文档文本内容
专题05 椭圆的方程13 大考点
考点01 求椭圆的标准方程
考点02 椭圆定义的判断及应用
考点03 椭圆的筒单性质
考点04 椭圆的焦点三角形
考点05 椭圆的轨迹方程
考点06 椭圆的离心率问题
考点07 直线与椭圆的位置关系
考点08 椭圆的弦长问题
考点09 椭圆的中点弦问题
考点10 椭圆的范范围最值问题
考点11 椭圆的定点问题
考点12 椭圆的定值问題
考点13 椭圆的定直线问题
考点01 求椭圆的标准方程
1．过点
，且与椭圆
有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【详解】
所求椭圆与椭圆
的焦点相同，
其焦点在
轴上，且
，
设其标准方程为
，
，且
，
①，
点
在所求椭圆上，
②，
联立①②得
，解得
，
所求椭圆的标准方程为
．
故答案为：
．
2．已知椭圆
的左右两个焦点分别为
､
，且焦距为
是
上一点，若
，且
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
在
中，由余弦定理可得
，
解得
，又
，所以
.
故选:D.
3．求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)
，
，焦点在坐标轴上；
(2)椭圆上一点P 到其两焦点
，
的距离之和为10；
(3)两个焦点坐标分别是
，
，并且经过点
.
【答案】(1)
或
；
(2)
；
(3)
.
【分析】
【详解】（1）因为
，
，所以
.
若椭圆焦点在
轴上，则椭圆方程为
；
若椭圆焦点在
轴上，则椭圆方程为
.
（2）由题意，椭圆焦点在
轴上，可设椭圆方程为
，
且
，
，
所以
，
所以椭圆方程为：
.
（3）由题意，椭圆焦点在
轴上，可设椭圆方程为
，且
，
又
，故所求椭圆方程为
.
4．平面内动点
满足方程
，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，点
到两点
，
的距离之和为
，
所以
点的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
且
，
，
，
所以点P 的轨迹方程为
.
故选：B
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，下顶点为
，过原点
作
于点
，点
到直线
的距离为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意
，因为
，
所以
，所以
，又
，所以
，
所以
，化简得
，所以
，
直线
方程
即
，因为点
到直线
的距离为
，
所以
，所以
，所以
，所以椭圆
的方程为
.
故选：C
6．已知椭圆
的长轴长是焦距的2 倍，且点
在椭圆
上，则椭圆
的标准
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设半焦距为，则由题设有
，故
，
故椭圆方程为：
，
又因为点
在椭圆
上，故
，解得
，
则
.
所以椭圆标准方程为：
.
故选：B.
考点02 椭圆定义的判断及应用
7．如果椭圆
上一点P 与焦点
的距离等于3，那么点P 与另一个焦点
的距离是（ ）
A．5
B．13
C．1
D．3
【答案】A
【详解】由椭圆方程
得
，由椭圆的定义得
，
则
故选：A
8．已知点
在椭圆
上，
是
的一个焦点，
为
的中点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】不妨设F 为左焦点，设右焦点为
，连接ON，
，如图所示，
因为
为
的中点，O 为
的中点，
所以ON 为中位线，即
，则
，
由椭圆的方程可得
，解得
，
由椭圆的定义可得
，
所以
.
故选：C
9．如果点
在运动过程中，总满足关系式
，那么点
的轨迹为
（ ）
A．线段
B．射线
C．椭圆
D．双曲线
【答案】A
【详解】由点
的运动轨迹方程为:
，
表示点
到点
的距离之和为6，又
，
所以
的轨迹为线段
，
故选：A.
10．设
为椭圆
的两个焦点，点
在
上，若
，则
（ ）
A．9
B．18
C．20
D．36
【答案】B
【详解】∵
，∴
，
设
，则
，
∵
，∴
，∴
，
即
.
故选：B.
考点03 椭圆的筒单性质
11．已知椭圆方程为
，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为3，最小值为1，则椭圆
的短轴长是（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得：
，
解得：
，
所以
，则
，
所以椭圆的短轴长是
，
故选：D
12．已知椭圆
的长轴长是短轴长的3 倍，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为椭圆
的长轴长是短轴长的3 倍，
所以
，得
，又因为
，所以
，
可得
，因此
的离心率
.
故选：C.
13．（多选）已知椭圆
，下列结论不正确的是（ ）
A．焦点坐标
B．长轴长为4
C．短轴长为1
D．
焦距为
【答案】ACD
【详解】由
，则
，所以
，
对于A，由椭圆方程焦点坐标为
，故A 错误；
对于B，长轴长为
，故B 正确；
对于C，短轴长为
，故C 错误；
对于D，焦距为
，故D 错误.
故选：ACD.
14．、若椭圆
：
的离心率是
，则
.
【答案】7
【详解】由题意可得
，
，且
，则
，
因为椭圆
的离心率为
，所以
，解得
.
故答案为：7.
15．数学试卷（回忆版））已知椭圆
与椭圆
相交于
、
、
、
四点，且与
和
的四个焦点在同一个圆上，则
.
【答案】
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆
和
的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有
，
且两个椭圆的半焦距为
，
因此该圆的方程为
，
又因为
、
、
、
四点与
和
的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆
上，
由
，代入椭圆
中，
得
，又
，故
，
故答案为：
16．已知椭圆
：
左焦点为
，椭圆上顶点为
，右顶点为
，则
的面积为 .
【答案】
/
【详解】由
，
所以
，
所以
的面积为
，
故答案为：
考点04 椭圆的焦点三角形
17．已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，
为
上一点，且
的内切圆半径为
，若
在
第一象限，则
点的纵坐标为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】由题知，
，
所以
.
设
的内切圆半径为，因为
（根据面积相等列出方程），
所以
，得
.
故选：B
18．已知
为椭圆
上一点，
分别是椭圆
的左、右焦点．
的面积为
，则
的纵坐标的绝对值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意
，设
的纵坐标的绝对值为
，
因为
，且
的面积为
，则
.
所以
.
故选：B.
19．已知
是椭圆
的左、右焦点，点P 在C 上，且线段
的中点在以
为直径的圆
上，则三角形
的面积为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【答案】A
【详解】由已知椭圆
的长轴长
，短轴长
，焦距
，
所以
，
设
的中点为
，
则
，
于是
，
又
，则
为正三角形，即
.
故选：A.
20．已知
，
为椭圆
的两个焦点，若
上一点
满足
，则
面积
为 ．
【答案】2025
【详解】因为
，所以椭圆的焦点在
轴上，设焦距为
，
由定义可得
，因为
，由勾股定理可得
,
即
，
所以
，
所以
面积为
.
故答案为：2025
21．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率
，点
为该椭圆上一点，且
满足
，若
的内切圆的面积为
，则
的外接圆的面积为 .
【答案】
【详解】由
，得
，即
.
设
的内切圆半径为，则由
的内切圆的面积为
，
可得其内切圆的半径
.
在
中，根据椭圆的定义
，又
，
由余弦定理得
，
解得
，
所以
即
.又
，得
，故
，
由正弦定理知
的外接圆半径为
，
所以
的外接圆的面积为
.
故答案为：
.
22．椭圆
左右焦点为
，
，椭圆上点
满足
，则
．
【答案】
/
【分析】
【详解】因为椭圆
，所以
，点
在椭圆上，所以
，
又
，所以
，
在
中，
，
，
故答案为：
23．已知椭圆
上的点到其焦点的距离的最大值为
，最小值为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设P 为椭圆上一点，且
，求焦点三角形
的周长和面积．
【答案】(1)
；
(2)周长为
，面积为
【分析】
【详解】（1）
椭圆
上的点到其焦点的距离的最大值为
，最小值为
，
，解得
，
，
，
椭圆
的方程为
．
（2）
，
，
又
P 为椭圆
上一点，
，
焦点三角形
的周长
；
在△
中，由余弦定理得
，
即
①，
，
②，
②减①得
，故
，
三角形
的面积
．
考点05 椭圆的轨迹方程
24．一动圆与圆
外切，同时与圆
内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设圆
圆心为
，半径为，
圆
圆心为
，半径为
，动圆圆心为
，半径为
则
，
由圆
与圆
外切可得
，
由圆
与圆
内切可得
，
所以
，所以点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
设为
则
，所以
，
所以轨迹方程为
，
故选：B.
25．一动圆与圆
外切，同时与圆
内切，则该动圆圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆
【答案】A
【详解】如图，
设动圆的圆心为P，半径为r，如图，
因圆
与圆
外切，则
，
圆
，即
，
因
与圆
内切，则
，
又
，因
，所以点P 在以
，
为焦点的椭圆上.
故选：A.
26．已知圆C 的方程为
，直线l 为圆C 的切线，记
，
两点到直线l 的距离分别为
，
，动点P 满足
，
，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如图，分别过点
做直线的垂线，垂足分别为
，
则
，切点为
,
，
，
是
中点，
是梯形
的中位线，
，
又
圆C 的方程为
，
，
，
，
即
，
动点
的轨迹是以
为焦点，长轴长为
的椭圆，
设该椭圆的方程为
，
则
，
，
动点
的轨迹方程为
.
故选：A
27．在平面直角坐标系
中，点
在
轴上运动，点
在
轴上运动，
，且满足
，
则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题，设
，
因为
，所以
，
因为
，
，
所以
，即
，代入
得
.
所以点
的轨迹方程为
.
故选：D
28．已知曲线
，从
上任意一点
向
轴作垂线段
为垂足，点
在
的延长
线上，且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为点
在
的延长线上，且
，所以
为
的中点，
设
，则
，由中点坐标公式得
，
因为点
在曲线
，所以
，
即点
的轨迹方程为
.
故选：D
29．已知圆
的方程为
，直线为圆
的切线，记
两点到直线的距离分别为
，动点
满足
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图，分别过点
作直线的垂线，垂足分别为
，
则
，
，切点为
，
因为
，所以
是
的中点，
所以
是梯形
的中位线，所以
．
又因为圆
的方程为
，所以
，所以
，
即
，所以动点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为
，
则
，所以
，
所以动点
的轨迹方程为
＝1．
故选：B.
考点06 椭圆的离心率问题
30．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
．记以
为直径的圆与椭圆
在第一
象限的交点为
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，则
，由椭圆的定义，得
，
因为以
为直径的圆与椭圆
在第一象限的交点为
，所以
，
在
中，
，即
，
所以离心率
，
故选：A．
31．已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，过
的直线与椭圆
交于
两点，与
轴交于
点.若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设
，由于
与
等高，
，
所以
，
又
，
，∴
，
又
，∴
，
在
中，
，
∵
，
，
在
中，
，
化简可得
，解得
，
故选：D
32．已知椭圆
的上焦点为
，右顶点为B，斜率为
的直线l 交椭圆
于
，
两点，若
恰好为
的重心，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
或
B．
C．1
D．
【答案】D
【详解】延长
交
于点M，所以点M 为
的中点，设
.
因为
，点
为
的重心，
所以
即
，所以
.
因为点
在椭圆
上，
所以
，两式相减得
，即
，
整理得
.
因为
，所以
，即
，
所以
，解得
或
.
又因为
，所以
，
，所以
.
故选：D.
33．已知椭圆
，该椭圆上一点到直线
距离的最大值为
，则该椭圆的离心
率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设椭圆上一点
，
则点
到直线
的距离为
，其中
满足
，
因为
，所以
，所以
（负值舍去），
所以
所以椭圆的离心率为
，
故选：C
34．已知
是椭圆
的焦点，
，
分别是
上第二、四象限上的点．若四边形
为矩形，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图：
取椭圆的上顶点
，因为存在
，
分别是
上第二、四象限上的点，使得四边形
为矩形，所以必
有
.
即
.
所以
.
所以
，又椭圆的离心率
，
所以
.
故选：D
35．已知点
，
为椭圆
的左、右焦点，点P 为该椭圆上一点，且满足
，
若
的外接圆面积是其内切圆面积的9 倍，则该椭圆的离心率为
【答案】
/
【详解】根据题意画出图象如下图所示：
利用椭圆定义可知
，且
；
又
，利用余弦定理可知：
，
化简可得
；
所以
的面积为
；
设
的外接圆半径为
，内切圆半径为；
由正弦定理可得
，可得
；
易知
的周长为
，
利用等面积法可知
，解得
；
又
的外接圆面积是其内切圆面积的9 倍，即
，
所以
，即可得
，所以
；
离心率
.
故答案为：
.
36．已知椭圆
，
、
分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点
，使得
，则该椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由椭圆焦点三角形的性质可得，
，
所以
，
即
.
又椭圆的离心率
，所以
.
故答案为：
考点07 直线与椭圆的位置关系
37．直线
与椭圆
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．无法确定
【答案】C
【详解】由直线的方程
，得
，
因为
，所以
，即直线过定点
.
又因为
，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1 个或2 个交点.
故选：C.
38．直线
与椭圆
的位置关系为（ ）
A．与k 的值有关B．相切
C．相离
D．相交
【答案】D
【详解】设椭圆上的点为
，则
，
，
而直线
恒过定点
，则该定点在椭圆的内部，
可得不论k 为何值，直线与椭圆都相交，故D 正确.
故选：D
39．已知
是椭圆
上一点，
是直线
上一点，则
的最小值为
.
【答案】
/
【详解】求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值，
设与直线l 平行且与椭圆C 相切的直线为
，
联立
，得
，
判别式
，解得
，
当
时，切线为
，与直线l 的距离
，
当
时，切线为
，与直线l 的距离
.
所以
的最小值为
.
故答案为：
40．若过点
的任意直线均与椭圆
相交，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若过点
的任意直线都与椭圆
相交（非相切），
说明点P 必须在椭圆内部，得到
，解得
．
故答案为：
41．已知椭圆
：
的离心率为
，
为椭圆
上一点
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
有且只有一个公共点，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意可得
， 则
，
得椭圆方程为
.
（2）根据题意，联立
，消去
得
，
， 得
， 即
.
考点08 椭圆的弦长问题
42．已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
.过点
的直线与椭圆
交于
两点.当
轴时，
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设
，当
面积为
时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】
【详解】（1）
离心率
，
，
又
，即
，则
，
椭圆
：
可化为
，
当
轴时，
，
，
，
点
在椭圆上，
，将
代入，得
，
，
，
，
椭圆C 的方程为
；
（2）
由（1）知
，设
，
，
当直线的斜率不存在时，
，
，
此时
三点共线，不能构成三角形，故不满足题意；
当直线的斜率存在时，设
，
联立直线与椭圆的方程
，消去
，得
，
则
，
，
，
又点
到直线
的距离
，
，
化简得
，解得
或
（舍），则
，
经检验
符合题意.
直线的方程为
或
.
43．已知椭圆C 的方程为
（
）上顶点为
，离心率为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为2 的直线l 经过椭圆C 的左焦点，且与椭圆C 相交于M，N 两点，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意，
且
，
，得
，
因此椭圆
的方程为
.
（2）设椭圆左焦点为
，直线的方程为
，
，
，
联立直线方程与椭圆方程
，
可得
，解得：
，
.
所以
44．已知椭圆
：
的离心率为
，焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线：
与椭圆
相交于A，B 两点，且
.求弦长
.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）∵椭圆
：
的离心率为
，故
，
又焦距为
，故
，即有
，
，则
，
∴椭圆
的方程为
；
（2）联立
，消去
整理得
，
由
，则
，
设
，
，则
，
，
故
，
则
，
化简得
，即
，满足
，
故
.
45．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与
交于
两点，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设
的半焦距为
．由
的右焦点为
，得
．
由
的离心率为
，得
，所以
．
所以
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）设
．
由题意可知直线
的方程为
，即
，
与
联立，得
，解得
．
因为
，所以点
在椭圆内.
所以
，即
的面积为
．
46．已知
和
为椭圆
上两点．
(1)求C 的标准方程；
(2)若过点A 的直线l 交C 于另一点B，
的面积为24，且
的外接圆圆心在y 轴上，求直线l 的方
程；
【答案】(1)
(2)直线l 的方程为
【分析】
【详解】（1）将
和
代入椭圆方程可得
，解
，
所以C 的标准方程为
.
（2）由题意
，则AP 的垂直平分线的斜率
，
由
的中点坐标为
，即为
，
所以AP 的垂直平分线方程为
，即
，
令
，可得
，即
的外接圆圆心为
，
所以
的外接圆的半径
，
设点B 坐标为
，由题意得
，
所以
，解得
或4，
当
时，代入可得
或6（舍，与P 点重合），则
，
当
时，代入可得
或2（舍，与A 点重合），则
，
当
时，
的面积
，不符合题意，故舍去；
当
时，
的面积
，符合题意，
所以
，所以直线l 的方程为
，即
.
47．椭圆
的右焦点为
、右顶点为
，上顶点为
，且满足
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线与椭圆有唯一公共点
，与
轴相交于
异于
记
为坐标原点，若
，且
的面积为
，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
，
由
得
，化简得
，
所以椭圆的离心率
.
（2）由（1）可设椭圆的方程为
，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为
，
联立
得
，
由
，①
，
，
由
可得
，②
由
可得
，③
联立①②③可得
，
，
，
故椭圆的标准方程为
．
考点09 椭圆的中点弦问题
48．已知椭圆
的右焦点为
，过点
的直线交椭圆于
，
两点，若
的中
点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，代入椭圆方程可得：
，
两式作差可得：
(*)，
又
的中点坐标为
，所以
，
，
由(*)式可得
，
又直线
的斜率即直线
的斜率，
，
所以
，而
，
联立解得
，
，故椭圆的方程为：
.
故选：A．
49．椭圆
中，以点
为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，可知点
在椭圆
内，
则过点
的直线与椭圆必相交，设交点为
，
，
则点
，即
，
可知直线的斜率为
，直线
的斜率为
，
由题意可得
，两式作差可得
，
整理可得
，即
，解得
，
所以以点
为中点的弦所在直线的斜率为
.
故选：B.
50．已知椭圆
，过点
的直线交椭圆于A，B 两点，且P 为线段
的中点，则直线
的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】椭圆
，由
，得点
在椭圆内，
设
，则
，
两式相减得
，而
，
因此
，即直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，即
．
故选：A
51．直线
椭圆
相交于
两点，则弦
的中点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】把直线
代入椭圆
的方程，
消去x，化简可得
，设
，
则有
，故线段AB 的中点的纵坐标是
，
把
代入直线
可得
，
故线段AB 的中点坐标是
.
故选：A.
52．已知中心在原点，焦点坐标为
的椭圆被直线
截得的弦的中点的横坐标为
，则
该椭圆的方程为 ．
【答案】
【详解】由题意设椭圆的标准方程为
，
联立
，消元得
，
设两个交点分别为
，
，则弦
中点横坐标为
，
则结合韦达定理得
，即
①，
因为焦点
，所以有
②，
由①②得
，
所以椭圆方程为
，
故答案为：
53．已知椭圆
的长轴长为6，
是
上的一点．
(1)求
的离心率；
(2)若直线与
交于
两点，且弦
的中点为
，求的斜率．
【答案】(1)
(2)2
【分析】
【详解】（1）由题可知
，
解得
，
则
的离心率
.
（2）由（1）可知
的方程为
，
设
，
则
，
则
，
整理得
.
因为弦
的中点为
，所以
，
则的斜率
.
考点10 椭圆的范围最值问题
54．已知
是椭圆
上的两点，且线段
的垂直平分线为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知
，设直线
.
，得
.
则
.
所以线段
中点的横坐标为
，纵坐标为
.
因为线段
的中点在直线
上，
，解得
.
所以
，解得
．
方法二：由题意知
，设
．
∵线段
的垂直平分线为
.
设线段
的中点为
，则点
在直线
上，即
.
因为
是椭圆上的点，所以
.
两式相减，得
，即
.
由中点坐标公式得
，可得
，
所以
.代入
，得
.
因为
是椭圆上的点，所以线段
的中点
在椭圆内部，
所以
，即
，解得
．
故选：C.
55．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在
上且位于第一象限，直线
与
的另一个
交点为
，直线
与
的另一个交点为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】椭圆
的焦点
，设
，
直线
的方程为：
，由
消去
，
得
，则
，同理
，
因此
.
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
故选：C.
56．椭圆
的长轴的顶点为
，动点
在椭圆内，且
，则
的取值范
围是 ．
【答案】
【详解】由椭圆
，得
，解得
，所以
，
，
设
，则
，所以
，
由
，得
，
两边平方得
，
所以
，
所以
，即
，
所以点
的轨迹方程为
，
又因为动点
在椭圆内，所以
，即
，
故
．
故答案为：
．
57．（多选）椭圆
的两个焦点分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆
焦点在
轴上，且离心率为
，则
B．若
,点
为
上一点，则
面积的最大值为
C．若直线
与
恒有公共点，则
的取值范围为
D．若以线段
为直径的圆与椭圆
有四个交点，则
的取值范围是
【答案】BD
【详解】对于A，因为椭圆焦点在
轴上，所以离心率
，且
，解得
，故A
错误；
对于B，若
,则
，则
，
当点
为椭圆的上顶点或下顶点时，
面积最大，
，故B 正确；
对于C，直线
即
过定点
，
因为直线与椭圆恒有公共点，所以点
在椭圆内部或椭圆上，
则
，解得
或
，
又因为
且
，所以
的取值范围为
，故C 错误；
对于D，以线段
为直径的圆半径为，
当椭圆焦点在
轴上时，
，因为圆与椭圆
有四个交点，所以
，且
，解
得
；
当椭圆焦点在
轴上时，
，因为圆与椭圆
有四个交点，所以
，且
，解
得
.
综上，
的取值范围是
，故D 正确.
故选：BD.
58．已知椭圆
：
（
）的右顶点为
，离心率为
，左、右焦点分别为
、
，
为椭圆
上不同于左、右顶点的任意一点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)椭圆
：
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）设椭圆焦距为
，由题意可得
，
所以椭圆
：
；
（2）由题可设
，则由（1）
，
，
所以
.
考点11 椭圆的定点问题
59．已知椭圆
，过点
的两条弦
相互垂直，若
，
，求证
直线
过定点．
【答案】证明见解析
【详解】因为
，
，
所以
分别为
的中点，
由题意可知直线
斜率存在且不为0 ，设
，
则直线
的方程为：
，代入椭圆方程中得：
，
由
，
令
，所以有
，
所以
，
即
，因为
，所以直线
的斜率为
，
同理可得：
，即
，
所以
，
所以直线
的方程为：
，
即
，当
时，
，
所以直线
过点
.
60．已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线与E 交于
两点．当A 为E 的上
顶点时，
．
(1)求E 的方程；
(2)过点A 作
的垂线，垂足为M．证明：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）记
的半焦距为，由右焦点为
可得：
，而
，
故
，于是
的方程为
.
（2）如图：
不妨设
，
，
设
，联立
，
有
，可得
，
，
即
易知
，直线
的斜率为
，
故直线
的方程可表示为
当
时，显然
，
故
，
所以直线
过定点
而当
斜率为0 时，直线
就是
轴，也过点
综上，直线
过定点
.
61．已知椭圆
：
经过点
，离心率是
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线与椭圆
交于
，
两点两点均不在
轴上，且以
为直径的圆过椭圆右顶点
，求证：
直线恒过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以椭圆的方程为
．
（2）设
，
，
当直线斜率不存在时，设直线方程为
，则
，
，
由以
为直径的圆过椭圆右顶点
，可得
，
也即
，解得
或
舍去．
当斜率存在时，设直线方程为
，联立
，
整理得
，可得
由以
为直径的圆过椭圆右顶点
，可得
，
所以
，即
，
整理得
，
将
式代入上式得：
，
整理得
，可得
或
，
当
时，直线方程为
，此时直线过定点
，不符合题意，舍去，
当
时，直线方程为
，此时直线过定点
，符合题意．
综上，直线恒过定点
．
62．已知椭圆
经过点
.
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)设椭圆
的左顶点为
，直线
与
相交于
两点，直线
与直线
相交于点
. 问: 直线
是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由.
【答案】(1)
;
(2)直线
过定点
【分析】
【详解】（1）因为椭圆
经过点
，
所以
，解得
，
所以椭圆E 的方程为
，
因为
所以
，
所以离心率为
.
（2）直线
过定点
，理由如下：
由
可得
，
显然
，
设
则有
直线
的方程为
令
，解得
，则
，
所以直线
的斜率为
且
，
所以直线
的方程为
令
，则
所以直线
过定点
.
63．已知椭圆
的离心率
，左右焦点分别为
､
，双曲线
的焦点
恰好是
该椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知圆
的切线与椭圆相交于
两点，那么以
为直径的圆是否通过定点？若是，求
出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【分析】
【详解】（1）因为椭圆
的离心率
，所以
，即
.
因为双曲线的焦点
恰好是该椭圆的一个顶点，所以
，
所以
.所以椭圆
的方程为
.
（2）若直线的斜率存在，故设直线的方程为
，
由
，消去
，得
，
所以设
，
则
，
所以
.
所以
.①
因为直线和圆
相切，所以圆心到直线的距离
，
整理得
，②
将②代入①，得
，显然以
为直径的圆经过定点
；
若直线斜率不存在，故其切线为
，在这先讨论
，
则
，可得
，
，
所以可得此时以
为直径的圆为
，
即
，显然也过原点；
同理可得当
时也过原点；
综上可知，以
为直径的圆过定点
.
考点12 椭圆的定值问題
64．椭圆
的离心率为
，左右顶点分别为
，
，上下顶点分别为
，
，四
边形
是边长为
的菱形．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知A 是椭圆C 在第一象限上的点，B 与A 关于原点对称，
为椭圆C 的右焦点，连接
与
，并
延长交椭圆C 于D，E 两点，若直线AB 的斜率为
，直线DE 的斜率为
，试探究
是否为定值．若是，
则求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值，
．
【分析】
【详解】（1）由
可得
又由题意，
，
联立两式，解得
所以椭圆C 的方程为
．
（2）
设
，则
，
，
，
则
，
．
则直线
与椭圆方程
联立，
消去
可得：
，
即
．
显然
,
，
所以
，
．
所以
，同理可得
．
所以
．
所以
．
65．已知椭圆
过点
，左焦点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
相交于
两点，线段
的中点为
，点
在椭圆
上，满足
（
为坐标原点），求证：
的面积为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【分析】
【详解】（1）由题意知：
，解得：
，
，
椭圆
的方程为：
.
（2）
设
，
，
，
由
得：
，
，
，
，
，
，即
；
，
，
在椭圆
上，
，
；
，
原点
到直线
的距离
，
，
的面积为定值，定值为
.
66．已知椭圆
的两个焦点为
，点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若过点
的直线与椭圆
交于
两点，求证：
的内心在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为椭圆两个焦点为
，所以
，则
，
又点
在椭圆
上，所以
，即
，
两式联立，解得
，所以椭圆
的标准方程为
.
（2）由题意可知直线
的斜率存在，且不为0，设直线
的方程为
，
联立
，得
，
则
，得
，
设
，则
，
设直线
的斜率分别为
.
所以
，
因为
，
所以
恒成立，则直线
的倾斜角互补，即
的平分线总垂直于
轴，
所以
的内心在定直线
上.
67．已知动点
到定点
的距离和它到定直线
距离的比是常数
．
(1)求动点
的轨迹
；
(2)已知不过原点的直线与曲线
交于
、
两点，若直线
，直线，直线
的斜率
成等比数
列．
①求直线的斜率
；
②记以
为直径的圆的面积分别为
，试探究
是否为定值，若是，求出此值；若不是，说
明理由．
【答案】(1)曲线
的方程为：
，曲线
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆.
(2)①
；②是，
．
【分析】
【详解】（1）由题意：
.
所以曲线
的方程为：
．
所以曲线
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆.
（2）①设直线方程为
，
，
，
，
如图：
由
得
，
，
所以
，
.
因为
，
，且
成等比数列，
，
，
又
，所以
，解得
．
②
，
，
为定值．
考点13 椭圆的定直线问题
68．已知椭圆C：
（
）的右焦点为
，点
在C 上，直线l 经过F 且与C 交
于
两点（不在x 轴上）.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 的斜率为
，求
；
(3)设
分别为C 的左，右顶点，直线
与
交于点T.证明：点T 在定直线上.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】
【详解】（1）点
在C 上得：
，
右焦点为
得：
，联立解得：
，
所以椭圆方程为
；
（2）直线l 经过F 且斜率为
，则直线方程为
，与椭圆
联立，
消
得：
，
设交点
，则
，
由弦长公式可得：
；
（3）
设直线l 方程为
，与椭圆
联立，
消
得：
，
设交点
，则
，
由
分别为C 的左，右顶点，则
，
所以直线
方程为：
，直线
方程为：
，
两式消
得：
，
整理得：
由
可得：
，
所以有
，
即点T 在定直线
上.
69．动点
与定点
的距离和点
到定直线
的距离的比是常数
，记点
的轨迹为曲
线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)记
的左焦点为
，过点
且不与
轴重合的直线与
交于
两点，证明：直线
关
于直线
对称．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）设点
到定直线
的距离为d，定点
，
则由题
，即
，化简得
，
所以曲线
的方程为
.
（2）
由（1）得
，易知直线的斜率存在且不为0，
设
，
，
由
得
，
由
，得
所以
，则
，
把
，代入
，得
，
把
，
，代入
，得
，不满足
，
所以
，
则
，
所以直线
关于直线
对称.
70．已知椭圆
的长轴长为
，且
.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)椭圆的左、右顶点分别为
，
，经过点
的直线与椭圆
相交于不同的两点
，
（不与点
，
重合）.直线
与直线
相交于点
，求证：
，
，
三点共线.
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析.
【分析】
【详解】（1）已知椭圆长轴长为
，得
，
因为
，所以
，
因此，椭圆方程为
，
由
，得离心率
；
（2）设直线
的方程为
，如下图所示：
联立
，消去
得
，
由韦达定理得
，
直线
的方程为
，令
，得
，
要证
三点共线，只需证
，
因为
，所以需证
，即证
，
将
代入，化简得
，
即
，整理为
，
代入韦达定理结果：左边
，右边
，等式成立，故
三
点共线.
71．如图1，圆C：
，点
，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线和直线CP
相交于点Q.当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为E.
(1)求轨迹E 的方程；
(2)过点C 且与x 轴不重合的直线l 与E 相交于M，N 两点.设点
，记直线BM，BN 的斜率分别为
，
，求
的值；
(3)过点
作直线l 交E 于G，H 两点（G 在上方），设点
，
，若直线GS 与HR 相交
于点T，证明：动点T 在某定直线上.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）连接QA，由已知得
.所以
.
又因为点A 在圆内，所以
，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以C，A 为焦点，2 为长轴长的椭圆
.
（2）由
，
，设直线MN 的方程为
，
，
，
联立方程
得
，
，
由韦达定理得
，
，
则
.
（3）设直线l 的方程为
，
，
，
将椭圆方程与直线方程联立
可得
，
时，
，
，
，
所以
，
∴
：
，
：
，
∴
，整理得
，
所以动点T 在定直线
上.
72．已知椭圆
过点
，且
的右焦点为
.
(1)求
的方程；
(2)设过点
的一条直线与
交于
两点，且与线段
交于点.证明：直线
平分
.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】
【详解】（1）由椭圆
过点
，且
的右焦点为
，
所以
，再由椭圆的几何性质可知
，
代入上式得
，
，
，
解得
或
（舍去），所以
.
所以
的方程为
.
（2）因为椭圆的长轴右端点横坐标为
，且直线与
交于
两点，记点
为
，
所以
的斜率一定存在，设
的方程为
，
.
代入
的方程有：
，
其中
，所以
，
且
.
若直线
平分
，且易知
轴，故只需满足直线
与
的斜率之和为0.
设
的斜率分别为
，如图：
.
即
，所以直线
平分
.
