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专练 2 常用逻辑用语
授课提示：对应学生用书3页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅱ卷]已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则( )
A．p和q都是真命题
B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬p和¬q都是真命题
答案：B
解析：对于命题p，当x＝－1时，|x＋1|＝0<1，所以p是假命题，¬p是真命题．对于
命题q，若x3＝x，则x＝－1，0，1，所以满足“∃x>0，x3＝x”，故q是真命题，¬q是假
命题．故选B.
2．[2023·全国甲卷(理)]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：B
解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出
sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平
方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必
要条件．综上，选B.
3．[2024·福建泉州模拟]在等比数列{a}中，公比为q.已知a＝1，则0<q<1是数列{a}
n 1 n
单调递减的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：a＝qn－1，
n
当0<q<1时，0<＝q<1，
所以数列{a}单调递减，故充分性成立，
n
若数列{a}单调递减，则0<<1，即0<q<1，故必要性成立，
n
所以0<q<1是数列{a}单调递减的充要条件．
n
故选C.
4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，
故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．
5．设命题p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；q：0<a<1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B解析：当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；
当a≠0时，由不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R知，
得0<a<1.
∴当0≤a<1时不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，
即p：0≤a<1，又(0，1)[0，1).
∴p是q的必要不充分条件．
6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log x在(0，＋∞)上为减函
m
数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，由函数y＝2x＋m－1有零点，则m<1，由函
数y＝log x在(0，＋∞)上是减函数，得0<m<1，∴“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y
m
＝log x在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．
m
7．设p：|x－a|>3，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若¬p是q的充分不必要条件，则实数a的取
值范围是( )
A．
B．(－∞，－4]∪
C．
D．(－∞，－4)∪
答案：B
解析：p：x<a－3或x>a＋3，q：x≤－1或x≥，
¬p：a－3≤x≤a＋3.
因为¬p是q的充分不必要条件，
所以a＋3≤－1或a－3≥，
得a∈(－∞，－4]∪.
8．已知A，B，C为不共线的三点，则“|AB＋AC|＝|AB－AC|”是“△ABC为直角三
角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：|AB＋AC|＝|AB－AC|两边平方得到AB2＋AC2＋2AB·AC＝AB2＋AC2－2AB·AC，
得AB·AC＝0，即AB⊥AC，故△ABC为直角三角形，充分性成立；若△ABC为直角三角形，
当∠B或∠C为直角时，|AB＋AC|≠|AB－AC|，必要性不成立．故选A.
9．(多选)下列命题说法错误的是( )
A．∃x∈R，ex≤0
B．∀x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
答案：ABC
解析：根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；
当a＝b＝0时，没有意义，故C错误；因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆
否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D正确．
故选ABC.
二、填空题
10．关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
答案：②③
解析：要使函数f(x)＝sin x＋有意义，则有sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|
x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图象关于直线x＝对称，只需证f＝f.
∵f＝sin ＋
＝cos x＋，
f＝sin ＋
＝cos x＋，
∴f＝f，
∴③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示
(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
11．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg (x－a)的定义域为集合B.“若
x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，－3]
解析：由x2＋x－6<0得－3<x<2，
即：A＝(－3，2)，
由x－a>0，得x>a，即：B＝(a，＋∞)，
由题意得(－3，2)(a，＋∞)，∴a≤－3.
12．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，则m
的取值范围为________.
答案：[9，＋∞)
解析：由≤2，得－2≤x≤10，
由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，
设p，q表示的范围为集合P，Q，则
P＝{x|－2≤x≤10}，
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
因为p是q的充分而不必要条件，所以PQ.
所以解得m≥9.
[能力提升]
13．(多选)若“存在x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能是( )
A． B．2 C．3 D．
答案：AB
解析：因为“存在x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，所以对任意x∈，2x2－λx
＋1≥0恒成立，即2x＋≥λ对任意x∈恒成立．因为2x＋≥2(当且仅当x＝时，等号成立)，所以λ≤2.故选AB.
14．[2024·天津卷]设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：a3＝b3 a＝b，若a＝b，则3a＝3b，若3a＝3b，则a＝b，所以“a3＝b3”是“3a
＝3b”的充分必要条件，故选C.
⇔
15．[2023·新课标Ⅰ卷]设S 为数列{a}的前n项和，设甲：{a}为等差数列；乙：为等
n n n
差数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：C
解析：若{a}为等差数列，设其公差为d，则a ＝a ＋(n－1)d，所以S ＝na ＋d，所以
n n 1 n 1
＝a＋(n－1)·，所以－＝a＋(n＋1－1)·－[a＋(n－1)·]＝，为常数，所以{}为等差数列，即
1 1 1
甲⇒乙；若{}为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a＋(n－1)t，所以S＝na＋n(n－
1 n 1
1)t，所以当n≥2时，a ＝S －S ＝na ＋n(n－1)t－[(n－1)a ＋(n－1)(n－2)t]＝a ＋2(n－
n n n－1 1 1 1
1)t，当n＝1时，S ＝a 也满足上式，所以a ＝a ＋2(n－1)t(n∈N*)，所以a －a ＝a ＋2(n
1 1 n 1 n＋1 n 1
＋1－1)t－[a ＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{a}为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充
1 n
要条件，故选C.
16．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的
必要条件，则m的取值范围为________．
答案：[0，3]
解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
又∵S≠ ∅，如图所示．
⊆
则，∴0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].
