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专题05 双曲线
考点01 双曲线的定义
考点02 双曲线的标准方程
考点03 双曲线的几何特征
考点04 双曲线焦点、准线和渐近线相关问题
考点05 双曲线中的定点、定值问题
考点06 直线与双曲线的位置关系
考点01 双曲线的定义
1．已知双曲线
的两个焦点分别为
，
，双曲线
上有一点
，若
，则
（ ）
A．2
B．10
C．2 或9
D．2 或10
2．双曲线
与双曲线
有相同的渐近线，双曲线
与椭圆
有相同的焦点，点
为双曲
线
上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为
，
，点
，当点
的位置变化
时，
的周长的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
3．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只
可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关
于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直
线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当
时，轨迹为椭圆；当
时，轨迹为抛物线；当
时，轨迹为双曲线.现有方程
表示的曲线是双曲线，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．双曲线C：
的右支上一点P 在第一象限，
分别为双曲线C 的左、右焦点，M 为
的内心，若内切圆M 的半径为1，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，双曲线
的左焦点为
是双曲线
的右支上的动点，则
的最大值
是（ ）
A．
B．2
C．3
D．1
6．与圆
及圆
都内切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上
B．双曲线的左支上
C．双曲线的右支上
D．圆上
7．双曲线
，
，
分别为左、右焦点，
是双曲线右支上一点，
，I
是
的内心，
交
轴于
，且
，则双曲线的离心率为 .
8．已知双曲线
的上、下焦点分别为
，
是双曲线
的上支上的任意一点
（不在
轴上），
与
轴交于点
，
的内切圆在边
上的切点为
，若
，则双曲线
的离心率的取值范围是 ．
考点02 双曲线的标准方程
1．已知A，B 为实数，则“
”是“
为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若双曲线
与椭圆
有公共焦点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知方程
表示双曲线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．当
从
到
变化时，方程
不可能表示的曲线是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
5．已知双曲线
经过点
，离心率为
，则双曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若双曲线
的焦距为6，则
（ ）
A．5
B．3
C．
D．
7．已知方程
表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
8．焦点在
轴上，焦距为4 且离心率为2 的双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，且
的焦距为
，则
的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若椭圆C：
的焦点和顶点分别是双曲线E 的顶点和焦点，则双曲线E 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．双曲线
的离心率为
，则
．
12．已知曲线
表示双曲线，则
的取值范围是 ．
13．已知椭圆
和双曲线
的焦点相同，则
.
考点03 双曲线的几何特征
1．设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设双曲线
的右焦点为
，
上一点
到
轴的距离为
，则点
的横坐标为（ ）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
3．已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．96
B．81
C．
D．
4．已知
分别是双曲线
的左、右顶点，
是双曲线
上的一动点，直线
，直线
与
分别交于
两点，记
，
的外接圆面积分别为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若双曲线
的离心率为2，虚轴长为
，则
的实轴长为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
6．已知双曲线C：
的左、右顶点分别为A，B，点P 在C 上且在第一象限内，设直线AP 与BP 的
斜率分别为
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
7．点
到直线：
和
：
的距离之积为4，记
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．
是两条互相垂直的直线
B．
是焦点在
轴上的双曲线
C．
是两条离心率均为
的双曲线
D．
上的点与原点之间的距离不小于
8．已知双曲线C：
的左、右顶点分别为
，
，点P 在C 上，且
，则P 到x 轴的距
离为 ．
9．与双曲线
有公共渐近线，且过点
的双曲线的实轴长为 ．
10．若方程
表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ．
11．已知反比例函数
的图象是双曲线，则这个双曲线的实轴长为 .
12．已知
是双曲线
上的点，则
的最小值为 ．
13．已知双曲线
，点
、
是右支上任意两点，且
，则
的
取值范围是 ．
14．已知曲线
：
，
为
上一点，
①
的取值范围为
；
②
的取值范围为
；
③不存在点
，使得
；
④
的取值范围为
.
则上述命题正确的序号是 ．
考点04 双曲线焦点、准线和渐近线相关问题
1．抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若实数k 满足
，则双曲线
与
的（ ）
A．焦距相等
B．实轴长相等
C．虚轴长相等
D．离心率相等
3．记
为双曲线
的右焦点，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线C：
的渐近线方程为
，点
在C 上，则C 的焦距为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线
：
的右焦点为
，过点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
6．抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线
与椭圆
焦点相同，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的焦点坐标为
C．双曲线的离心率
D．双曲线的实轴长为1
8．已知双曲线
左、右顶点分别为
．若直线
与两条渐近线分
别交于
，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
9．已知双曲线
的右焦点为
，若圆
上存在点
使
得
的中点在
的渐近线上，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知双曲线C：
的一条渐近线方程为
，过C 的左焦点F 的直线与C 的右支交于
点G，且与
：
相切于点E，若M 为FG 中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知双曲线
的方程是
，那么
的焦距
．
12．以双曲线
的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .
13．在棱长为2 的正方体
中，
为平面
内一动点，
与
所成的角为
，则动
点
所在曲线的焦距为 .
14．若双曲线
与双曲线
的焦距相等，则
的离心率为 .
15．已知椭圆
与双曲线
有公共焦点
，
，P 是它们的一个公共点，则
.
考点05 双曲线中的定点、定值问题
1．已知
为双曲线
上一点，
分别为其左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最大值
B．
的内心
到
轴的距离为1
C．若
为双曲线的右顶点，则点
到一条渐近线的距离为
D．点
到双曲线
的两条渐近线的距离之积为定值
2．图1 是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线
（其中
为正数）的一部分（图2）．若
是曲线
上的一点，且
，
过点P 的两条互相垂直的直线与曲线
的另外两个交点分别为
，其中一条直线的斜率为1．若
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
3．已知双曲线
的虚轴长为
为
上一点，过点
向
的两条渐近线作垂线，
垂足分别为
，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．过原点O 的直线与双曲线
：
交于A，B 两点，D 为
的右顶点，若
的渐近
线方程为
，则直线
与直线
的斜率之积为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．9
5．已知抛物线
的准线与对称轴的交点为
，过点
的直线与抛物线相交于不同的两点A，B，直
线
经过抛物线的焦点
与抛物线相交于D，E 两点，且
．则
的值为 ．
6．若双曲线
的左、右顶点分别为点
是双曲线在第一象限内的点．若直线
的倾斜角分别为
，且
，那么
的值是 ．
7．已知双曲线
的左、右顶点分别为
、
，
为双曲线右支上一点，且位于第一象限，
直线
、
的斜率分别为
、
，则
的取值范围是 ．
8．已知
为坐标原点，
，
分别是双曲线
的左、右顶点，
是双曲线
上不同于
，
的动点，直线
，
分别与
轴交于点
，
，则
．
9．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，且
．过
的直线与
交于
两点．
(1)求
的方程；
(2)若
均在
的右支上，且
的周长为
，求的方程；
(3)是否存在
轴上的定点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知
为双曲线
的左、右焦点，点
在双曲线上，过
的直线
交
的右支于
两点，且
．
(1)求
的方程；
(2)点
关于
轴对称点为
（异于点
），直线
交
轴于点
，记
，
的面积分别为
，求
的值．
11．已知双曲线
的离心率为
，且经过点
.
(1)求
的方程；
(2)已知
，若垂直于
轴的直线与
相交于
两点，直线
和
的另外一个交点为C．
（i）求证：直线
过定点
；
（ii）过点
作直线l 交
的右支于
两点，求
的面积的最小值.
考点06 直线与双曲线的位置关系
1．已知双曲线
的左、右顶点分别为点
，
，点
在双曲线的右支上且异于点
.若直线
的斜率的取值范围是
，则直线
的斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线
的离心率
，
是双曲线上关于原点对称的两点，点
是双曲
线上异于
的动点，直线
的斜率分别为
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是双曲线
的右焦点，过点
的直线交
的右支于不同的两点
，过点
且垂直
于直线
的直线交
轴于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．双曲线
的左、右焦点分别是
过
向双曲线的一条渐近线作垂线.垂足为
若
的面积为16，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
5．已知倾斜角为
的直线经过坐标原点，且与双曲线
分别交于
，
两点（其中点
位于
第一象限），过
作
轴于点
，若
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
．
是双曲线右支上一点，且直线
的
斜率为3，
是面积为6 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线
的一条渐近线为
，过双曲线
的右焦点
作
轴的垂线，
交双曲线
于
两点，则弦
的长度为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
8．若
是双曲线
的渐近线上任意一点，下列正确的是（ ）．
A．存在过点
的直线与该双曲线相切
B．不存在过点
的直线与该双曲线相切
C．至多存在一条过点
的直线与该双曲线相切
D．至多存在一条过点
的直线与该双曲线只有一个交点
9．在平面直角坐标系
中，已知点
，
，动点
满足
，记点
的轨迹
为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与曲线
交于
，
两点，与曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点，证明：“
，
为线段
的三等分点”的充要条件是“
，
两点的横坐标之积为
”.
10．已知
是双曲线
上一动点，
为坐标原点.设双曲线
在点
处的切线和两
条渐近线的交点分别为
.
(1)设
到两条渐近线的距离分别为
，求
的值；
(2)证明：
；
(3)求
的值.
11．已知双曲线
的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线过双曲线
的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于
，
两点，证明：直线与圆
相切的充要条件是
.
12．已知双曲线
与双曲线
的渐近线相同，且经过点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若斜率为
的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于
、
两点，求证：
.
13．在平面直角坐标系
中，给定三点
，
，
，点
到直线
的距离是该点到直
线
距离的等比中项．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)若直线
经过
的内心（设为
），且与
点的轨迹恰好有3 个公共点，求
的斜率
的取值范围．
14．已知双曲线
的右顶点为
，过点
且与
轴垂直的直线交双曲线
的一条渐近线于点
，
过点
作直线与双曲线
交于
两点，直线
分别交直线
于
两点，求
的取
值范围．
15．如图，已知椭圆
的离心率为
，该椭圆的左右焦点
恰好是双曲线
的左右顶点，
是双曲线
上异于顶点的任意一点，直线
和
与椭圆
的交点分别是
和
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线
的斜率分别是
，求证:
；
(3)是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求
的值；若不存在， 请说明理由.
