文档内容
专题 02 常用逻辑用语（十四大题型+模拟精练）
目录：
01 命题及其关系
02 充分条件与必要条件
03 全称量词与存在量词
04 集合与充分条件、必要条件
05 复数与充分条件、必要条件
06 函数与充分条件、必要条件
07 三角函数与充分条件、必要条件
08 平面向量与充分条件、必要条件
09 统计、概率与充分条件、必要条件
10 立体几何与充分条件、必要条件
11 平面解析几何与充分条件、必要条件
12 数列与充分条件、必要条件
13 导数与充分条件、必要条件
14 高考新考法—新定义充分条件、必要条件综合
01 命题及其关系
1．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是 （ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③ 的绝对值为1；④你是高一的学生吗?
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
根据命题的概念逐一判断.
【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.
故选：C.
2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知 ，则下列判断中，正确的是（ ）
A．p为真，q为假 B．p为假，q为真
C．p为真，q为真 D．p为假，q为假
【答案】B【分析】根据命题的真假即可判定.
【解析】p为假，q为真,
故选：B
3．（22-23高三上·宁夏·阶段练习）已知命题 ：对任意 ，总有 ； ：若 ，则
.则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断命题 ，命题 的真假，在判断选项的真假
【解析】由
所以命题 为真命题
令 ，则 ，但是
所以命题 为假命题
故 为真
故选：B.
02 充分条件与必要条件
4．（2024高三·全国·专题练习） “ 为整数”是“ 为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由当 为整数时， 必为整数；当 为整数时， 不一定为整数；即可选出答案.
【解析】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 不一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2024高三·全国·专题练习）对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a//b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必
要条件．故选A.
6．（2024·江苏南通·模拟预测）在 中，已知 ， ，则“ ”是“ ”成立
的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.
【解析】由正弦定理得 ，即 ，
，又因为 ，
或 ；
则“ ”是“ ”成立的必要不充分条件.
故选： .
7．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ⫋ ，再根据集合的包含关系求参即可.
【解析】因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，
所有 ⫋ ，所以 ，
即实数 的取值范围为 ．
故选：A．
8．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式 的一个充分条件为 ，则实数 的取值
范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解.
【解析】由题意可得 ，
所以 且 ，解得 ，
故选：C
03 全称量词与存在量词
9．（2024高三·全国·专题练习）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据命题“ ， ”的否定是“ ， ”直接得出结果.
【解析】命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
故选：C．
10．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（ ）
① ， ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.
【解析】 ， ，①正确；当 时， ，②错误；
当 时， ，③正确；由于 ，而 都是无理数，④错误，
所以正确命题的个数为2.
故选：B
11．（2024·四川成都·模拟预测）命题 的否定是（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【解析】因为命题 ，
则其否定为 .
故选:B
12．（2024高三·全国·专题练习）若命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得不等式 在R上有解，结合 计算即可求解.
【解析】由题意可知，不等式 在R上有解，
∴ ，解得 ，
∴实数m的取值范围是 .
故选：A.
13．（23-24高三上·山东潍坊·期中）若“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】只需 的最小值小于 即可.
【解析】 ， ，只需 的最小值小于 即可，由于 的最小值为 ，故 .
故选：D
04 集合与充分条件、必要条件
14．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选
择补充到下面横线上.
已知集合 ， ，存在实数 使得“ ”是“ ”
的 条件.
【答案】②，③
【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.
【解析】①“ ”是“ ”的充要条件，则 ， ，此方程无解，故不存在实数 ，
则不符合题意；
②“ ”是“ ”的充分不必要条件时， ， ， ；解得 ，符合
题意；
③“ ”是“ ”的必要不充分条件时，当 ， ，得 ；
当 ，需满足 ， ， ，解集为 ；
综上所述，实数 的取值范围 .
故答案为：②，③.
05 复数与充分条件、必要条件
15．（2024·全国·模拟预测）已知复数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。
【解析】 或 。
因为 或 ，
例如取 ，此时 ，不满足 或 ，故选：A．
06 函数与充分条件、必要条件
16．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）若 是不等式 成立的一个必要不充分条件，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出不等式 成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断.
【解析】 ，
因为 是 成立的必要不充分条件，
所以 .
故选：B.
17．（2024·湖南·一模）已知 ，且 ，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.
【解析】若 ，符合 ，但此时 ，不满足充分性，
若 ，符合 ，但是 ，不满足必要性.
故选：D
07 三角函数与充分条件、必要条件
18．（2024·全国·模拟预测）“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的 条件．
【答案】充分必要
【分析】先由函数 的图象关于 中心对称求得 的值，再解方程 求得 的值，进而
得到二者间的逻辑关系.
【解析】函数 图象的对称中心为 ，所以由“函数y=tanx的图象关于(x,0)中心对称”等价于“ ”．
0
因为 等价于 ，即 ．
所以“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
19．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设 ，条件 ，条件 ，则p是q的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．
【解析】由于 ，
若 ，则 ，充分性不成立，
若 ，则 ，必要性成立，
故 是 的必要不充分条件．
故选：B．
08 平面向量与充分条件、必要条件
20．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 ，可得 与 共线，充分性成立；由 ，可得 或 ，必要性不成立，可得
结论.
【解析】由 ，得 ， ，所以 与 共线，
所以“ ”是“是 与 共线”的充分条件；由 ，可得 ，解得 或 ，
“ ”是“ 与 共线”成立的不必要条件，
故“ ”是“ 与 共线”的充分不必要条件．
故选：A．
21．（2024·四川成都·三模）在 中，“ 是钝角”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】C
【分析】先将 等价变形为 ，两边平方后得 ，且 三点不
共线，即可做出判断.
【解析】“ ”等价于“ ”，
所以 ，
从而 ，
在 中，显然 三点不共线，即两个向量 不能方向相反，则 是钝角，则必要性成立，
若 是钝角，则 ，则 ，则充分性成立，
则“ 是钝角”是“ ”的充要条件.
故选：C．
09 统计、概率与充分条件、必要条件
22．（2024·河北·二模）已知随机变量 服从正态分布 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解析】因为 ，则 ， ，
若 则 ，
即 ，故充分性成立，
若 ，则 ，
解得 或 ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
10 立体几何与充分条件、必要条件
23．（2024·广西贺州·一模）已知m，n为不同的直线， 为不同的平面，若 ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】由给定条件可得 ，再利用面面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即
得.
【解析】由 ，得 ，
若 ，则 或 ，“ ”不是“ ”的充分条件；
若 ，则存在过直线 的平面 与平面 相交，令交线为 ，则 ，而 ，
于是 ，又 ，因此 ，即“ ”是“ ”的必要条件，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
11 平面解析几何与充分条件、必要条件
24．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线 ，则“ ”是
“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】当 时可得 ，即 ；当 时可得 ，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【解析】当 时， ，
即 ，则 ，即 ；
当 时， ，解得 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
25．（2024·四川成都·三模）已知圆 ： ，直线 ： ，则“ ”是“圆 上恰存
在三个点到直线 的距离等于 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用圆 上恰存在三个点到直线 的距离等于 ，等价于 到直线 ： 的距离为
，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.
【解析】因为圆 ： 的圆心 ，半径为 ，
当圆 上恰存在三个点到直线 的距离等于 时，
则 到直线 ： 的距离为 ，
所以 ，解得 ，即必要性不成立；当 时，由上可知 到直线 ： 的距离为 ，
此时圆 上恰存在三个点到直线 的距离等于 ，即充分性成立；
所以“ ”是“圆 上恰存在三个点到直线 的距离等于 ”的充分不必要条件.
故选：A.
12 数列与充分条件、必要条件
26．（2024·北京东城·一模）设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式求出 ，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即
得.
【解析】由等差数列 的公差为 ，得 ，则 ，
当 时， ，而 ，则 ，因此 ， 为递增数列；
当 为递增数列时，则 ，即有 ，整理得 ，不能推出 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
27．（2024·青海·模拟预测）记数列 的前n项积为 ，设甲： 为等比数列，乙： 为等比数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D
【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
【解析】若 为等比数列，设其公比为 ，则 ， ，
于是 ， ，当 时， 不是常数，
此时数列 不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；
若 为等比数列，令首项为 ，公比为 ，则 ， ，
于是当 时， ，而 ，
当 时， 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
28．（2024·江苏扬州·模拟预测）设 是公比不为1的无穷等比数列，则“ 为递增数列”是“存在
正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列、递增数列的定义，借助反证法
证明即可得.
【解析】若 为递增数列，
当 ，且 时，有 ，
此时 为递增数列，当对任意 , ，故“ 为递增数列”不是“存在正整数 ，当 时， ”的充分条件；
若存在正整数 ，当 时， ，
此时 ， ，故 ， ，
假设存在 ，使得 ，则有 ，
则 ，又 且 ，故 ，
则当 时， ，与条件矛盾，
故不存在 ，使 ，即 在 上恒成立，
即 ，又 ， ，故 ，
即对任意的 ， ，
即 为递增数列，
故“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的必要条件；
综上所述，“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的必要不充分条件.
故选：B.
13 导数与充分条件、必要条件
29．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知命题 ，命题 ：函数 有极小值点2，则
是 的 条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）.
【答案】充要
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义，结合由极值点求出参数，再判断即可.
【解析】当 时，函数 ，求导得 ，
显然当 或 时， ，当 时， ，因此2是 的极小值点，当函数 有极小值点2时， ，
显然 ，则 或 ，
当 时， 有 ，2不是极小值点，不符合题意，
当 时，当 或 时， ，当 时， ，因此2是 的极小值点，即 ，
所以 是 的充要条件.
故答案为：充要
14 高考新考法—新定义充分条件、必要条件综合
30．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射 ．定义：对任意 ，若 ，
则 ，此时的 为单射．
(1)试在 上给出一个非单射的映射；
(2)证明： 是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合 与映射 ，若对任意 ，有
，则 ；
(3)证明： 是单射的充分必要条件是：存在映射 ，使对任意 ，有 ．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【分析】
（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；
（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；
（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.
【解析】（1）由题意不妨设 ，当 （ 非0）互为相反数时， 满足题意；
（2）一方面若 是单射，且 ，则 ，即 （否则若 ，有，矛盾），
另一方面，若对任意 ，由 可以得到 ，
我们用反证法证明 是单射，
假设 不是单射，即存在 ，有 ，
又由 可以得到 ，即 ，这就产生了矛盾，
所以 是单射，
综上所述，命题得证；
（3）一方面若 是单射，则由 可得 ，
同理存在单射 ，使得 ， ，有 ，
另一方面，若存在映射 ，使对任意 ，有 ，
我们用反证法来证明 是单射，
若 不是单射，即存在 ，有 ，
又若 ，则由题意 ，这与 产生矛盾，
所以此时 是单射，
综上所述，命题得证.
【点睛】
关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证.
31．（2024·广东·模拟预测）已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；② ；③
为偶数，那么称集合 具有性质 .已知集合 ，对于集合 的非空
子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合 是集合 的
“期待子集”.
(1)试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；(3)证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质 ，确定集合 ，再根据“期待子集”的定义，确定集合 是集合 的“期待子集”；
（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的 ，使得 均属于
证明满足性质 的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的 ，再证明 均属于 ，
即可证明.
【解析】（1）集合 不具有性质 ，理由如下：
（i）从集合 中任取三个元素 均为奇数时， 为奇数，不满足条件③
（ii）从集合 中任取三个元素 有一个为 ，另外两个为奇数时，不妨设 ， ，
则有 ，即 ，不满足条件②，
综上所述，可得集合 不具有性质 .
（2）证明：由 是偶数，得实数 是奇数，
当 时，由 ，得 ，即 ，不合题意，
当 时，由 ，得 ，即 ，或 （舍），
因为 是偶数，所以集合 ，
令 ，解得 ，
显然 ，
所以集合 是集合 的“期待子集”得证.
（3）证明：
先证充分性：
当集合 是集合 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 ，使得 均属于 ，
不妨设 ，令 ， ， ，则 ，即满足条件①，因为 ，所以 ，即满足条件②，
因为 ，所以 为偶数，即满足条件③，
所以当集合 是集合 的“期待子集”时，集合 具有性质 .
再证必要性：
当集合 具有性质 ，则存在 ，同时满足① ；② ；③ 为偶数，
令 ， ， ，则由条件①得 ，
由条件②得 ，
由条件③得 均为整数，
因为 ，
所以 ，且 均为整数，
所以 ，
因为 ，
所以 均属于 ，
所以当集合 具有性质 时，集合 是集合 的“期待子集”.
综上所述，集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质 ”和“期待子集”的定义
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【解析】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：
命题 的否定为： 为 ．
故选：C．
2．（2024·浙江宁波·二模）已知平面 ，则“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利
用线面垂直的判断求证必要性.
【解析】由于 ，所以 ，
若 ，则 ， ，故充分性成立，
若 ， ，设 ， ，
则存在直线 使得 ，所以 ，由于 ，故 ，
同理存在直线 使得 ，所以 ，由于 ，故 ，
由于 不平行，所以 是平面 内两条相交直线，所以 ，故必要性成立，
故选：C
3．（2024·陕西咸阳·三模）已知 ， ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】分别求得 为真时， ， 为真时， ,可得结论.
【解析】 为真时，可得 ，所以 ，
为真时， ，又 所以 ，所以 ，
所以 为真时， ,
所以 是 的即不充分又不必要条件.
故选：D.
4．（2024·江西南昌·二模）已知集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.
【解析】不等式 解得 ，则 ；
不等式 解得 ，则 .
，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2024·江苏南通·模拟预测）若命题：“ ， ，使得 ”为假命题，则 ， 的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由命题的否定为真命题，转化为 成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解.
【解析】由题意，命题的否定“ ， ，使得 ”为真命题，
即 ，
设 ，则 ，
所以 为增函数，
所以由 可知 ，
故选：B
6．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数 ，命题“ ， ”是假命题，
则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据特称名为假命题可得 ，对 恒成立，令 ，
利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.【解析】因为命题“ ， ”是假命题，所以 ， 恒成立，
则 ，对 恒成立，
令 ，则二次函数的对称轴为直线 ，
要使得 ， 恒成立，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：A.
7．（2024·四川成都·三模）已知圆 ，直线 ，则“ ”是“圆 上任取一点
，使 的概率小于等于 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】由事件从圆 上任取一点 ，使 的概率小于等于 ，求 的范围，结合充分条件
和必要条件的定义判断结论.
【解析】直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，
当 时，如图，圆 上不存在点 ，使 ，
所以事件圆 上任取一点 ，使 的概率为 ，当 时，如图，圆 上有且仅有一个点 ，使 ，
所以事件圆 上任取一点 ，使 的概率为 ，
若 ，如图，圆 上满足条件 点为劣弧 （含 ）上的点，
设劣弧 的长度为 ，则 ，
所以事件圆 上任取一点 ，使 的概率 ，
若 ，如图，圆 上满足条件 点为直线 上方的半圆上的点，
所以事件圆 上任取一点 ，使 的概率 ，
若 ，如图，圆 上满足条件 点为优弧 （含 ）上的点，
设优弧 的长度为 ，则 ，
所以事件圆 上任取一点 ，使 的概率 ，若 ，如图，圆 上所有点满足条件 ，
所以事件圆 上任取一点 ，使 的概率 ，
所以“圆 上任取一点 ，使 的概率小于等于 ”等价于“ ”，
所以“ ”是“圆 上任取一点 ，使 的概率小于等于 ”的充要条件，
故选：C.
8．（2024·四川·模拟预测）已知命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数 ，求函数 的最小值即可求解.
【解析】因为命题“ ”为真命题，所以 ．
令 与 在 上均为增函数，
故 为增函数，当 时， 有最小值 ，即 ，故选：A．
二、多选题
9．（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BC
【分析】运用全称和特称量词的命题的知识分析即可.
【解析】对A，当 时， 无意义，故A错误；
对B，易得 ， ，则 ，可得 ，故B正确；
对C，当 时， 成立，故C正确；
对D， ，可得 ，故D错误.
故选：BC
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合 ，集合 ，能使
成立的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由 成立的充要条件求出对应的参数 的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【解析】 当且仅当 是 的子集，当且仅当 ，即 ，
对比选项可知使得 成立的充分不必要条件有 ， .
故选：CD.
11．（2023·辽宁·模拟预测）已知数列 满足 .给出以下两个命题：命题 对
任意 ，都有 ；命题 ，使得对 成立.（ ）A． 真 B． 假 C． 真 D． 假
【答案】AD
【分析】对于命题 ，利用数学归纳法和作差法可判断，对于命题 ，利用反证法进行分析判断.
【解析】对于命题 ，先利用数学归纳法证明 ，
当 时， ，不等式成立，
假设当 时不等式成立，即 ，则
，
所以当 时，不等式也成立，
综上， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以命题 为真命题，
对于命题 ，假设存在 ，使得对 ，
由已知可得 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由基本不等式推广可得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，这与 相矛盾，
所以命题 为假命题，
故选：AD
三、填空题
12．（2024·辽宁大连·一模）“函数 是奇函数”的充要条件是实数 ．
【答案】0
【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.
【解析】若函数 是奇函数，
则当且仅当 ，
也就是 恒成立，从而只能 .
故答案为：0.
13．（2024·辽宁·模拟预测）命题 ：存在 ，使得函数 在区间 内单调，若
的否定为真命题，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先给出命题p的否定，由函数 的单调性进行求解.
【解析】命题p的否定为：任意 ，使得函数 在区间 内不单调，由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，而 ，
得 ，
故答案为：
14．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知p：如果数列 是等比数列，那么数列 也是等比数列；q：
如果数列 是等差数列，那么数列 也是等差数列.以下哪些为真命题 .
①p∧q
②p∨q
③
④
【答案】②④
【分析】首先根据等差和等比数列的定义，判断两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法，即可
判断.
【解析】 设数列 的公比为 ，则 ，所以数列 也是等比数列，故命题 是真命题；
设等差数列 的公差为 ，首项为 ，则
，不是常数，所以数列 不是等差数列，所以
命题 是假命题.
则 和 是真命题.
故答案为：②④
四、解答题
15．（2020·江苏南通·二模）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列 的前n项和为Tn，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan ，2yan 成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝
+1 +2
2”．
【答案】（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）取n＝1时，由 得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.
（2） ，则 ，相减得到3an ＝4﹣Sn ﹣Sn，再化简得到 ，
+1 +1
得到证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan ，2yan 成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得
+1 +2
2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.
【解析】（1）n＝1时，由 得p＝0或2，若p＝0时， ，
当n＝2时， ，解得a＝0或 ，
2
而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；
（2）当p＝2时， ①，则 ②，
②﹣①并化简得3an ＝4﹣Sn ﹣Sn③，则3an ＝4﹣Sn ﹣Sn ④，
+1 +1 +2 +2 +1
④﹣③得 （n∈N*），
又因为 ，所以数列{an}是等比数列，且 ；
（3）充分性：若x＝1，y＝2，由 知an，2xan ，2yan 依次为 ， ， ，
+1 +2
满足 ，即an，2xan+，2yan+ 成等差数列；
1 2必要性：假设an，2xan ，2yan 成等差数列，其中x、y均为整数，又 ，
+1 +2
所以 ，化简得2x﹣2y﹣2＝1，
显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．
【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
