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（1）集合与常用逻辑用语
——2025 高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.集合间的基本关系：
表示
文字语言 符号表示
关系
集合A中任意一个元素都是集合B的
子集 或
元素
集合 集合A是集合B的子集，并且B中至
真子集 或
间的 少有一个元素不属于A
基本
关系
集合A的每一个元素都是集合B的元
相等 素，集合B的每一个元素也都是集合 且
A的元素
空集是任何集合的子集
空集
空集是任何非空集合的真子集 且
2.充分条件与必要条件
若 ，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 且
p是q的必要不充分条件 且
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件 且
3.量词与含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 表示符号全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等
（2）全称量词命题和存在量词命题
命题名称 命题结构 命题简记
全称量词命题 对M中任意一个x，有 成立
存在量词命题 存在M中的一个 ，使 成立
（3）全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定
【易错题练习】
1.已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
2.命题“对任意的 ， ”的否定是( ).
，
A.不存在
B.存在 ，
，
C.存在
D.对任意的 ，
3.定义集合运算： .若集合 ，，则 ( )
A. B. C. D.
A x∣log x2 2
B {m} A B B
4.已知集合 2 ， .若 ，则m的取值范围是( )
(,2] [2,2]
B.
A.
(,2) (2,) [2,0) (0,2]
C. D.
5.设 ，则“ ”是“ ”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若命题“ ， ”为假命题，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.（多选）对任意 ，记 ，并称 为集合A，B的对
称差.例如，若 ， ，则 ，下列命题是真命题的是( ).
A.若 且 ，则
B.若 且 ，则
C.若 且 ，则
D.存在 ，使得
8.（多选）下列命题中是假命题的有( ).
A. ，B. ，
C.“ ”的充要条件是“ ”
D.“ ， ”是“ ”的充分条件
9.若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则a的最大值为__________.
10.已知集合 ，集合 ，若命题“ ，
”为假命题，则实数a的取值范围为__________.答案以及解析
1.答案：C
解析： ， ，解得 ， .又 ，且 ，
.
2.答案：C
解析：替换量词，否定结论，命题“对任意的 ， ”的否定是“存在 ，
”.
3.答案：D
解析：因为 ，所以 .令 或3， 或3，则 或
6， 或 ，则 .因为集合 ，故
.
4.答案：D
A x∣0 x2 22 {x∣2 x2
x0} A B B B A
解析：由题意，得 ，且 .因为 ，所以 ，
m[2,0) (0,2]
所以 .故选D.
5.答案：A
解析：若 ，当 时， 不能推出 ，故必要性不成立.又
，且 ， ， ，充分性得证.
6.答案：A解析：因为命题 ， 为假命题，所以 ， 是真命题，所
以方程 有实数根，则 ，解得 .
7.答案：ABD
解析：对于A选项，因为 ，所以 ，且B中的元素不能出现在 中，因此
，即选项A正确；
对于B选项，因为 ，所以 与 是相同的，所以 ，即选项B正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，即选项C错误；
对于 D 选项，设 ， ，则 或 ， ，
，所以 或 ，因为 ，即选项D正确.
8.答案：ABC
解析： ， ， A 是假命题； 函数 与 的图象有交点，如点
，此时 ， B是假命题；
当 时， ，而0作为分母无意义，
C是假命题；
由 ， ，可得 ， D是真命题.
9.答案：
解析：由 得 或 . “ ”是“ ”的必要不充分条件，
， 的最大值为 .10.答案：
解析：命题“ ， ”为假命题，则其否定“ ， ”为真命题.
当 时，集合 ，符合 .当 时，因为 ，所以由 ，
，得 对于任意 恒成立，又 ，所以 .综上，实数 a
的取值范围为 .
