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第02课 常用逻辑用语（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知P，Q为R的两个非空真子集，若 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2023·全国·高三专题练习）若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
A．“ ， ”的否定是“ ， ”
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C． ， ，使得
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
4．（2023春·四川宜宾·高二校考期中）已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·天津·统考高考真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）若不等式 的一个充分条件为 ，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
7．（2023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）若向量 ， ，则“ ”
是“向量 ， 夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023春·云南昆明·高一统考期末）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2004·湖南·高考真题）设集合 ，若集合 ，
，则 的充要条件是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（2023春·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）已知平面 ，直线 、 ，若 ，则“ ”是
“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
11．（2023春·全国·高一专题练习）已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．若 ， ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
12．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）下列命题中正确的命题是 （ ）A． ，使 ；
B．若 ，则 ；
C．已知 ， 是实数，则“ ”是“ ”的必要不充分条件；
D．若角 的终边在第一象限，则 的取值集合为 ．
13．（2022秋·高一单元测试）对任意实数 ， ， ，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的充分条件
C．“ ”是“ ”的必要条件
D．“ 是无理数”是“ 是无理数”的充分不必要条件
14．（2022·湖南衡阳·统考二模）下列结论中正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在 中，若 ，则 是等腰三角形
C．两个向量 共线的充要条件是存在实数，使
D．对于非零向量 ，“ ”是“ ”的充分不必要条件
三、填空题
15．（2023·全国·高三专题练习）若命题 为假命题，则实数a的取值范围是
.
16．（2020·全国·高三专题练习）命题“ ”为假命题，则实数 的取值范围是
．
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，下列四个命题：① ， ，② ，，③ ， ，④ ， ．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
2．（2023·全国·高三专题练习）命题“对 ， ”为真命题的一个充分不必要条件可以
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则“存在 使得
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知命题“ ， ”为真命题，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．在 ABC中， 是 的充要条件
△
C．若a，b， ，则“ ”的充要条件是“ ，且 ”
D．“若 ，则 ”是真命题
6．（2023·全国·高一专题练习）若命题“ ”为假命题，则实数x的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）下列叙述中正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．“ ”是“直线 和直线 垂直”的充分而不必要条件
C．命题“若 ，则 且 ”的否命题是“若 ，则 且 ”
D．若 为真命题， 为假命题，则 ， 一真一假
8．（2022·全国·高三专题练习）“ ，使得 成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知命题 ：关于 的不等式 的解集为R，
那么命题 的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“ ”的充要条件是
（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．设 是两个集合，则“ ”是“ ”的充要条件
C．“ ”的否定是“ ”
D． 名同学的数学竞赛成绩分别为： ，则该数学成绩的 分位数为70（注：
一般地，一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或者等于这个值，且至少有 的数据大于或者等于这个值．)
12．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且对任意
， 恒成立；若 时， .下列说法正确的是（ ）
A． 时，
B．对任意 ，有
C．存在 ，使得
D．“函数 在区间 上单调递减”的充要条件是“存在 ，使得 ”
三、填空题
13．（2020秋·河北张家口·高三张家口市第一中学校考阶段练习）下列四个命题：
①“ ”的否定；
②“若 ，则 ”的否命题；
③在 中，“ ”是“ ”的充分不必要条件；
④“函数 为奇函数”的充要条件是“ ”.
其中真命题的序号是 (真命题的序号都填上)
14．（2007·上海·高考真题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面
与两直线 ，又知 在 内的射影为 ，在 内的射影为 ．试写出 与 满足的条件，使
之一定能成为 是异面直线的充分条件
15．（2020·全国·高三专题练习）设向量 ， ，则“ ”是“ ”成立
的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .【三层练能力】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列四个说法：
①命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”；
②已知 、 ，命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题；
③ 是 的必要不充分条件；
④若 为函数 的零点，则 .
其中正确的个数为
A． B． C． D．
2．（2023春·山西大同·高二校考期末）已知定义在 上的函数 ． 对任意区间 和 ，
若存在开区间 ，使得 ，且对任意 （ ）都成立 ，则称 为 在
上的一个“M点”． 有以下两个命题：
①若 是 在区间 上的最大值，则 是 在区间 上的一个M点；
②若对任意 ， 都是 在区间 上的一个M点，则 在 上严格增．
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
3．（2021秋·江西宜春·高三校考阶段练习）给出下列四个命题:
①“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题;
②“平面向量 ， 的夹角是钝角”的必要不充分条件是
③若命题 ，则
④命题“ ,使得 ”的否定是:“ 均有 ”.其中不正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面 内一点，若在圆 上存在 ， 两点，
使得 （其中 为常数，且 ），则称点 为圆 的“ 倍分点”.则（ ）
A．点 不是圆 的“3倍分点”
B．在直线 上，圆 的“ 倍分点”的轨迹长度为
C．在圆 上，恰有1个点是圆 的“2倍分点”
D．若 ：点 是圆 的“1倍分点”， ：点 是圆 的“2倍分点”，则 是 的充分不必要条件
5．（2023·全国·高三专题练习）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆
之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲
线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标
系中，这类函数的表达式可以为 （其中 ， 是非零常数，无理数 ），对于
函数 以下结论正确的是（ ）
A． 是函数 为偶函数的充分不必要条件；
B． 是函数 为奇函数的充要条件；
C．如果 ，那么 为单调函数；
D．如果 ，那么函数 存在极值点.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）A． 有零点的充要条件是 B．当且仅当 ， 有最小值
C．存在实数 ，使得 在R上单调递增 D． 是 有极值点的充要条件
【一层练基础】参考答案
1．B
【分析】根据条件画出 图，根据图形，判断选项.
【详解】因为 ，所以 ，如图，
对于选项A：由题意知 P是 Q的真子集，故 ， ，故不正确，
对于选项B：由 是 的真子集且 ， 都不是空集知， ， ，故正确.
对于选项C：由 是 的真子集知， ， ，故不正确，
对于选项D：Q是 的真子集，故 ， ，故不正确，
故选：B
2．B
【分析】结合二次函数的性质来求得 的取值范围.【详解】依题意命题“ ， ”为真命题，
当 时， 成立，
当 时， 成立，
当 时，函数 开口向下， 不恒成立.
综上所述， .
故选：B
3．C
【分析】利用全称量词命题的否定判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断BD；判断存在量词命题
的真假判断C作答.
【详解】对于A，“ ， ”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为
， ，A错误；
对于B，“若 ，则 ”是假命题，如 ，而 ，B错误；
对于C，取 ，则 ，C正确；
对于D，因为函数 是R上的增函数，则“ ”是“ ”的充要条件，D错误．
故选：C
4．B
【分析】由题可得 恒成立，由 即可求出.
【详解】因为命题“ ，使 ”是假命题，
所以 恒成立，所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 ．
故选：B．
5．A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
6．D
【分析】求得不等式 的解集为 ，结合题意，列出不等式组，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 ，（ 不合题意）
要使得 是 的一个充分条件，
则满足 ，解得 .
故选：D.
7．B
【分析】由向量 ， 夹角为钝角可得 且 ， 不共线，然后解出 的范围，然后可得答案.
【详解】若向量 ， 夹角为钝角，则 且 ， 不共线
所以 ，解得 且
所以“ ”是“向量 ， 夹角为钝角”的必要不充分条件
故选：B
8．C
【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由 可得 ，
由已知 且 ，若 ，则 ，所以， ，则 ，矛盾.
若 ，则 ，从而 ，合乎题意.综上所述，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
9．A
【分析】先根据集合的运算，求得 ，结合 ，列出不等
式组，即可求解.
【详解】由题意，可得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，反之亦成立，
所以 的充要条件是 ．
故选：A．
10．D
【分析】利用线面的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若 ，且 ，则 或 ，即“ ” “ ”；
若 ，且 ，则 或 、 异面，则“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
11．ACD
【分析】根据面面垂直的性质定理可判断A,根据线面平行的判断以及性质可判断BD,根据线面垂直的性质
可判断C.
【详解】由面面垂直的性质定理可知A正确,
对于B,若 ， ，则 ,或者 异面，故B错误,
对于C,若 , 则 ,故充分性成立,但是 ， ，不能得到 ，故C正确，
对于D,若 ， ， ,不能得到 ,因为 有可能异面，但是 ， ， ，则
，故D正确，
故选：ACD12．BCD
【分析】根据指数函数的性质，得到 ，可判定A不正确；由三角函数的基本关系式，可判定B正
确；由指数函数与对数函数的性质，结合充分、必要条件的判定，可判定C正确；求得
，分类讨论，结合三角函数的符号，可判定D正确．
【详解】对于A中：当 时， ，即 ，所以A不正确；
对于B中：若 ，则 ，
所以 ，可得 或 ，此时 ，
所以B正确；
对于C：由 ，可得 ，又由 ，可得则 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以C正确；
对于D：由角 的终边在第一象限，可得 ，
当 为偶数时， 在第一象限时，可得 ；
当 为奇数时， 在第三象限时，可得 ，
所以 的取值集合为 ，所以D正确．
故选：BCD．
13．ABD
【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.
【详解】A：由 有 ，当 不一定有 成立，必要性不成立，假命题；B：若 时 ，充分性不成立，假命题；
C： 不一定 ，但 必有 ，故“ ”是“ ”的必要条件，真命题；
D： 是无理数则 是无理数，若 是无理数也有 是无理数，故为充要条件，假命题.
故选：ABD
14．AD
【分析】根据三角形的边与角的关系，以及根据共线向量的定义，逐个选项判断即可得到正确答案.
【详解】对于A：大角对大边，用正弦定理可得该命题正确；
对于B：若 ，则 或 ，即 或
即 是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；
对于C：若 ，满足向量 共线，但不存在实数 ，使 ，所以该命题不正确；
对于D：若“ ”，则“ ”；若“ ”，则“ ”不一定成立.所以该命题正确；
故选：AD
15．
【分析】写出 ， 为真命题，参变分离后求解函数最小值，求出实数a的取值范
围.
【详解】由题得 ， 为真命题，
所以当 时， 有解，
令 ， ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以只需 ，即实数a的取值范围是 .
故答案为：16．
【详解】试题分析：由题命题“ ”为真命题，则
，则实数 的取值范围是
考点：命题的否定
【二层练综合】参考答案
1．C
【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调
性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.
【详解】对于①，由 得： ， ， ，则 ，①正确；
对于②， ， ，即 ，则 ，②正确；
对于③，函数 在 上为减函数，而 ，则 ，即 ， ，③错
误；
对于④，当 时， ， ，即 ，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
2．C
【分析】先求出命题为真命题时的充要条件，然后再结合选项进行选择即可．
【详解】因为 ， 等价于 ， 恒成立，
设 ，
则 ．
所以命题为真命题的充要条件为 ，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为 ．
故选C．
【点睛】解题的关键是得到命题为真命题时的充要条件，由于求的是命题为真时的一个充分不必要条件，
故所选的范围应是充要条件对应范围的真子集，考查对充分条件、必要条件概念的理解．
3．A
【分析】由三角函数的性质可知 在R上的最大值为2，最小值 ，且相邻的最大值与最小值之
间的水平距离为π，结合充分、必要条件的定义即可判定.
【详解】由于 在R上的最大值为2，最小值 ，且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半
个周期，即 ，所以若存在 使得 ，则必有 ，但反之不成立,比如
时， ，但 在 上的最大值为2，最小值为 ， 时
的最大值为3，不可能等于4，∴“存在 使得 ”是“
”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及三角函数的性质，属基础题，关键是认真审题，理解存在
性命题的意义，掌握三角函数的性质和充分、必要条件的意义.
4．C
【分析】由题知 时， ，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“ ， ”为真命题，
所以，命题“ ， ”为真命题，
所以， 时， ，
因为， ，所以，当 时， ，当且仅当 时取得等号.
所以， 时， ，即实数 的取值范围是
故选：C
5．C
【分析】利用全称命题的否定可判断A,由正弦定理和充要条件可判断B，通过举特例可判断C,通过特殊角
的三角函数值可判断D.
【详解】A.命题“ ， ”的否定是“ ， ”,正确；
B. 在 ABC中， ，由正弦定理可得 (R为外接圆半径)， ，由大边对大角可得
△
；反之， 可得 ，由正弦定理可得 ，即为充要条件，故正确；
C. 当 时满足 ，但是得不到“ ，且 ”，则不是充要条件，故错
误；
D. 若 ，则 与 则 的真假相同，故正确；
故选：C
6．C
【分析】等价于“ ”为真命题．令 ，解不
等式 即得解.
【详解】解：命题“ ”为假命题，其否定为真命题，
即“ ”为真命题．
令 ，
则 ，即 ，解得 ，所以实数x的取值范围为 .
故选：C
7．D
【分析】选项 ：根据特称命题的否定为全称命题进行判断；
选项 ：根据两直线垂直求出 ，从而判断“ ”是“直线 和直线 垂直”的必要
而不充分条件；
选项 ：根据否命题的定义来判断；
选项 ：根据含有逻辑连接词的命题的真假来判断.
【详解】选项 ：命题的否定为 ， ，故选项 错误；
选项 ：直线 和直线 垂直的充要条件为 ，即 ， 可以推出 ，
但 推不出 ，故“ ”是“直线 和直线 垂直”的必要而不充分条件，故选项
错误；
选项 ：命题“若 ，则 且 ”的否命题是“若 ，则 或 ”， 故选
项 错误；
选项 ：若 为真命题，则 ， 中至少有一个为真，若 为假命题，则 ， 中至少有一个为假，
因此 ， 一真一假，故选项 正确.
故选：D.
8．A
【分析】由题可得等价于 ，求出最大值即可.
【详解】 ， ，等价于 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，故 ．故选：A．
9．CD
【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．
【详解】命题p：关于x的不等式 的解集为R，
则 ，解得
又 ， ，
故选：CD．
10．ACD
【分析】A应用作差法，结合充分、必要性的定义判断；B、C、D构造函数 、
、 ，利用导数研究其单调性，并结合充分、必要性的定义判断正误.
【详解】A：由 且 ，则 成立，反之 也有 成立，满足要求；
B：由 ，则 ，令 ，则 ，即 在定义
域上递增，故 ，不满足充分性，排除；
C：由 ，则 ，令 ，则 ，即 在定
义域上递增，故 ，反之 也有 成立，满足要求；
D：由 ，则 ，令 ，则 ， ，故在
上 ，在 上 ，
所以 在 上递减，在 上递增，则 ，
所以 在定义域上递增，故 ，反之 也有 成立，满足要求；
故选：ACD
11．ABD
【分析】根据充分必要条件的定义判断AB（可确定等价条件），根据命题的否定的定义判断C，根据百分位数的概念确定值判断D．
【详解】当 时， ；当 成立时，可得 ，所以A正确；
因为 等价于 ，所以B正确；
C项显然错误，命题的否定只否定结论，条件不否定；
把数据按照从小到大的顺序排列为： ，因为 ，所以该数学成绩的
百分位数为 ，D正确．
故选：ABD．
12．ABD
【分析】对于选项 ，根据条件求得 ，可判断， ：直接利用关系式的变换求出结果．对于
选项 ：利用假设法和关系式的而变换推出矛盾，进一步判定结果．
对于选项 ：直接利用函数的单调性判定结果．
【详解】对于选项 ： ， 时， ， ， ，而 ， ，故 正确；
对于选项 ： （2），而当 ， 时， ，
所以 （2） ，所以 ，故 正确；
取 ， ，其中， ，1， ，则 ， ； ，
从而 ，而 ，
对于 ，假设存在 使 ， ， ， ，
， ，
这与 矛盾，所以 错误；
对于 ：由上面推导可得当 ， 时， ，单调递减，为减函数，
所以若 ， ， ，则函数 在区间 上单调递减；当函数 在区间 上单调递减”，
则 ， ， ，故 正确．
故选： ．13．①②
【分析】对于①中，根据全称命题与存在性命题的关系，可判定正确；对于②中，根据逆命题与否命题的
等价关系，可判定正确的；对于③中，根据三角函数的性质和三角形的性质，可判定不正确的；对于④中，
根据正切函数的性质，可判定不正确.
【详解】对于①中，因为 ，所以命题“ ”为假命题，所以命
题“ ”的否定为真命题，所以是正确的；
对于②中，由 ，解得 或 ，即命题“若 ，则 ”的逆命
题为真命题，所以其否命题为真命题，所以是正确的；
对于③中，例如： ，此时 ，所以充分性不成立，
反之，若 且 ，根据三角函数的性质，可得 ，即必要性成立，
所以在 中，“ ”是“ ”的充分不必要条件是不正确的；
对于④中，由函数 为奇函数可得 或 ，所以不正确.
故答案为：①②.
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中熟记四种命题的关系，以及充分条件、必要条件的
判定，三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与论证能力.
14． ，并且 与 相交（ ，并且 与 相交）
【详解】 作图易得“能成为 是异面直线的充分条件”的是“ ，并且 与 相交”或“ ，
并且 与 相交”．
15．必要不充分
【详解】试题分析：
，所以“ ”是“ ”成立的必要不充分条件
考点：向量共线【三层练能力】参考答案
1．C
【分析】根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不
等式 ，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数 ，得出 ，
根据零点的定义和函数 的单调性来判断命题④的正误.
【详解】对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；
对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；
对于命题③，解不等式 ，得 或 ，所以， 是 的充分不必要条件，命题③为假命题；
对于命题④，函数 的定义域为 ，
构造函数 ，则函数 为增函数，
又 ，
为函数 的零点，则 ，
， ，则 ，命题④为真命题.
故选C.
【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，
考查推理能力，属于中等题.
2．D
【分析】举出反例，得到①②错误.
【详解】对于①，设 ，满足 是 在区间 上的最大值，但 不是 在区间
上的一个M点，①错误；
对于②，设 ，对于区间 ，令 为有理数，满足对任意 （ ）都成立，故 为区间 上的一个M点，
但 在 上不是严格增函数.
故选：D
【点睛】举出反例是一种特殊的证明方法，它在证明“某命题”不成立时，可达到事半功倍的效果.
3．C
【分析】①先写出原命题的逆命题，再判真假；②向量点积小于零，夹角为钝角或平角；③先求出命题p
所对应的x的取值范围，再求它相对于R的补集，即为命题 所对应x的范围；④特称命题的否定为全
称命题．
【详解】①“若 为 的极值点,则 ”的逆命题为:“若 ,则 为 的极值
点”为假命题,只有当 是导函数的变号零点时， 才是原函数的极值点，即①不正确；
②“平面向量 ， 的夹角是钝角”的必要不充分条件是 正确，两向量点积小于零，夹角为钝角或平
角，夹角是钝角必然有两向量点积小于零，故②正确；
③命题 等价于 ，则命题 ，而 解得 即③不正确；
④特称命题的否定为全称命题, 命题“ ,使得 ”的否定是:“ 均有 ”即
④不正确.即不正确的个数是3.选C.
【点睛】本题考查四种命题，充要条件，以及命题的否定，考查分式不等式的求解，含量词的命题的否定，
比较综合．
4．BCD
【分析】对“ 倍分点”这个概念理解以后，根据 的不同取值，对题干进行讨论与验证，结合同角这一
条件，运用余弦定理找到变量之间的关系即可进行判断.
【详解】若满足 ，设 ， ，则有 ， ， ， .如下图：在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ， ，
解得 ， 点 是圆 的“3倍分点”，故A错误；
过 作弦 的垂线垂足为 ，当 在直线 上时，如下图：
若 是圆 的“ 倍分点”即 ，设 ， ，则有 ， .
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
，解得 .又 ， ，
即 ，解得 ，又 与坐标轴得交点为 与 ，
则在直线 上，圆 的“ 倍分点”的轨迹长度为 ，故B正确；
在圆 上取一点 ，若点 是圆 的“2倍分点”，
则有 ，设 ， ， ， ，则有 ， ，
如下图：
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
，
解得 ，即 ，综上， ，
所以在圆 上，恰有1个点是圆 的“2倍分点”，故C正确；
设 ， ， .如下图：若点 是圆 的“1倍分点”则有 ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ， ，解得
， ，
由上面的结论可知，若点 是圆 的“2倍分点”， 解得 ， ，
若 ：点 是圆 的“1倍分点”， ：点 是圆 的“2倍分点”，
则 是 的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题以圆为背景，考查了平面向量与解三角形知识，并且运用不等式对答案进行判断.
5．BCD
【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单
调性，结合极值点的概念即可判断CD.
【详解】对于A，当 时，函数 定义域为R关于原点对称，
，故函数 为偶函数；
当函数 为偶函数时， ，故 ，
即 ，又 ，故 ，所以 是函数 为偶函数的充要条件，故A错误；
对于B，当 时，函数 定义域为R关于原点对称，
，故函数 为奇函数，
当函数 为奇函数时， ，
因为 ， ，故 .
所以 是函数 为奇函数的充要条件，故B正确；
对于C， ，因为 ，
若 ，则 恒成立，则 为单调递增函数，
若 则 恒成立，则 为单调递减函数，
故 ，函数 为单调函数，故C正确；
对于D， ，
令 得 ，又 ，
若 ，
当 ， ，函数 为单调递减.
当 ， ，函数 为单调递增.函数 存在唯一的极小值.
若 ，
当 ， ，函数 为单调递增.
当 ， ，函数 为单调递减.故函数 存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故D正确.
故答案为：BCD.
6．BCD
【分析】对于A，将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程有根的条件可判断其正
误；对于B，分类讨论a的取值范围，利用导数判断函数的最值情况；对于C，可举一具体实数，说明
在R上单调递增，即可判断其正误；对于D，根据导数与函数极值的关系判断即可.
【详解】对于A，函数 有零点 方程 有解，
当 时，方程有一解 ；
当 时，方程 有解 ，
综上知 有零点的充要条件是 ，故A错误；
对于B，由 得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 有最大值 ，无最小值；
当 时，方程 有两个不同实根 ， ，
当 时， 有最小值 ，当 时， ；当 时，
有最小值0；
当 时， 且当 时， ， 无最小值；
当 时， 时， ， 无最小值,
综上，当且仅当 时， 有最小值，故B正确；对于C，因为当 时， ， 在R上恒成立，此时 在R上单
调递增，故C正确；
对于D，由 知，当 时， 是 的极值点，
当 ， 时， 和 都是 的极值点，
当 时， 在R上单调递增，无极值点，
所以 是 有极值点的充要条件，故D正确，
故选:BCD.
【点睛】本题以函数为背景，考查二次函数、对数函数性质和利用导数研究函数单调性及最值，考查推理
论证能力、运算求解能力，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养.
