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专题 09 预备知识九：函数的概念
1、学会运用集合语言表示函数，理解函数的定义及构成要素，会求解简单函数的定义域和值域
2、掌握函数相等与判定的方法
知识点一：函数的概念
1、初中学习的函数的传统定义
设在一个变化的过程中，有两个变量 和 ，如果给定了一个 值，相应地就有唯一确定的一个 值
与之对应，那么我们就称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量.它们描述的是两个变量之间的依
赖关系.
2、函数的近代定义
一般地，设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系
，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数
(function)，记作 ， .其中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的
值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．显然，值域是集合 的子集.
函数的四个特征：
①非空性： ， 必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在
的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
知识点二：函数的三要素
1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
2、对应关系：对应关系 是函数的核心，它是对自变量 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域(range).
知识点三：函数相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
知识点四：区间的概念
1区间的概念
设 ， 是实数，且 ，满足 的实数 的全体，叫做闭区间，
记作 ，即， 。如图： ， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．
集合
区间
2含有无穷大的表示
全体实数也可用区间表示为 ，符号“ ”读作“正无穷大”，“ ”读作“负无穷大”，即
。
集合
区间
对点特训一：函数关系的判断
典型例题
例题1．（23-24高一上·北京·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，那么
函数 的图象可能是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解.
【详解】对于A：函数的定义域为 ，但是值域不是 ，故A错误；
对于B：函数的定义域不是 ，值域为 ，故B错误；
对于C：函数的定义域为 ，值域为 ，故C正确；
对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误.
故选：C
例题2．（23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将
“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合
， ，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从 到 的函数的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念判断即可.
【详解】根据函数的定义，在集合 中任意一个数在 中有且只有一个与之对应，
选项A中集合 中2对应的数有两个，故错误；
选项B中集合 中3没有对应的数，故错误；
选项C中对应法则为从 到 的函数，箭头应从 指向 ，故错误；
选项D中集合 中任意一个数在集合 中都有唯一数与之对应，故D正确，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：D
精练
1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论.
【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，
A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.
故选：A
2．（多选）（22-23高一上·陕西西安·期末）设集合 ，则下列图象能表示
集合 到集合Q的函数关系的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断．
【详解】对于A：由图象可知定义域不是 ，不满足；
对于B：定义域为 ，值域为 的子集，故符合函数的定义，满足；
对于C：集合 中有的元素在集合 中对应两个值，不符合函数定义，不满足；
对于D： 由函数定义可知D满足．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：BD．
对点特训二：集合与区间的转化
典型例题
例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）区间 表示的集合是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据区间的定义判断.
【详解】区间 表示的集合是 .
故选：C．
例题2．（23-24高一上·河北石家庄·期中） 用区间表示为 ； 用区
间表示为 ．
【答案】
【分析】根据区间的定义直接得到答案.
【详解】 ， .
故答案为： ； .
例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 或 .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用区间的概念表示出各个集合.
【详解】（1）
（2）
（3）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（4） 或
精练
1．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（ ）
A． 用区间可表示为 B． 用区间可表示为
C． 用集合可表示为 D． 用集合可表示为
【答案】D
【分析】根据区间的概念逐项判断即可.
【详解】对于A， 用区间可表示为 ，错误；
对于B， 用区间可表示为 ，错误；
对于C， 用集合可表示为 ，错误；
对于D， 用集合可表示为 ，正确；
故选：D
2．（23-24高一上·重庆·期中）集合 用区间表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合集合与区间的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据集合的表示方法，集合 用区间表示为 .
故选：D.
3．（23-24高一上·广东江门·期中）不等式 的解集用区间表达为 ．
【答案】 .
【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，进而得到答案.
【详解】由不等式 ，解得 或 ，即不等式的解集为 .
故答案为： .
对点特训三：同一个函数
典型例题
例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】对于A中，函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数 的定义域为R，与 的定义域为 ，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数 与 的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
例题2．（多选）（23-24高一上·浙江·期中）下列各组函数不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得.
【详解】对于A，函数 的定义域为 ， 定义域为R， 是不同函数，A是；
对于B，函数 的定义域都为R，对应法则相同，它们是相同函数，
B不是；
对于C， 的定义域都为R，又 ，即对应法则相同，它们是相同函数，C不是；
对于D，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，
是不同函数，D是.
故答案为：AD
精练
1．（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用函数的定义判断.
【详解】A. ，定义域都为R，故表示同一函数；
B. ，故不是同一函数；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C. ，解析式相同，定义域都为R，故表示同一函数；
D. ， 的定义域为R， 的定义域为 ，故不是同一函数，
故选：AC
2．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列函数 与 表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
【答案】CD
【分析】根据定义域和对应关系都相同即为相等函数逐项判断．
【详解】对于A ： 的定义域是 ， 的定义域是 ，
故 ， 不是同一函数，故A错误；
对于 的定义域是 ， 的定义域是 ， ，
故 ， 不是同一函数，故 错误；
对于 的定义域是 ， 的定义域是 ，且 ，
故 ， 是同一函数，故 正确；
对于 的定义域是 ， 的定义域是 ，且 ，
故 ， 是同一函数，故 正确．
故选：CD．
对点特训四：函数求值问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象
是如图的曲线 ，其中 ，则 的值为（ ）
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】根据表格中的数据及图象可求函数值.
【详解】 ，
故选：A.
例题2．（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知 ， .
(1)求 ， 的值；
(2)求 ， 的值.
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）将 分别代入 与 的解析式即可得解；
（2）利用（1）中结论，将 ， 的值分别代入 与 的解析式，从而得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
.
精练
1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】对 赋值，即可得到结果.
【详解】令 ，故可得 .
故答案为： .
2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若 表示不大于 的最大整数，比如 ，则
．
【答案】3
【分析】根据 表示不大于 的最大整数求解.
【详解】解：因为 表示不大于 的最大整数，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故答案为：3
对点特训五：求函数的定义域
典型例题
例题1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数 的定义域为（ ）
A．{ 且 } B．{ 且 }
C． D．{ 且 }
【答案】D
【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
【详解】由题意得 ，解得 且 ，
即定义域为 .
故选：D.
例题2．（22-23高一上·全国·期中）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】整体代入法求函数 的定义域，再由 有意义的条件，求 定义域.
【详解】因为函数 的定义域是 ，由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
要使 有意义，则 ，解得 ，
所以 的定义域是 .
故选： .
例题3．（23-24高一上·湖南张家界·阶段练习）已知函数 ，则 的定义域为
【答案】
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据一元二次不等式的解法，结合二次根式的性质、复合函数定义域的性质进行求解即可.
【详解】由 ，
于是有 ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案为：
精练
1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式和分式的意义建立不等式组，解之即可求解.
【详解】由 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 .
故选：D
2．（23-24高一上·山东·期中）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】∵函数 的定义域为 ，
∴要使函数 有意义，
则有 ，解得 ，
∴ ，即函数 的定义域为 .
故选：D.
3．（2024·湖北武汉·二模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
.
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数 的定义域为 ，则有 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 .
故答案为： .
对点特训六：函数的值域
角度1：一次、二次、反比例函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数 ，函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质即可得到值域.
【详解】 ，
因为 ，所以 的值域为 ，即 ，
故选：A.
例题2．（2023高一·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1) ， ；
(2) ， ；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的解析式求得值域.
（2）根据二次函数的性质求得值域.
【详解】（1）由 ，分别代入求值，
可得函数的值域为 ．
（2） ，
由 ，当 时， ；当 时， ； ，
再结合函数的图像，可得函数的值域为 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（23-24高一上·湖南长沙·期中）函数 的值域为 .
【答案】
【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得 的值域.
【详解】因为二次函数 的值域为 ，
所以 的定义域是 ，值域为 .
故答案为： .
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 ， 的值域为 .
【答案】
【分析】根据二次函数的知识求得正确答案.
【详解】二次函数 的开口向上，对称轴为 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，
当 时， 取得最大值为 ，
所以函数的值域为 .
故答案为：
角度2：根式型值域
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ．
【答案】
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解.
【详解】令 ，因为 ，所以 ，则 ，
所以原函数可化为 ，其对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
例题2．（22-23高一上·浙江·期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，转化为二次函数的值域问题求解.
【详解】设 ，则
因为 ，
所以 ，即 ，
所以函数 的值域为 ，
故选：D.
精练
1．（23-24高一上·安徽亳州·期中）函数 的值域为
【答案】
【分析】令 ，将原函数转化为关于t的二次函数，然后由二次函数的性质可得.
【详解】令 ，则 ，
于是 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，没有最大值，所以函数的值域是 .
故答案为：
2．（22-23高一上·湖北鄂州·期中）函数 的值域是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数性质求值域即可.
【详解】 ，
所以 .
故选：A.
角度3：分式型值域
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简函数 ，结合 ，求得 的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，函数 （ ），
令 ，则 ，可得 ，
故 （ ）的值域为 ．
故选：A.
例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）函数 的值域是 ．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，化简函数并求出值域即得.
【详解】函数 有意义，则 ，解得 且 ，
显然 ，则 ，由 ，得 ，
所以函数的值域是 ．
故答案为：
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1．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离常数后，得到函数值域.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，故值域为 ．
故选：D
2．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】将 采用分离常数法得到 ，然后当 取到最小值时，函数有最
大值，即得到答案.
【详解】 ，因为 ，
所以 ，当 时等号成立，所以 ．
故答案为： .
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断.
【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；
选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；
选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.
故选:A.
2．（23-24高一上·北京·期中）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数有意义的条件求定义域.
【详解】函数 有意义，则有 ，
解得 且 ，所以函数定义域为 .
故选：D
3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数 的定义域，得即函数 的定义域，再整体代入求函数 的定义
域.
【详解】函数 的定义域为 ，由 ，有 ，
即函数 的定义域为 ，
令 ，解得 ，函数 的定义域为 .
故选：C
4．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）对任意的 ， 表示不超过x的最大整数，十八世纪，
被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题目的高斯函数取整即可.
【详解】
依题意，
故选：D
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故选：B.
6．（23-24高一上·河南·期中）若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域可知 对任意 恒成立求解即可.
【详解】若函数 的定义域为R，
则 对任意 恒成立．
当 时，不等式 化为 ，恒成立；
当 时，需 ，解得 ．
综上所述，实数a的取值范围是 ．
故选：B．
7．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数 的定义域为R，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】C
【分析】根据分式函数中分母不为0得 ， 恒成立，分类讨论， 时符合题意，
时利用判别式法列不等式求解即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】由函数 的定义域为R，得 ， 恒成立.
当 时， 恒成立；
当 时， ，解得 .
综上所述，实数a的取值范围为 .
故选：C.
8．（19-20高一上·安徽芜湖·阶段练习）在实数集 中定义一种运算“ ”，具有下列性质：
①对任意a， ， ；
②对任意 ， ；
③对任意a， ， ．
则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】注意新定义的运算方式即可.
【详解】在③中，令 ，则 ，所以 ．
函数 在 时取最小值，最小值为 ；在 时取最大值，最大值为5，所以函数
的值域是 ．
故选：B．
二、多选题
9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】BC
【分析】依次判断四个选项中的两个函数的定义域和对应法则是否均相同即可得解．
【详解】函数 与 ， ， ，对应法则不同，不是同一个函数，A
不是；
函数 与 的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一个函数，B是；
函数 与 的定义域相同，都是 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司化简函数解析式得 与 ，对应法则也相同，所以是同一个函数，C是；
函数 与 ， ， ，对应法则不同，不是同一个函数，D不是.
故选：BC
三、填空题
10．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）函数 的值域为
【答案】
【分析】根据题意，由二次函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，且 ，则当 时， ，当 时， ，
则函数值域为 .
故答案为：
四、解答题
11．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函数 .
(1)当 时，求 的值域；
(2)若 的定义域为 ，求实数 的值；
(3)若 的定义域为 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)2
(3) .
【分析】（1）配方求解值域；
（2）得到-2和1是方程 的两个根，由韦达定理求解；
（3）考虑 ， 和 时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
所以 的值域为 .
（2）因为 的定义域为 ，
所以-2和1是方程 的两个根，
故 ，解得 ，检验符合，故 ,.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（3）当 时， ，定义域为 ，符合题意；
当 时， ，定义域不为 ，不符合题意；
当 时，由题意， 在 上恒成立，
令 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围 .
12．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）完成下列各小题:
(1)若正数 ， 满足 ，求 的最小值.
(2)已知 ，求 的最小值.
(3)已知定义在 的函数 ，求函数的值域
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用 表示 得 ，再利用基本不等式即可；
（2）利用换元法和基本不等式即可；
（3）利用基本不等式即可.
【详解】（1）由题得，正数 ， 满足 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
当且仅当 ，得 ，即 时，等号成立；
所以 的最小值为 .
（2）因为 ，所以 ，令 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 时， 的最小值为 .
（3）因为 ,所以
所以
因此
当且仅当 时,取等号,即 时取等号，
因为 ，所以
所以 ，即
所以函数的值域为
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
