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专题05 正态分布
题型一：正态密度函数
题型二：正态密度曲线的性质
题型三：求区间上的概率
题型四：根据正态曲线的对称性求参数
题型五：正态分布与函数的结合
题型六：正态分布的实际应用
题型七：3σ 原则的应用
题型一：正态密度函数
1．设随机变量
，则X 的密度函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．关于标准正态分布
的概率密度函数
的说法中：
①
为偶函数；②
的最大值是
；
③
在
时是单调递减函数，在
时是单调递增函数；
④
关于
对称．
正确说法的编号有 ．
3．在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数
，x∈R，则
下列结论中正确的是 ．（写出所有满足要求的结论序号）
①这次测试的数学平均成绩为100；
②分数在120 分以上的人数与分数在90 分以下的人数相同；
③分数在130 分以上的人数与分数在70 分以下的人数大致相同；
④这次测试的数学成绩的方差为10．
4．若随机变量
的概率分布密度函数
是偶函数，且该函数的最大值为
．
求函数
的解析式．
题型二：正态密度曲线的性质
5．如图是三个正态分布
，
，
的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z
对应曲线的序号分别依次为（ ）.
A．①②③
B．③②①
C．②③①
D．①③②
6．设两个正态分布
和
曲线如图所示，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知随机变量
，
，其正态分布曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
的取值比
的取值更集中于平均值左右
D．两支密度曲线与
轴之间的面积均为
8．如图是正态分布
的正态曲线图，下面个式子中：①
；②
；③
；等于
图中阴影部分面积的个数为（ ）注：
A．0
B．1
C．2
D．3
9．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分
析得到，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，
．X 和Y 的
分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设
，
，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：求区间上的概率
11．已知随机变量
，
，则
（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.5
12．已知
0.9973.某
体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量
（单位：克）服从正态分布
，从这一批篮球中随机
抽检300 个，则被抽检的篮球的质量不小于596 克的个数约为（ ）
A．286
B．293
C．252
D．246
13．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测
量一位体温为
的人时，显示体温X 服从正态分布
，若
的值在
内的概率约
为
，则n 的值约为（ ）
（参考数据：若
，则
）.
A．3
B．4
C．5
D．6
14．小明所在的公司上午9：00 上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，
则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布
若小明选择地铁，则从家里到达公司
所用的时间(单位：分钟)服从正态分布
；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：
分钟)服从正态分布
.若小明上午8：12 从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填
“自驾”“公交”或“地铁”)
参考数据：若
则
，
，
15．在某次大型人才招聘活动中，共有2000 人参加笔试，笔试成绩位于区间
，
，
的人数分别为683，272，45，已知此次笔试满分为100 分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准
差约为 （参考数据：若
，则
）
16．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布
，规定：分数高于93 分为优秀．
(1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有60000 名高二年级考生，估计全市数学成绩在
内的学生人数．
参考数据：
若
，则
，
．
17．为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100
分.随机抽取的8 人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
(1)计算样本平均数
和样本方差
；
(2)若这次环保知识竞赛的得分X 服从正态分布
，其中
和
的估计值分别为样本平均数
和样
本方差
，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为
参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据
）
附：若随机变量X 服从正态分布
，则
，
，
.
题型四：根据正态曲线的对称性求参数
18．某校期末考试的数学成绩
服从
，若
，则
（ ）
A．90
B．85
C．80
D．75
19．已知随机变量
，正实数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
20．已知随机变量
服从正态分布
，若
，则实数
（ ）
A．－2
B．1
C．2
D．3
21．设随机变量
服从正态分布
，且
，若
，则
＝ ．
22．某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高
（单位：cm）进行了测量，发现株高
近似服从正
态分布．已知测量的向日葵平均株高为
，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：
过矮（后
）、正常偏矮
、正常偏高
、过高（前
）．若
，则“过高”等级中最矮株高可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：正态分布与函数的结合
23．已知随机变量
，设函数
，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知连续型随机变量
服从正态分布
，记函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于直线
对称
B．关于直线
对称
C．关于点
成中心对称
D．关于点
成中心对称
25．（多选）已知连续型随机变量
，设函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
是在定义域
上的增函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象位于两条直线
，
之间
26．已知随机布变量ξ 服从正态分
，记函数.
则（ ）
A．
B．
C．
D．
27．随机变量
服从正态分布
，若函数
为偶函数，则
.
题型六：正态分布的实际应用
28．某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1 正常工作，且元件2 或元件3 正常工作时，该电
器正常工作．现有
台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过
小时的台数为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（多选）工厂生产了20000 件零件，其尺寸X 服从正态分布
.已知随机变量X 服从正态分布
，则
.下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．尺寸在区间
的零件约有13654 件
D．若
，则
30．（多选）（多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布
，则下列结论正确的是（ ）
附：若随机变量
，则
．
A．约有95%的用户每日步数在3600 到10800 之间
B．每日步数多于5400 和多于9000 的用户比例大致相等
C．若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户
D．随机抽取100 名用户，他们每日步数的方差接近1800
31．（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩
收入的样本均值
，样本方差
，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布
，假
设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布
，则（ ）（若随机变量
服从正态分布
，则
）
A．
B．
C．
D．
32．某企业生产一种零部件，其质量指标介于
的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部
件质量指标服从正态分布
；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布
．若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是
（
），各个元件能否正常
工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系
统的可靠性．
附：若
，则
，
．
(1)求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差；
(2)若控制系统原有3 个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性有何变化？
33．现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径
（单位：mm）服从正态分布
，乙
生产出的零件内径
（单位：mm）服从正态分布
．
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的
机器台数为
，求
的分布列；
(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2 元；若内径大于10mm，则每件亏损8 元；其余尺寸的零
件，则每件获利20 元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平
均利润更大．
参考数据：若
，则
．
34．某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022 年报考该试点高校的学生的笔试成绩
近
似服从正态分布
.其中，
近似为样本平均数，
近似为样本方差
.已知
的近似值为76.5，s
的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)若笔试成绩高于76.5 进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10 人，设其中进入面试学生数
为
，求随机变量
的期望.
(2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为
.设这4 名学生中通
过面试的人数为X，求随机变量X 的分布列和数学期望.
参考数据：若
，则：
；
；
.
题型七：3σ 原则的应用
35．某厂生产的零件外径（单位：cm）
，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取一个，
测得其外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（ ）
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
36．某厂新开设了一条生产线，生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10 件产品，监测
各件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
9.7
10.1
9.8
10.2
9.7
9.9
10.2
10.2
10.0
10.2
(1)求上表数据的平均数
和方差
；
(2)若认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布
．如果出现了
之外
的零件，就认为生产过程出现了异常，需停止生产并检查设备．
①下面是另一天抽检的核心指标数据：
10.1
10.3
9.7
9.8
10.0
9.8
10.3
10.0
10.7
9.8
用（1）中的平均数
和标准差s 作为
和
的估计值
和
，利用
和
判断这天是否需停止生产并检查
设备；
②假设生产线状态正常，记X 表示一天内抽取的10 个零件中其尺寸在
之外的零件数，求
及X 的数学期望．
附：若随机变量X 服从正态分布
，则
，
，
．
37．
企业
的产品
正常生产时，产品
尺寸服从正态分布
，从当前生产线上随机抽取400
件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：
产品尺寸
件数
8
54
54
160
72
40
12
根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在
以外视为小概率事件.一旦小概率事件
发生视为生产线出现异常，产品尺寸在
以内为正品，以外为次品.
.
(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；
(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3 件产品复检，正品检测费20 元/件，次品检测费30 元/件，记
这3 件产品检测费为随机变量
，求
的数学期望及方差.
38．已知在生产设备正常的情况下，某零件生产线生产的零件尺寸
（单位：
）服从正态分布
，当零件尺寸
满足
时合格，当
或
时不合格.
（1）已知当零件合格时，每个零件利润为
元；当零件不合格时，每个零件亏损
元.假设这条生产线
每天生产
个这样的零件，则在生产正常的情况下，求该生产线每天利润的期望；
（2）为了了解生产线的生产是否正常，需要对零件进行检测.该生产线每天自动检测
个零件，设零件不
合数为
，
，
时我们认为该生产线正常生产的概率为
，当生产线生
产的概率低于
时我们判定生产线异常.
某天该生产线检测的零件尺寸如下：
尺寸
合计
件数
根据以上检测数据判断该生产线是否异常.
（附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
，
，
，
）
39．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周
期中的100 件产品的关键指标（单位：
），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数
和方差
．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布
，用直方图的平均数估计值
作为
的估计值
，用直方图的标准差估计值作为
估计值
．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10 个零件的关键指标，如果关键指标出
现了
之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个
生产周期中抽测的10 个零件的关键指标：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用
和
判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记
表示一个生产周期内抽取的10 个零件关键指标在
之外的零件
个数，求
及
的数学期望．
参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
