题的否定，会写出简单命题的否定；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
常用逻辑用语-直击课堂
常用逻辑用语-考情分析
常用
常用逻辑
逻辑用语
学习目标
直击课
击课堂
考情分析
考情分析
模块1：充分条件与必要条件
：充分条件与必要条件
素材
knowledge combing
命题
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的
可以判断真假的陈述句
述句叫做命题.
判断为真的语句是真命
真命题，判断为假的语句是假命
假命题.
中学数学中的许多命题可以写成“若，则”"如果，那么”等形式，其中称为命题的条件，称为命题的结论.
素材
knowledge combing
模块三 充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
当命题“如果，则”，经过推理证明断定是真命题时，我们就说由可以推出，记作
，读作“ 推出".此时称是的充分条件
充分条件，是的必要条件
必要条件.
【注意】⑴充分条件与必要条件是一种相互关系，只能说谁是谁的充分或必要条件，不能直接说谁是充分或必要条
件.
⑵以下的四个说法:①"若，则"为真命题；②
；③是的充分条件；④是的必要条件. 它们表示的是
同一个逻辑关系，只是说法不同而已.
2.充要条件
如果
，且
，则称是的充分且必要条件
充分且必要条件，简称是的充要条件
充要条件，记作
. 显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 是的充要条件，又常说成: 当且
当且仅当，或与
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p ⇒q
p
q
p
q
q
p
p
q
p ⇒q
p
q
q
p
p ⇒q
q ⇒p
p
q
p
q
p ⇔q
p
q
q
p
p
q
q
p
p
q
等价
等价.
【注意】与之间的四种关系与相应结论
考法：考点1：充分性与必要性的判断
1 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．
①在同一平面内，“同位角相等”是“两直线平行”的
条件；
②设
，则“
”是“
”的
条件；
③设，
，则“
”是“
且
”的
条件；
④“
”是“
”的
条件；
⑤若，
是两个集合，则“
”是“
”的
条件；
⑥已知，则
，“
”是“
”的
条件． 1%
2 设全集为
，在下列条件中，哪些可以作为
的充要条件( )
①
；②
；③
． 56%
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
p
q
例题1
a ∈R
a > 1
a
>
2
1
a
b ∈R
a + b > 4
a > 2
b > 2
x > 1
<
x
1
1
A
B
A ∩B= ∅
/
A ⊆B
x
y ∈R
(x −1) +
2
(y −2)
=
2
0
(x −1)(y −2) = 0
U
B ⊆A
A ∪B = A
∁
A ∩
( U
)
B = ∅
∁
A ⊆
U
∁
B
U
1 “
”是“
”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
考法：考点2：充分条件、必要条件的含参问题
1 已知命题：
，
，若是的必要不充分条件，则实数
的取值范围为
．
2 若
，
，且的必要不充分条件是，求实数
的取值范围．
达标检测1
x
>
2
16
x > 4
例题2
p : −10 ⩽−x ⩽2
q : x −1 ⩽
∣
∣
m(m > 0)
p
q
m
p : x −
2
2x −3 < 0
q : x −m + 1
x −m −1 ⩾
(
)(
)
0
p
q
m
1 设实数为常数，则方程
有实数根的充要条件是( )
A.
B.
C.
D.
模块2：全称量
：全称量词与存在量
与存在量词
素材
knowledge combing
全称量词与存在量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ "表示. 含有全称量词的命题叫做全称量词命题.
通常，将含有变量的语句用
表示，变量的取值范围用
表示. 那么，
全称量词命题“对
中任意一个，
成立”可用符号简记为
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ "表示. 含有存在量词的命题叫做存在量词命
题.
存在量词命题“存在
中的元素，
成立”可用符号简记为
考法：考点3：含有量词的命题的真假判断
达标检测2
a
x −
2
x + a = 0
a ⩽1
a > 1
a ⩽
4
1
a >
4
1
∀
x
p x , q x , r x , ⋯
( )
( )
( )
x
M
M
x
p x
( )
∀x ∈M, p x .
( )
∃
M
x
p x
( )
∃x ∈M, p x .
( )
1 用数学符号“ ”“ ”表示下列命题，并判断真假．
(1)对一切整数，
为奇数；
(2)自然数不都是正整数；
(3)有理数的平方仍为有理数；
(4)存在一对实数
，使
成立．
1 下列命题不是“
，
”的表述方法的是( )
A. 有一个
，使得
成立
B. 对有些
，使得
成立
C. 任选一个
，都有
成立
D. 至少有一个
，使得
成立
已知命题：
，都有不等式
成立是真命题．
1 求实数
的取值集合
．
例题3
∀
∃
x
3x + 1
a, b
a +
2
2b −
2
2ab + 4b + 5 < 0
达标检测3
∃x ∈
0
R
x >
02
3
x ∈
0
R
x >
02
3
x ∈
0
R
x >
02
3
x ∈
0
R
x >
02
3
x ∈
0
R
x >
02
3
例题4
∀x ∈−1, 1
[
]
x −
2
x −m < 0
m
B
模块3：命
：命题的否定
的否定
素材
knowledge combing
第4讲常用逻辑用语 模块二 命题的否定
1．命题的否定
逻辑联结词“非”(也称为“否定
否定”)的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而
来的．
一般地，对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作
，读作“非”或“ 的否定”．
2．命题
的真假性
与不能同真或同假，其中一个为真，另一个必然为假，它们是互为否定的．即：
若是真命
是真命题，则
题，则
必是假命
必是假命题；若是假命
是假命题，则
必是真命
必是真命题．
考法：考点4：简单命题的否定
1 已知全集
，
，
，如果命题：
，则命题“
”是( ) 74%
A.
B.
C.
D.
p
¬p
p
p
¬p
¬p
p
p
¬p
p
¬p
例题5
U = R
A ⊆U
B ⊆U
p
∈
3
A ∪B
¬p
∈
3 / A
∈
3
∁
B
U
∈
3 / A ∩B
∈
3
∁
A ∩
( U
)
∁
B
( U
)
2 条件：
，条件：
，若
是
的充分不必要条件，则的取值范围是( ) 58%
A.
B.
C.
D.
素材
knowledge combing
【知识点睛】
4.全称量词与存在量词的否定
要否定全称命题，
，
，只需在
中找到一个，使得
不成立，也就是命题，
，
，成立.
要否定存在性命题，
，
，需要验证对
中的每一个，均有
不成立，也就是命题，
，
，成立.
于是我们有如下结论:
⑴全称命题的否定:
全称命
全称命题
，
；它的否定是
；它的否定是
，
.
将全称量词变为存在量词，再否定它的性质.
⑵存在性命题的否定:
存在性命
存在性命题
，
；它的否定是
；它的否定是
，
.
将存在量词变为全称量词，再否定它的性质.
考法：考点5：含有量词的命题的否定
1 已知命题
，则
是（ ） 80%
A.
p
x + 1 >
∣
∣
2
q
x > a
¬p
¬q
a
1, +∞
[
)
−∞, 1
(
]
−1, +∞
[
)
−∞, −3
(
]
∀x ∈A
p(x)
A
x
p(x)
∃x ∈A
¬p(x)
∃x ∈A
q(x)
A
x
q(x)
∀x ∈A
¬q(x)
p :∀x ∈A
p(x)
¬p :∃x ∈A
¬p(x)
q :∃x ∈A
q(x)
¬q :∀x ∈A
¬q(x)
例题6
p : ∀x ∈I, x −
3
x +
2
1 ⩽0
¬p
∀x ∈I, x −
3
x +
2
1 > 0
B.
C.
D.
1 已知特称命题
，
，则命题的否定是( )
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
1 设
，集合是奇数集，集合
是偶数集．若命题：
，则( )
A.
：
B.
：
C.
：
D.
：
∀x ∈
/ I, x −
3
x +
2
1 > 0
∃x ∈
0
I, x −
03
x +
02
1 > 0
∃x ∈
0 / I, x −
03
x +
02
1 > 0
达标检测4
p : ∃x ∈
0
R
2x +
0
1 ⩽0
p
∃x ∈
0
R
2x +
0
1 > 0
∀x ∈R
2x + 1 > 0
∃x ∈
0
R
2x +
0
1 ⩾0
∀x ∈R
2x + 1 ⩾0
达标检测5
x ∈Z
A
B
p
∀x ∈A, 2x ∈B
¬p
∃x ∈A, 2x ∈B
¬p
∃x ∈
/ A, 2x ∈B
¬p
∃x ∈A, 2x ∈
/ B
¬p
∀x ∈/ A, 2x ∈
/ B
模块4：课
：课堂总结
总结
素材
knowledge combing
常用逻辑用语-课堂总结
模块5：直
：直击高考
高考
考法：（2018上海14）
1 已知
，则“
”是“
”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
例题7
a ∈R
a > 1
<
a
1
1
