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专题 04 预备知识四：充分条件与必要条件
1、初步理解充分条件、必要条件的含义
2、通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系
3、体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；
（2）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；
（3）若 且 ，则 是 的必要不充分条件；
（4） 若 ，则 是 的充要条件；
（5）若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
2、集合判断法判断充分条件、必要条件
若 以集合 的形式出现， 以集合 的形式出现，即 ： ， ： ，则
（1）若 ，则 是 的充分条件；
（2）若 ，则 是 的必要条件；
（3）若 ，则 是 的充分不必要条件；
（4）若 ，则 是 的必要不充分条件；
（5）若 ，则 是 的充要条件；
（6）若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
3、充分性必要性高考高频考点结构
（1） 是 的充分不必要条件 且 （注意标志性词：“是”，此时 与 正常顺序）
（2） 的充分不必要条件是 且 （注意标志性词：“的”，此时 与 倒装顺序）
对点特性一：充分条件与必要条件的判断
典型例题
例题1．（23-24高一下·河北保定·开学考试）“ ”是“ ”的（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项.
【详解】由 ，解得 或 ，
因为 为 或 的真子集，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A.
例题2．（23-24高一上·浙江·期中）设 或 ， 或 ，则 是 的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据条件的充分性必要性判断即可.
【详解】取 ，此时条件 成立，条件 不成立，所以 ， 不是 的充分条件；
对任意 或者 ，都满足 或者 ，所以 ， 是 的必要条件，
故 是 的必要不充分条件，
故选：B
精练
1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系即可判断.
【详解】因为 ，
所以 是 的充分而不必要条件.
故选：A.
2．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】先解不等式，再结合充分、必要条件的概念即可判断.
【详解】由 可得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 是 的必要不充分条件，
故选：B.
对点特训二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．（23-24高三上·四川·期中）已知 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可.
【详解】 ，因为 是 的充分不必要条件，所以 .
故选：C.
例题2．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不必要条件的
性质进行求解即可.
【详解】因为 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 是 的充分而不必要条件，
所以 ，
故选：B
精练
1．（23-24高一·全国·课后作业）若“ ”是“ ”充分不必要条件，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得
即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，即 ，解得 ，
因为“ ”是“ ”充分不必要条件，
所以 真包含于 ，所以 （等号不能同时取得），解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C
2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知集合 ， ，若 是 的必要不
充分条件，则实数 的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，对集合 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的 的值即可．
【详解】由题， ， ，
当 时，有 ，符合题意；
当 时，有 ，此时 ，所以 或 ，所以 .
综上，实数 的所有可能的取值组成的集合为 .
故选：A.
对点特训三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
角度1：“是”标志词
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为 ，所以 或 ，
易得“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，
故选：A.
例题2．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】若甲和乙的生肖相同，则甲和乙的生肖不一定都是龙；
若甲和乙的生肖都是龙，则甲和乙的生肖肯定相同，
所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的必要不充分条件.
故选：A
精练
1．（2024·山东·二模）已知 ，若集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由 ，可得 或 ，再由充分不必要条件的定义即可得答案.
【详解】因为 ，
则 或 ，
所以 ，
由 推不出 .
故选:A．
2．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由 可解得 且 ，即可判断得出结论.
【详解】“ ”等价于“ 且 ”，
只知道 时无法保证 ，但 且 时必然有 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
角度2：“的”标志词
典型例题
例题1．（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式 成立的必要条件是 ，则实数 的取
值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】 化简得 ，由充分与必要条件判断 的取值范围即可.
【详解】由 得 ，因为不等式 成立的必要条件是 ，所以 ，解得 ，符
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司合题意的选项有：A，B，C.
故选：ABC
例题2．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知 ， （a为实数）．若q的一个充分
不必要条件是p，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.
【详解】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以 是 的一个真子集，
则 ，即实数a的取值范围是 .
精练
1．（23-24高一上·上海·期末） 的一个充要条件是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 ，即 ，所以A符合题意；
由 ，可得 或 ，所以选项B是 的充分不必要条件；
选项C和D都为 的既不充分也不必要条件.
故选：A.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是 则实数m的取值
范围是 ．
【答案】
【详解】
解析：由题意得（ ， ） （m－1，m＋1），所以 且等号不能同时成立，解得－ ≤m≤ .
⊆
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
【详解】若 ，则 ，即充分性成立；
若 ，例如 ，满足条件，但 不成立，即必要性不成立；
综上所述：“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·广东梅州·二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的定义求解
【详解】由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨，
所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（23-24高一下·河北保定·开学考试）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项.
【详解】由 ，解得 或 ，
因为 为 或 的真子集，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A.
4．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系即可判断.
【详解】因为 ，
所以 是 的充分而不必要条件.
故选：A.
5．（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式 成立的充分条件是 ，则实数a的取值范
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得.
【详解】依题意， ，解不等式 ，得 ，
由不等式 成立的充分条件是 ，得 ，
于是 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：D
6．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）对于实数 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由 可解得 且 ，即可判断得出结论.
【详解】“ ”等价于“ 且 ”，
只知道 时无法保证 ，但 且 时必然有 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
7．（23-24高一上·浙江温州·期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据 ，利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：因为 ⫋ ，
所以“ ”是“ ”的必⫋要不充分条件，
故选：C
8．（23-24高一上·四川雅安·期末）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件与必要条件的性质即可得.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时， ，
当 时，有 、 ，可使 ，但不符合甲，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的值可
以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】AD
【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案.
【详解】若“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，
则 或 ，解得 或 ，
所以AD选项符合，BC选项不符合.
故选：AD
10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列条件中，是“ ”成立的必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据必要条件的定义求解.
【详解】“ ”成立的必要条件即不能比 范围小，
观察选项，BCD符合，
故选：BCD.
三、填空题
11．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知 ： 是 ： 的充分不必要条件，则实数 的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】
根据题意结合充分、必要条件分析求解.
【详解】由题意可知： 是 的真子集，
可得 ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
12．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数
的取值范围为
【答案】
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，
因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
所以有 ，等号不同时成立，解得 .
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一下·云南大理·开学考试）已知集合 ，集合 .
(1)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可；
（2）利用集合间的基本关系计算即可.
【详解】（1）∵ 是 的必要不充分条件，
∴ 是A的真子集.
①当 时， ，
②当 时，∴ ，解得 .
∴实数 的取值范围为 .
（2）由 ，
则①当 时， ，
②当 时，可得 或 ，
解得 或 .
∴实数 的取值范围为 .
14．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在① ；②“ （ 是非空集合）”是“ ”的充分不必
要条件；③ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合 ．
(1)当 时，求 和 ；
(2)若________，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ， ；
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出集合 ，再求出 ，进而可得集合 ；
（2）分情况处理，若选择①，考虑 的情形即可，要分 和 两种情况分析；若选择②，
考虑 且 的情形即可；若选择③，考虑 的情形即可，要分 和 两种
情况分析.
【详解】（1）当 时，集合 ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）若选择①， ，则 ，
当 时， ，解得： ，
当 时，又 ，
所以 ，得 ，
所以实数a的取值范围是 ．
若选择②，“ “是“ ”的充分不必要条件，
则 且 ，
因为 ，
或 ，解得： ，
由于 无解， 不成立，
所以实数a的取值范围是 ．（不检验 扣1分）
若选择③， ，
当 时， ，解得： ，
当 时，又 ，则 ，
解得： 或 ，
所以实数a的取值范围是 ．
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