专题05 等比数列
教学目标
1．理解等比数列的定义与等比中项概念，明确等比数列的核心特征及相关注意事
项。
2．掌握等比数列通项公式及项的关系，能结合公式进行项的求解与推导。
3．熟记等比数列的常用性质，理解其单调性规律，能运用性质解决数列相关问题。
教学重难点
重点：掌握等比数列的定义、通项公式及核心性质，能熟练进行基础计算。
难点：灵活运用等比数列性质解题，结合条件判断并分析数列的单调性。
知识点01 等比数列的概念
1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的______都等于______,那么这个数列叫做等比数
列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母______表示（显然
）.
注意：（1）等比数列中不能有0 项
（2）常数列都是等比数列,但却______等比数列.如常数列是各项都为______的数列,它就不是等比数列;
当常数列各项不为0 时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.
2.等比中项
如果在
与
中间插入一个数
,使
成等比数列,那么
叫做
与
的等比中项,此时,
______
【即学即练】
1．已知各项都不为
的等比数列
满足
，则其公比
.
2．1 和4 的等比中项是（ ）
A．4
B．
C．
D．
知识点02 等比数列的通项公式
（1）已知等比数列
的首项为
,公比为
,则数列
的通项公式为
______
（2）第
项与第
项的关系为
______,变形得
______
（3）由
可知,当
且
时,等比数列
的第
项
是指数函数
当
时的函数值,即
.
【即学即练】
3．在正项等比数列
中，
，
，则公比
为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
4．设
是等比数列，
，
，则
的通项公式
．
知识点03 等比数列的常用性质
（1）如果
,则有
______
（2）如果
,则有
______
（3）若
成等比数列,则
成等______数列.
（4）在等比数列
中,每隔
项
取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
（5）如果
均为等比数列,且公比分别为
,那么数列
仍是等比
数列,且公比分别为______.
（6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,
即
（7）等比数列的单调性
①当
或
时,等比数列为递______数列;
②当
或
时,等比数列为递______数列;
③当
时,等比数列为摆动数列.
【即学即练】
5．等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．1
6．已知
为等比数列，则“
”是“
为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
题型01 等比数列的通项与基本量
【例1】在等比数列
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知
是各项为正数的等比数列，
，且
与
的等差中项为4，则
等于（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【变式1-1】已知等比数列
的前3 项积为8，
，
，则
等于（ ）
A．4
B．
C．16
D．2
【变式1-2】设数列
是公比为
的等比数列，
．若数列
的连续四项构成集合
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【变式1-3】等差数列
中，已知
(1)求数列
的通项公式及前
项和
；
(2)若
分别为等比数列
的第项和第项，且
，求数列
的通项公式．
（1）在等比数列
的五个量
中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；
（2）在解决与前n 项和有关的问题时,首先要对公比
或
进行判断,若两种情况都有可能,则要分类
讨论.
题型02 等比数列的判断与证明
【例3】已知数列
的首项
，且满足
.证明：数列
为等比数列；
【例4】已知数列
满足
，
.
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式.
【变式2-1】已知数列
满足
，
，则下列是等比数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知正项数列
满足：
.证明
是等比数列，并求
通项
；
【变式2-3】已知数列
中，
，
.求证：数列
是等比数列.
一般用定义法判断一个数列
是等比数列：若数列
满足
(
为常数且不为零) 或
为常数且不为零),则数列
是等比数列.
题型03 等比中项及其应用
【例5】在等差数列
中，公差
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
是
与
的等比中项
B．
是
与
的等比中项
C．
是
与
的等比中项
D．
是
与
的等比中项
【例6】已知
是等差数列，
，公差
，
为其前n 项和，若
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．64
B．60
C．56
D．48
【变式3-1】已知一组样本数据1，2，4，4，9，则该组数据的（ ）
A．平均数是30%分位数和极差的等比中项
B．30%分位数是平均数和极差的等比中项
C．平均数是30%分位数和极差的等差中项
D．30%分位数是平均数和极差的等差中项
【变式3-2】已知数列
为等比数列，其中
为方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】设正项数列
是它的前
项之和，对于任意正整数
与2 的等差中项等于
与2 的等
比中项，则该数列的通项公式为 ．
由等比中项的定义可知
,所以只有
同号时,
的等比中项有两个,异
号时,没有等比中项.
题型04 利用等比数列的性质计算
【例7】在等比数列
中，若
，则
（ ）
A．2
B．4
C．16
D．64
【例8】若等比数列
满足
，
，则
．
【变式4-1】已知正项数列
满足
，且
，则
（ ）
A．6
B．42
C．80
D．84
【变式4-2】（多选）已知数列
为等比数列，则（ ）
A．数列
，
，
成等比数列
B．数列
，
，
成等比数列
C．数列
，
，
成等比数列
D．数列
，
，
成等比数列
【变式4-3】已知等比数列
单调递减，各项均为正数，前
项的乘积记为
.则“
”是“
有
唯一的最大值
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
题型05 等比数列的单调性与最值
【例9】若等比数列
的公比为q，则“
”是“
是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例10】（多选）公差为
的等差数列
与公比为
的等比数列
首项相同且为正数，则（ ）
A．若
，则
为递减数列
B．若
，则
为递减数列
C．若
，则
为递增数列
D．若
，则
为递增数列
【变式5-1】（多选）无穷等比数列
的首项为
公比为q，下列条件能使
既有最大值，又有最小值
的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式5-2】公比为q 的等比数列
，其前n 项和为
，前n 项积为
，满足
，则
的单调性为 （填“单调递增”“单调递减”“不单
调”）；当
时，
取得最大值.
【变式5-3】数列
中，
，
（
）
（1）设
，求证：
是等比数列；
（2）设数列
的前
项积为
，求
取得最大值时
的取值．
题型06 等比数列中的对称设元
【例11】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是
16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数的和为（ ）
A．28
B．26
C．24
D．20
【例12】在320 与5 之间插入5 个数，使这7 个数成等比数列，求所插入的5 个数．
【变式6-1】在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于
.
【变式6-2】已知
四个实数成等差数列，
五个实数成等比数列，则
【变式6-3】依次排列的四个数，其和为13，第四个数是第二个数的3 倍，前三个数成等比数列，后三个
数成等差数列，求这四个数.
若三个数成等比数列设为
，推广到一般:奇数个数成等比数列设为:
若四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为
题型07 等比数列中插入数
【例13】已知等比数列
的公比
，满足
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，求
的值．
【例14】已知等比数列
中，
，
．在
与
之间插入
个数，使得这
个数依次构成
一个公差为
的等差数列．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)是否存在三个不同的正整数
，
，
，且
，使得数列
中的三项
，
，
成等比数
列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（多选）已知等比数列
的首项
，公比
，在
中每相邻两项
，
之间插入
个数，使
到
这
个数构成第
个等差数列，则（ ）
A．
B．第
个等差数列的公差为
C．第8 个等差数列的所有项的和为
D．
是第15 个等差数列中的第9 项
【变式7-2】已知数列
满足
，
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)在
与
之间插入
个数，使得这
个数组成公差为
的等差数列，求
.
【变式7-3】已知数列
的前
项和为
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，在
和
之间插入
个数，使得这
个数组成一个公差为
的等差数列，数列
中
是否存在三项
，且
成等差数列）成等比数列，若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由.
题型08 等比数列的实际应用
【例15】生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.
在
这个生物链中，若能使
获得10kJ 的能量，则需
提供的能量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例16】朱载堉（1536 年-1611 年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学
新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平
均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的
前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2 倍．已知第十个单音的频率
，则与第四个单音的频率
最接近的是（ ）
A．494Hz
B．349Hz
C．311Hz
D．277Hz
【变式8-1】某公园有4 条同心圆环步道，其长度构成公比为2 的等比数列，若最长步道与最短步道之差为
，则最长步道为
．
【变式8-2】如图是瑞典数学家科赫在
年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正
三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反
复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4 中
图形依次记1 级、2 级、3 级雪花曲线，则
级雪花曲线的边长为 ，
级雪花曲线的周长为
．
【变式8-3】1979 年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，
向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分．
第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分
完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子来了，它不知
道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了．以后每只
猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理．问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？
一、单选题
1．若
成等比数列，且公比为
，则
的公比为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．
2．已知实数
，a，b，c，
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．
3．已知数列
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知等比数列
满足
，且
，则
（ ）
A．24
B．
或24
C．
D．
或
5．已知等比数列
，则“
”是“数列
为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．设各项为正数的等比数列
中，
，则
取最小值时，
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知正项等比数列
满足
，
，则
取最大值时
的值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．10 或11
8．已知数列
满足
，
，则（ ）
A．
是等差数列
B．
是等差数列
C．
是等比数列
D．
是等比数列
二、多选题
9．已知数列
满足
为常数，则（ ）
A．
是等差数列
B．
是等比数列
C．
，使得
为等差数列
D．
，使得
中存在相邻三项成等比数列
10．已知等差数列
的通项公式是
，则（ ）
A．等差数列
的公差
B．数列
是递减数列
C．-100 是数列
中的某一项
D．数列
一定是等比数列
11．在等比数列
中，
，
，则（ ）
A．
的公比为
B．
的公比为2
C．
D．数列
为递增数列
12．在数列
中，
，
，且
（
），则下列选项正确的是（ ）
A．数列
为等比数列
B．数列
为等比数列
C．数列
为等比数列
D．数列
为等比数列
三、填空题
13．若数列
为等比数列，且
，
是方程
的两个根，则
.
14．已知数列
是等比数列，
依次位于表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又
中任何两个都不在同一列，则
．
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
15．已知等比数列
的公比
，若
，
，设
，记数列
的前
项和
为
，则使得
成立的
最大值为 .
四、解答题
16．已知数列
为等比数列．
(1)若
，且
求
的值；
(2)若
求数列
的通项公式．
17．在数列
中，
，
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
18．设数列
的首项
为常数
，且
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)若
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．
