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2025二轮复习专项精练1
集合与常用逻辑用语、复数
【真题精练】
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
2．（2024·全国·高考真题）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高考真题）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则
（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
4．（2024·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
5．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．（2023·全国·高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条
件
7．（2023·全国·高考真题）设全集 ,集合
学科网（北京）股份有限公司， （ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
9．（2023·全国·高考真题）设集合 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．（2023·全国·高考真题）设集合 ， ，若 ，则
（ ）．
A．2 B．1 C． D．
学科网（北京）股份有限公司12．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
13．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高考真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A C B A B A C
题号 11 12 13 14 15
答案 B C B A A
1．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．D
【分析】由集合 的定义求出 ，结合交集与补集运算即可求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
3．B
【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反
即可得解.
【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
4．A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由 ，则 .
故选：A
5．C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若 ，则 .
故选：C.
6．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
学科网（北京）股份有限公司综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
7．A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集 ，
，所以， ．
故选：A．
8．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个
元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 或
于是有 或 ，
即有 ，解得 ；
或者 ，解得 ；
所以 ， 或
学科网（北京）股份有限公司.
故选：B
9．A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 即可.
【详解】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或x≥1}，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
10．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n
项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
n(n-1) S n-1 d d S S d
则S =na + d, n=a + d= n+a - , n+1 - n= ，
n 1 2 n 1 2 2 1 2 n+1 n 2
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
S S nS -(n+1)S na -S
反之，乙： 为等差数列，即 n+1 - n= n+1 n= n+1 n 为常数，设为 ，
n+1 n n(n+1) n(n+1)
na -S
即 n+1 n=t，则S =na -t⋅n(n+1)，有S =(n-1)a -t⋅n(n-1),n≥2，
n(n+1) n n+1 n-1 n
两式相减得：a =na -(n-1)a -2tn，即a -a =2t，对 也成立，
n n+1 n n+1 n
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
学科网（北京）股份有限公司方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
S (n-1) d d
则 n=a + d= n+a - ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
n 1 2 2 1 2
S S S
反之，乙： 为等差数列，即 n+1 - n=D, n=S +(n-1)D，
n+1 n n 1
即 ， ，
当 时，上两式相减得：S -S =S +2(n-1)D，当 时，上式成立，
n n-1 1
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
11．B
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
12．C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为 ，
所以 ，解得： ．
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司13．B
【分析】由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
14．A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
15．A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
【模拟精练】
一、单选题
1．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·二模）已知集合 ，若集合 有15个真子集，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·广东广州·一模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·三模）如图，已知集合 ， ，则图中阴影部分
所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏南京·三模）集合 的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（2024·重庆·三模）已知集合 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合 ，
， ，则M、N、P的关系满足（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2024·广东·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司9．（2023·广东深圳·一模）满足等式 的集合X共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024·天津北辰·三模）已知集合 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2024·辽宁沈阳·一模）已知集合 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2024·江苏·一模）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集
合为（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知 是两个不共线的单位向量，向量
（ ）．“ ，且 ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2022·山东淄博·一模）若向量 ，则“ ”是“向量 的夹角
为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
学科网（北京）股份有限公司C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2024·浙江宁波·二模）已知平面 ，则“ ”是“ 且 ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题 ：命题
.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“ , ”是假命题，则
不能等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·广东中山·模拟预测）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023·湖北武汉·二模）若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
20．（2024·湖北·二模）已知复平面内坐标原点为 ，复数 对应点 满足
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
学科网（北京）股份有限公司21．（2024·辽宁沈阳·一模）设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
22．（23-24高三上·湖南·阶段练习）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为
，则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2024·广东深圳·一模）已知 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
24．（23-24高三上·湖北黄冈·期中）复数 的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2023·河南·模拟预测）已知 ， 为实数， （i为虚数单位）是关于 的方程
的一个根，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D B B D D C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 A A A B C C C B A C
题号 21 22 23 24 25
答案 C C B B D
1．D
【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.
【详解】对于A，因为 ， ，则 ， ，故A 错误；
学科网（北京）股份有限公司对于B，因为 ， ，则 ，
所以 ，故B错误；
对于C， ， ，所以 ，故C错误；
对于D， 有无数个元素.故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】根据真子集的定义，推断出集合 含有4个元素，即不等式 的解集中
有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数 的取值范围．
【详解】若集合 有15个真子集，则 中含有4个元素，
结合 ，可知 ，即 ，且区间 , 中含有4个整数，
①当 时， , 的区间长度 ，此时 , 中不可能含有4个
整数；
②当 时， , , ，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当 时， , 的区间长度大于3，
若 , 的区间长度 ，即 ．
若 是整数，则区间 , 中含有4个整数，根据 ，可知 ，
，
此时 , , ，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若 不是整数，则区间 , 中含有5、6、7、8这4个整数，则必须 且
学科网（北京）股份有限公司，解得 ；
若 时， , , ，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当 时， , 的区间长度 ，此时 , 中只能含有6、7、8、9这4
个整数，
故 ，即 ，结合 可得 ．
综上所述， 或 或 ，即实数 的取值范围是 , , ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得 ，且区间 , 中含有4个整数，结合
区间长度 ，即可对 讨论求解.
3．A
【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由 ，得 ，即 ，此时 ，
由 ，得 ，而 ，所以 .
故选：A
4．A
【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.
【详解】由题可知阴影部分表示的集合为： 且 ，即 .
故选：A.
5．D
【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.
【详解】由题意，得 ,故集合A子集个数为 个.
故选：D.
6．B
【分析】利用子集的概念求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】集合 ，集合 ，
若 ，又 ，所以 ，解得
故选：B
7．B
【分析】先将集合 化简变形成统一形式，然后分析判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：B．
8．D
【分析】通过计算函数 定义域求出集合 ，计算函数 值域求出
集合 ，最后通过交集运算即可求解.
【详解】由 ，有 ，即 ，所以 ；
由 令 ，根据二次函数的性质有 ，
所以 ，又因为 ，所以 ， ；
所以 .
故选：D
9．D
【分析】根据方程 的实数根可得集合，则 ，由集合的并集与元素
学科网（北京）股份有限公司的关系即可得符合条件的所有集合 .
【详解】解：方程 的实数根有 ，解集构成的集合为 ，
即 ，则符合该等式的集合 为 ， ， ，
，
故这样的集合 共有4个.
故选：D.
10．C
【分析】
由已知求解 ，化简集合N后再由交集运算得答案．
【详解】
∵集合 ， ，
∴ ，又 ＝{0,1}，
∴( )∩N＝{0,1}．
故选：C．
11．A
【分析】根据集合的交并补即可求解.
【详解】由题知 ，
故选：A.
12．A
【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.
【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为 .
故选：A
13．A
【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.
【详解】当 ，且 时，
学科网（北京）股份有限公司，充分性满足；
当 时，
，当 ， 时，
是可以大于零的，
即当 时，可能有 ， ，必要性不满足，
故“ ，且 ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
14．B
【分析】根据向量 的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“ ”和“向量 的夹
角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】向量 ，由向量 的夹角为钝角，
即有 ，解得 且 ，
即“ ”不能推出“ 且 ”即“向量 的夹角为钝角”；
“向量 的夹角为钝角”即“ 且 ”能推出“ ”；
故“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，
即“ ”是“向量 的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
15．C
【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线
面垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性.
【详解】由于 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ， ，故充分性成立，
若 ， ，设 ， ，
则存在直线 使得 ，所以 ，由于 ，故 ，
同理存在直线 使得 ，所以 ，由于 ，故 ，
由于 不平行，所以 是平面 内两条相交直线，所以 ，故必要性成立，
故选：C
16．C
【分析】由命题 为假命题，则 在 上无解，即
与 ， 函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题
为真命题，则 ，求出参数求交集即可.
【详解】命题 为假命题，
在 上无解，
即 与 ， 函数图象没有交点，
由图可知： 或 ，
命题 为真命题，则 ，解得 ，
综上所述：实数a的取值范围为 .
学科网（北京）股份有限公司故选：C
17．C
【分析】转化为命题的否定“ , ”为真命题.用关于 的一次函
数来考虑，即可解.
【详解】根据题意，知原命题的否定“ , ”为真命题.
令 , ,解得 .
故选:C.
18．B
【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.
【详解】命题“ ”的否定是“ ”.
故选：B.
19．A
【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断.
【详解】 ，则 ，有 .
故选：A
20．C
【分析】由复数的除法运算易求出 ，再根据复数的几何意义即可得 .
【详解】由 可得 ；
所以可得 ，即 ；
即 .
故选：C
21．C
【分析】利用复数的除法解出 ，由模长公式计算 .
学科网（北京）股份有限公司【详解】由 解得 ，所以 .
故选：C.
22．C
【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.
【详解】因为z在复平面内对应的点为 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，即 .
故选：C．
23．B
【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
.
故选：B.
24．B
【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.
【详解】 而 的共轭复数是
故选：B.
25．D
【分析】由 是关于 的方程 的一个根，则 是关于 的方程
的一个根，结合根与系数的关系求解即可.
【详解】由 是关于 的方程 的一个根，
则 是关于 的方程 的一个根，
则 ， ，
即 ， ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司故选：D.
学科网（北京）股份有限公司
