文档文本内容
专题05 双曲线
考点01 双曲线的定义
考点02 双曲线的标准方程
考点03 双曲线的几何特征
考点04 双曲线焦点、准线和渐近线相关问题
考点05 双曲线中的定点、定值问题
考点06 直线与双曲线的位置关系
考点01 双曲线的定义
1．已知双曲线
的两个焦点分别为
，
，双曲线
上有一点
，若
，则
（ ）
A．2
B．10
C．2 或9
D．2 或10
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义求解.
【详解】
，
，
，
，
由
，由
得
或10，
又
.
所以
.
故选：B.
2．双曲线
与双曲线
有相同的渐近线，双曲线
与椭圆
有相同的焦点，点
为双曲
线
上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为
，
，点
，当点
的位置变化
时，
的周长的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设所求的双曲线
的方程为
，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到
，根据
双曲线的定义可得
，计算
的周长可转化为
，当
，
，
三
点共线时，周长取最小值.
【详解】由题意，可设所求的双曲线
的方程为
，即
.
椭圆
的焦点坐标为
，
，
所以双曲线
的焦点为
，
，所以
，
，
所以双曲线
的方程为
，则
，
，
的周长为
.
当
，
，
三点共线时，
有最小值，最小值
，
故
的周长的最小值为
.
故选：D.
3．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只
可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关
于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直
线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当
时，轨迹为椭圆；当
时，轨迹为抛物线；当
时，轨迹为双曲线.现有方程
表示的曲线是双曲线，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两点间距离和点到直线的距离公式，变形等式，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】由方程
，
，
得
，则
，
即
，可得动点
到定点
和定直线
的距离的比值为常数
.
由双曲线的定义，可得
，解得
.
故选：B
4．双曲线C：
的右支上一点P 在第一象限，
分别为双曲线C 的左、右焦点，M 为
的内心，若内切圆M 的半径为1，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点
的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正
切公式求解.
【详解】双曲线
的实半轴长
，焦点
，
设圆
与
三边
分别相切于点
，
则
，
又
，解得
，
，
则点
，因为
轴，所以由题
，
，
所以直线
的斜率
.
故选：D
5．已知
，双曲线
的左焦点为
是双曲线
的右支上的动点，则
的最大值
是（ ）
A．
B．2
C．3
D．1
【答案】D
【分析】由双曲线的定义得
，由三角不等式得出
，即可求解．
【详解】如图，设双曲线的右焦点为
，连接
，则
，
因为
，
而
，所以
，
当
三点共线且
在
之间时等号成立，故
的最大值是1．
故选：D．
6．与圆
及圆
都内切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上
B．双曲线的左支上
C．双曲线的右支上
D．圆上
【答案】B
【分析】设所求圆的圆心为
，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论.
【详解】圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的标准方程为
，圆心为
，半径为
，
设所求圆的圆心为
，半径为，如图所示，
，
，
所以
，且
，
所以圆心
的轨迹是以
分别为左、右焦点的双曲线的左支．
故选：B.
7．双曲线
，
，
分别为左、右焦点，
是双曲线右支上一点，
，I
是
的内心，
交
轴于
，且
，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据角平分线定理、
、双曲线的定义可得
，再由切线长定理、双曲线的定义得
点为双曲线的右顶点，过点
作
轴于点
，根据相似比可得
，再利用面积得出
，将点
坐标代入双曲线方程中即可.
【详解】设双曲线的半焦距为c，I 是
的内心，连接
，则
平分
，
因
，则
，
由角平分线定理得
，同理可得
，
，
，
，得
，
又
，所以
，
，
，
设
的内切圆
分别切边
，
，
于点D，E，G，
则由切线长定理得
，
，
，
所以
，
又因为
，所以
，
，
即
点为双曲线的右顶点，则
轴，
过点
作
轴于点
，连
，得
，
，所以
，
又因为
，所以
，即
，
所以
，得
，解得离心率
.
故答案为：
.
8．已知双曲线
的上、下焦点分别为
，
是双曲线
的上支上的任意一点
（不在
轴上），
与
轴交于点
，
的内切圆在边
上的切点为
，若
，则双曲线
的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由切线长定理结合双曲线定义可得
，结合条件可得
，由此可得
，再根据
关系结合离心率定义求结论.
【详解】设该内切圆在
，
上的切点分别为
，
由切线长定理可得
，
，
，
又
，
，
所以
，所以
，
所以
，故
，
所以
，
因为
，所以
，
故
，又
，
所以
.
故答案为：
.
考点02 双曲线的标准方程
1．已知A，B 为实数，则“
”是“
为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据双曲线方程的特点分焦点在
轴或
轴两种情况进行讨论分析，可得到正确答案.
【详解】当
表示双曲线时，
均不为0.
若双曲线的焦点在
轴上，则其标准方程为：
，此时，
,所以
,所以
若双曲线的焦点在
轴上，则其标准方程为：
，此时，
,所以
,所以
当
时，若
则
表示焦点在
轴上的双曲线，
若
则
表示焦点在
轴上的双曲线.
所以“
”是“
为双曲线方程”的充要条件．
故选：C.
2．若双曲线
与椭圆
有公共焦点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由椭圆和双曲线的方程及离心率计算公式可得结果.
【详解】由题意得椭圆
的焦点为
和
，
而双曲线和椭圆有公共焦点，则双曲线的焦点也为
和
，
由双曲线方程可得
，解得
，又
，得到
，
则双曲线的离心率为
.
故选：B.
3．已知方程
表示双曲线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果.
【详解】因为方程
表示双曲线，所以
，解得
或
，
故
的取值范围为
．
故选：B.
【点睛】对于方程
，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n
进行讨论．只有
时，方程才表示双曲线，且当
时，焦点在
轴上；当
时，焦点在
轴
上．
4．当
从
到
变化时，方程
不可能表示的曲线是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
【答案】C
【分析】根据
符号, 对角
分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形
状即可.
【详解】当
时,
, 方程
,得
表示与
轴平行的两条直线；
当
时,
, 方程
，
表示圆心在原点的单位圆；
当
时,
, 方程
，
表示中心在原点, 焦点在
轴上的椭圆；
当
时,
, 方程
，
表示焦点在
轴上的双曲线；
当
时,
, 方程
，
表示焦点在
轴上的等轴双曲线.
故选：C
5．已知双曲线
经过点
，离心率为
，则双曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得出
，
，即可求出双曲线
的标准方程.
【详解】因为双曲线
经过点
，所以双曲线
经的焦点在
轴上，
且
，又因为离心率为
，
即
，解得：
，
又因为
，所以双曲线
的标准方程为
.
故选：D.
6．若双曲线
的焦距为6，则
（ ）
A．5
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得.
【详解】若双曲线
的焦点在
轴上，
依题意可得
，解得
；
若双曲线
的焦点在
轴上，
依题意可得
，解得
.
综上可得：
.
故选：D.
7．已知方程
表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据双曲线标准方程的特征列出关于
的不等式，解不等式可得结果.
【详解】∵方程
表示双曲线，
∴
，解得
.
故选：C.
8．焦点在
轴上，焦距为4 且离心率为2 的双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知得，再由离心率和
关系求
，得到双曲线的标准方程.
【详解】 依题意，
，
，解得
，
，
所以
，
故该双曲线方程为
．
故选：A.
9．已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，且
的焦距为
，则
的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据渐近线的倾斜角可得
，即可由焦距以及
的关系列方程求解.
【详解】由条渐近线的倾斜角为
，可知
，故
，
又
和
，
解得
，故双曲线方程为
，
故选：A
10．若椭圆C：
的焦点和顶点分别是双曲线E 的顶点和焦点，则双曲线E 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由椭圆的方程先求出双曲线的焦点和顶点坐标，再结合
即可求解.
【详解】由椭圆
可得
，
，
，且焦点在y 轴上，
可知椭圆的长轴顶点为
，焦点为
，
所以双曲线的焦点为
，顶点为
，
设双曲线方程为
，可得
，
，则
，
所以双曲线
的方程为
.
故选：A.
11．双曲线
的离心率为
，则
．
【答案】4 或
【分析】将双曲线方程化为标准形式，再按焦点的位置分类讨论计算即可.
【详解】由
表示双曲线可得
，
且
，
① 当
时，设双曲线焦点在
轴上，方程为
，且半焦距为，
则
，则
，解得：
；
② 当
时，双曲线的焦点在
轴上，方程为
，
则
，解得：
.
故答案为：4 或
.
12．已知曲线
表示双曲线，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.
【详解】又题意可知，
，解得
，
故
的取值范围是
．
故答案为：
13．已知椭圆
和双曲线
的焦点相同，则
.
【答案】
【分析】根据双曲线方程可得
，且焦点在x 轴上，再结合椭圆方程列式求解即可.
【详解】对于双曲线
，可知其半焦距
，且焦点在x 轴上，
对于椭圆可得
，且
，解得
.
故答案为：
.
考点03 双曲线的几何特征
1．设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用坐标计算
，再利用
进行消元，解关于
的不等式.
【详解】点
在
上，则
，且
或
，
因
，则
，
，
则
，
解得
，故
或
.
故选：B
2．设双曲线
的右焦点为
，
上一点
到
轴的距离为
，则点
的横坐标为（ ）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【答案】D
【分析】利用双曲线方程求得右焦点坐标，设
，结合已知可得
，求解即可.
【详解】由双曲线
，可得
，则
，其右焦点为
，
设
，因为
上一点
到
轴的距离为
，
所以
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
，所以
，解得
或
，
又
或
，所以
，即点
的横坐标为
.
故选：D.
3．已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．96
B．81
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，将P 化为双曲线
上任意一点；将M 化为圆C：
上任意一点，则
，根据圆的性质可知
，再利
用二次函数性质即可求出
最小值，从而得到答案.
【详解】设
，则P 为双曲线
上任意一点，
M 为圆C：
上任意一点，
，
根据圆的性质可知
，
，
又
，
所以
，
又
或
，所以根据二次函数性质可知，当
时，
，
所以
，
所以
.
故选：D.
4．已知
分别是双曲线
的左、右顶点，
是双曲线
上的一动点，直线
，直线
与
分别交于
两点，记
，
的外接圆面积分别为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意，结合斜率公式得到
，设出直线
和
的方程，求出
两点的坐标，得
到
的表达式，设
，
的外接圆的半径分别为
，结合正弦定理以及基本不等式再进行求
解即可．
【详解】易知
，由双曲线的对称性，
不妨设
在第一象限，此时
，
，
所以
，
不妨设直线
的方程为
，
，令
，解得
，
不妨设直线
的方程为
，令
，解得
，
所以
，
，
不妨设
，
的外接圆的半径分别为
，
由正弦定理得
，
，
所以
，当且仅当
，
时，等号成立，
所以
．
故选：D．
5．若双曲线
的离心率为2，虚轴长为
，则
的实轴长为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】C
【分析】由题知离心率
，虚轴长
，根据双曲线的性质
，结合
推出
，
从而得出双曲线实轴长
.
【详解】已知离心率
，虚轴长为
，
所以
，
.
由双曲线的性质可知，
，
则
，解得
，
因为
，所以
，
所以双曲线实轴长为
.
故选：C
6．已知双曲线C：
的左、右顶点分别为A，B，点P 在C 上且在第一象限内，设直线AP 与BP 的
斜率分别为
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】先通过题干求出
和
两点的坐标，再设出点
的坐标，写出两条直线的斜率，最后利用均值不
等式即可求出.
【详解】由题意，
双曲线C：
的左、右顶点分别为A，B，
，
，
设
，则直线
的斜率
；直线
的斜率
，
，
又因为点P 在C 上，
，即
，
，又P 在第一象限，
，
，
，当且仅当
，即
，
时，等号成立，
的最小值为2.
故选：
.
7．点
到直线：
和
：
的距离之积为4，记
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．
是两条互相垂直的直线
B．
是焦点在
轴上的双曲线
C．
是两条离心率均为
的双曲线
D．
上的点与原点之间的距离不小于
【答案】D
【分析】设点
的坐标，按题干条件写出等量关系，得到点
的轨迹方程，逐个分析选项即可.
【详解】设点
，由题干条件和点到直线的距离公式得
，即
，
去绝对值得点
的轨迹为
和
，
这两个方程分别表示焦点在
轴和
轴的双曲线，且离心率分别为
和
，故A、B、C 均错误，
因为双曲线上的点到原点的距离不小于双曲线上最靠近原点的顶点到原点的距离，
两个方程最靠近原点的顶点坐标分别为
和
，
所以
上的点与原点之间的距离不小于
，故D 正确，
故选：D．
8．已知双曲线C：
的左、右顶点分别为
，
，点P 在C 上，且
，则P 到x 轴的距
离为 ．
【答案】3
【分析】根据双曲线C 的
，得左、右顶点
、
的坐标，设点P 的坐标，列方程组求解即可.
【详解】由双曲线C 的方程：
，得
，所以
.
设点
，则
，化简得：
，
即
，解得：
（增根已舍去），所以
.
所以P 到x 轴的距离为
.
故答案为：.
9．与双曲线
有公共渐近线，且过点
的双曲线的实轴长为 ．
【答案】2
【分析】设所求双曲线方程为
，将点
代入即可求解.
【详解】设所求双曲线方程为
，
将点
代入双曲线方程得
，
故双曲线方程为
，则双曲线的实轴长为2．
故答案为：2.
10．若方程
表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ．
【答案】
【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚轴长.
【详解】显然
，将
化为
，
若该方程表示双曲线，则
，
且双曲线的标准方程为
，
即
，虚轴长
.
故答案为：
.
11．已知反比例函数
的图象是双曲线，则这个双曲线的实轴长为 .
【答案】
【分析】求出对称轴与双曲线交点得到顶点坐标从而得到实轴长.
【详解】函数
图象的对称轴是直线
，对称轴与双曲线
的交点坐标满足条件
，可解得
，
因此两交点坐标分别为
，这就是双曲线的两个顶点
的坐标.
两顶点的距离
，
因此实轴长
.
故答案为：
12．已知
是双曲线
上的点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】法1，变形给定方程，令
并用表示
，再利用基本不等式求出最小值；法2，令
，与双曲线方程联立，利用方程组有解，借助判别式列式求解.
【详解】解法1：由
，得
，
令
，则
，
，
，
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
．
解法2：设
，依题意，方程组
有实数解，
即关于
的一元二次方程
有实根，
因此
，解得
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
13．已知双曲线
，点
、
是右支上任意两点，且
，则
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】设
，则
，数形结合分析得
，即可得.
【详解】设
，则
，则
或
为锐角，如下图，
设点
为双曲线的渐近线
在第一象限内的一点，
设点
为双曲线的渐近线
在第四象限内的一点，
由题意知，
，则
，解得
.
故答案为：
14．已知曲线
：
，
为
上一点，
①
的取值范围为
；
②
的取值范围为
；
③不存在点
，使得
；
④
的取值范围为
.
则上述命题正确的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】分段化简方程画出图形，数形结合得到判断①；数形结合，结合椭圆性质判断②；由双曲线渐近
线性质及图形判断③；利用
的几何意义，结合三角换元得到求出取值范围判断④.
【详解】曲线
化为
，
画出图形如下，其中直线
为曲线
对应双曲线的渐近线，
对于①，当
时，
，①错误；
对于②，当
时，
；当
时，
，
当
时，
，因此
的取值范围为
，②正确；
对于③，直线
与直线
平行且在该直线左侧，曲线
在直线
的右侧，
因此直线
与曲线
无公共点，不存在点
，使得
，③正确；
对于④，
表示点
到直线
的距离的
倍，
又直线
与直线
平行且在该直线左侧，且距离为
，
于是
，随着
的增大，
值无限接近于
，
当
在
上时，该点到直线
的距离可取得最大值，
设
，则
到直线
的距离为
，当且仅当
时取等号，
所以
的取值范围为
，④正确.
故答案为：②③④
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和
意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先
建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
考点04 双曲线焦点、准线和渐近线相关问题
1．抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的右焦点，利用抛物线焦点与
的关系求解即可.
【详解】对于双曲线：因为
，所以
，所以
．
所以双曲线的右焦点的坐标为
．
对于抛物线
，因为焦点为
，即
，可得
．
所以其准线方程为
．
故选：D．
2．若实数k 满足
，则双曲线
与
的（ ）
A．焦距相等
B．实轴长相等
C．虚轴长相等
D．离心率相等
【答案】A
【分析】由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断．
【详解】由于
，
，因此两双曲线的焦距相等，A 正
确，
实轴长前者为10，后者为
，虚轴长前者为
，后者为6，均无法相等，
离心率前者为
，后者为
，也不相等，BCD 错误，
故选：A．
3．记
为双曲线
的右焦点，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据焦点坐标即可求解
，进而根据渐近线方程求解.
【详解】由于
为双曲线
的右焦点，故
，所以
，
故渐近线方程为
，
故选：B
4．已知双曲线C：
的渐近线方程为
，点
在C 上，则C 的焦距为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线方程得
，再把点
代入双曲线方程求出
的值，最后根据双曲线的性
质求出焦距.
【详解】双曲线C：
的渐近线方程为
，则有
，即
，
双曲线方程可表示为
，
点
在C 上，有
，解得
，即
，得
，
双曲线中为半焦距，则有
，得
，
所以双曲线C 的焦距为
.
故选：D
5．已知双曲线
：
的右焦点为
，过点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出渐近线方程及右焦点坐标，再利用点到直线距离公式求解.
【详解】双曲线
：
的右焦点为
，渐近线方程为
，
所以
.
故选：A
6．抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则抛物线准线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求
的值，再根据抛物线方程求其准线方程.
【详解】对于双曲线：因为
，
，所以
，所以
.
所以双曲线的右焦点坐标为：
.
对于抛物线
，因为焦点为
，即
.
所以其准线方程为：
.
故选：B
7．已知双曲线
与椭圆
焦点相同，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的焦点坐标为
C．双曲线的离心率
D．双曲线的实轴长为1
【答案】A
【分析】根据焦点相同求出双曲线方程为
，逐项分析即可判断.
【详解】椭圆
半焦距
，则
，解得
，双曲线方程为
，
对于A，双曲线的渐近线方程为
，A 正确；
对于B，双曲线的焦点坐标为
，B 错误；
对于C，双曲线的离心率
，C 错误；
对于D，双曲线的实轴长为2，D 错误.
故选：A
8．已知双曲线
左、右顶点分别为
．若直线
与两条渐近线分
别交于
，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】将双曲线渐近线分别与直线
联立，求得
两点的横坐标，结合
可得
，
运算得解.
【详解】因为渐近线方程
，所以
，解得
，同理
，
由
，则
，即
，整理得
，
所以离心率
.
故选：D.
9．已知双曲线
的右焦点为
，若圆
上存在点
使
得
的中点在
的渐近线上，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
为圆
上一点，得到
的中点
，求得
，结合直线
与圆
有公共点，得到
，求得
，进而求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】因为双曲线
的右焦点为
，则
，即
，
且双曲线
的渐近线方程为
，
设
为圆
上一点，且圆心为
，半径
，
则
的中点
在其渐近线上，可得
，
即
，所以点
在直线
上，
因为圆心
到直线的距离为
，
因为圆
上存在点
满足条件，所以直线
与圆
有公共点，
所以
，即
，可得
，可得
，所以
，
又因为双曲线的离心率
，所以
，
所以双曲线
的离心率的取值范围为
.
故选：B.
10．已知双曲线C：
的一条渐近线方程为
，过C 的左焦点F 的直线与C 的右支交于
点G，且与
：
相切于点E，若M 为FG 中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由双曲线的渐近线得双曲线的基本量，再由双曲线的定义及三角形的中位线定理及圆的切线性
质即可得出.
【详解】由双曲线C：
的一条渐近线方程为
，得
，
则
.
如图，
设C 的右焦点为
，由双曲线的定义得
，
由M 为FG 的中点，知
，
，则
①，
又
，
，
，所以
，由图知M 在线段EF 上，故
②，
②－①得
，又
，所以
．
故选：B.
11．已知双曲线
的方程是
，那么
的焦距
．
【答案】
【分析】根据
两侧的几何意义及双曲线第二定义可得双曲线
的离心率
，再由
到
的距离
且
求半焦距，即可得.
【详解】由
表示动点
到点
的距离，
而
表示动点
到直线
距离的
倍，
所以
等价于点
到点
距离是到直线
距离的
倍，
由双曲线第二定义，离心率为焦点、准线到双曲线上点距离之比，
其中
、
分别为题设双曲线的焦点、准线，
所以双曲线
的离心率
，而
到
的距离
，
由
，可得
，即双曲线焦距为
.
故答案为：
12．以双曲线
的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .
【答案】
【分析】由已知可得右焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得圆的半径，根据圆的标准方程
即可求解.
【详解】双曲线
的右焦点为
，渐近线方程为
，即
，
所以点
到直线
的距离为
，
所以圆心为
，半径为的圆的方程为
.
故答案为：
.
13．在棱长为2 的正方体
中，
为平面
内一动点，
与
所成的角为
，则动
点
所在曲线的焦距为 .
【答案】8
【分析】建立空间直角坐标利用空间向量由两直线夹角得出动点
的坐标满足的关系式，求出轨迹方程即
可得出结果.
【详解】根据题意以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，如下图
所示；
易知
，则
设
，则
，
由
与
所成的角为
可得
；
整理可得
，即
；
因此可知动点
所在曲线为双曲线，且
;
所以其焦距为
.
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间向量根据夹角的大小得出动点坐标满足的轨迹方程，求出焦
距.
14．若双曲线
与双曲线
的焦距相等，则
的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据焦距相等可以求得
，从而求得离心率.
【详解】由题意得
，所以
，
即双曲线
，
所以
，所以离心率为
.
故答案为：2.
15．已知椭圆
与双曲线
有公共焦点
，
，P 是它们的一个公共点，则
.
【答案】1
【分析】根据曲线共焦点，求得参数a.联立两曲线，求得交点P 的坐标，由面积公式
求
得面积.
【详解】由题
，则点
满足
解得
，则
.
故答案为：1
考点05 双曲线中的定点、定值问题
1．已知
为双曲线
上一点，
分别为其左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最大值
B．
的内心
到
轴的距离为1
C．若
为双曲线的右顶点，则点
到一条渐近线的距离为
D．点
到双曲线
的两条渐近线的距离之积为定值
【答案】ABD
【分析】根据双曲线方程画出双曲线简图，结合双曲线定义，依次判断各选项.要注意双曲线上的点到焦点
距离的最小值.
【详解】解：由双曲线方程可知
，
，
．
A 选项：由双曲线的对称性，不妨设点P 是双曲线C 右支上一点，由双曲线的定义知：
，
所以
，
令
，则
，
所以
，因为
在
上单调递增，所以
.
所以
，此时
，即
有最大值
.所以A 选项正确.
B 选项：设
在右支上，
的内切圆半径为.由双曲线方程知：
，
设三角形内切圆与三边的切点分别为
，如图，
由几何关系可得
，
，
，
所以
，又
，
所以
，
，所以
,即点
在双曲线右支上时，焦点三角形内切圆与
轴切于右顶点.
又因为
轴，所以
到
轴的距离为1,所以B 选项正确.
C 选项：两条渐近线的方程分别为：
，
，
所以右顶点
到两条渐近线的距离均为
，所以C 选项错误.
D 选项：两条渐近线方程分别为：
，
，
设
，则点
到渐近线
的距离
，
点
到渐近线
的距离
，
所以
，
因为点
在双曲线上，所以
即：
.所以
.
即点
到双曲线
的两条渐近线的距离之积为定值
．所以D 选项正确.
故选：ABD.
2．图1 是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线
（其中
为正数）的一部分（图2）．若
是曲线
上的一点，且
，
过点P 的两条互相垂直的直线与曲线
的另外两个交点分别为
，其中一条直线的斜率为1．若
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】C
【分析】由
整理可得
，所以曲线
可由双曲线
和双曲线
组成，分别将过
点斜率为和
的直线与双曲线方程联立，解出
点坐标，再根据两点的
距离公式求解即可.
【详解】由
整理可得
，所以
，
所以曲线
可由双曲线
和双曲线
组成，且这两个双曲线的渐近线斜率均为
，
因为
是曲线
上的一点，且
，所以点
在第一或第三象限，
根据对称性，不妨设点
在双曲线
上，且在第一象限，此时
，
因为过点P 的两条互相垂直的直线与曲线
的另外两个交点分别为
，其中一条直线的斜率为1，
所以另一条直线的斜率为
，点
在双曲线
上，不妨令
，
，
过点
斜率为
的直线方程为
，
与
联立得
，解得
，
将
代入
整理得
，所以
，即
，
过点
斜率为的直线方程为
，
与
联立得
，解得
，
将
代入
整理得
，所以
，即
，
所以
，
解得
，
所以
，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将曲线
转换成熟悉的双曲线方程，再根据
点
坐标和斜率设出直线方程与双曲线方程联立，解出
坐标，进而即可求解.
3．已知双曲线
的虚轴长为
为
上一点，过点
向
的两条渐近线作垂线，
垂足分别为
，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先得到
和渐近线方程，并设点
，则
，由点到直线距离公式得到
方程，求出
，得到双曲线方程.
【详解】由题意得
，解得
，
双曲线渐近线方程为
，即
，
设点
，则
，即
，
则
到两渐近线方程的距离分别为
，
所以
，
解得
，
故双曲线方程为
.
故选：A
4．过原点O 的直线与双曲线
：
交于A，B 两点，D 为
的右顶点，若
的渐近
线方程为
，则直线
与直线
的斜率之积为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．9
【答案】C
【分析】利用题给渐近线方程得出
，设点
，根据双曲线的性质结合直线过原点得出点
坐标，
由双曲线性质得出右顶点坐标，从而列出斜率之积表达式，结合双曲线方程化简得出
，从而
得出答案.
【详解】因为双曲线C 的渐近线方程为
，所以
，
设点
，因为直线过原点，则
，
又因为双曲线的右顶点为
，
则
①，
又因为
在双曲线上，则
，所以
②，
②代入①化简可得
.
故选：C.
5．已知抛物线
的准线与对称轴的交点为
，过点
的直线与抛物线相交于不同的两点A，B，直
线
经过抛物线的焦点
与抛物线相交于D，E 两点，且
．则
的值为 ．
【答案】1
【分析】设
，
，的方程为
，直线
的方程为
，
联立抛物线并应用韦达定理和两点距离公式求
、
，即可得.
【详解】由题意
，设
，
，易知直线
的斜率存在且
不为0，
设直线的方程为
，与抛物线方程联立后消去
，
整理得
，则
，
所以
，
设直线
的方程为
，与抛物线方程联立后消去
，
整理得
，则
，
，
所以
，
所以
．
故答案为：1
6．若双曲线
的左、右顶点分别为点
是双曲线在第一象限内的点．若直线
的倾斜角分别为
，且
，那么
的值是 ．
【答案】
【分析】设
，得
，由三角函数的恒等变换得
，再由
，即可求解．
【详解】依题意得，
，设
，则
，
由
，得
．
即
，从而
，
因为点
是双曲线在第一象限内的点，则
得
，
由
，
得
，得
，
故答案为：
．
7．已知双曲线
的左、右顶点分别为
、
，
为双曲线右支上一点，且位于第一象限，
直线
、
的斜率分别为
、
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据斜率定义得
，
，然后根据对勾函数性质即可求解.
【详解】双曲线
的左右顶点分别为
设
，则
，
因为
为双曲线右支上一点，且位于第一象限，
所以
，即
，解得
，
所以由对勾函数性质可知，
的取值范围是
.
故答案为：
.
8．已知
为坐标原点，
，
分别是双曲线
的左、右顶点，
是双曲线
上不同于
，
的动点，直线
，
分别与
轴交于点
，
，则
．
【答案】9
【分析】方法1：设动点
，求出直线
与
的方程，得到点
的坐标，结合
在
双曲线上，即可计算得
的值；
方法2：设
，
，
．由
，
得到
，结合
在双
曲线上，求得
，即可求得
的值.
【详解】解法1：设动点
，由双曲线方程可得
，
，
则
，
，
所以直线
，直线
，
由此可得
，
，
所以
．
因为动点
在双曲线
上，
所以
，即
，
则
．
解法2：由双曲线方程可得
，
，
设
，
，
．
由
，
，
三点共线可得
，即
①，
由
，
，
三点共线可得
，即
②．
将①②相乘可得
③，
又
④，
由③④可得
，
所以
．
9．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，且
．过
的直线与
交于
两点．
(1)求
的方程；
(2)若
均在
的右支上，且
的周长为
，求的方程；
(3)是否存在
轴上的定点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点
，使得
为定值.
【分析】（1）根据双曲线中
的意义和关系，可求
的值，得到双曲线的方程.
（2）先根据双曲线的定义，求出弦
的长度；设直线：
，与双曲线方程联立，利用弦长公
式，可求的值，即得直线方程.
（3）假设存在
轴上的定点
，使得
为定值.结合（2）中的结论，根据
为定值，
可求
的值.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，所以
.
所以双曲线
的方程为：
.
（2）因为
均在
的右支上，且
的周长为
，
所以
.
如图：
因为
，设直线：
，代入
得：
，
整理得：
.
设
，
，
因为
均在
的右支上，所以
，且
，所以
，
.
所以
.
所以
.
所以
.
所以直线的方程为：
，即
.
（3）假设存在
轴上的定点
，使得
为定值.
因为
，
，
所以
.
因为
为常数，所以
.
此时
.
所以存在点
，使得
为定值.
10．已知
为双曲线
的左、右焦点，点
在双曲线上，过
的直线
交
的右支于
两点，且
．
(1)求
的方程；
(2)点
关于
轴对称点为
（异于点
），直线
交
轴于点
，记
，
的面积分别为
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的定义可得
，再根据双曲线经过点
可求得
，可得双曲线的方程.
（2）先确定
为定点，再根据
可求解.
【详解】（1）因为
，根据双曲线的定义可得
.
又双曲线过点
，所以
.
所以双曲线
的方程为：
.
（2）如图：
因为
，所以
，
.
因为
、
关于
轴对称，且
与
不同，所以直线
必存在斜率,
可设直线
：
，代入
得：
，
整理得：
.
设
，
，则
，因为
均在双曲线右支，
由韦达定理可得
，
，所以
.
直线
方程为：
，
令
得
.
所以
为定点，坐标为
.
所以
.
11．已知双曲线
的离心率为
，且经过点
.
(1)求
的方程；
(2)已知
，若垂直于
轴的直线与
相交于
两点，直线
和
的另外一个交点为C．
（i）求证：直线
过定点
；
（ii）过点
作直线l 交
的右支于
两点，求
的面积的最小值.
【答案】(1)
；
(2)（i）证明见解析；（ii）
.
【分析】（1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解，
（2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求解，（ii）根据
弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解.
【详解】（1）因为双曲线
的离心率为
，
所以
，所以
，
所以
的方程为
，代入点
，解得
，
所以
的方程为
；
（2）（i）方法一：设
，则
，
因为
三点共线，所以
.
当
轴时，
三点不共线，所以
斜率不为0，
设
的方程为
.
联立双曲线
，得
，
所以
，
又
，所以
，
即
，
，化简得
.
显然，
，所以
，直线
恒经过定点
.
方法二：设
，则
，直线
，
联立双曲线
，
得
，
，
且
，
由
，则直线
，
整理得
，
又
，
，显然直线
过定点
，得证；
（ii）由直线过点
，与双曲线右支交于
，故斜率必不为0，
可设
，联立双曲线
，
整理得
，
则
.
与
的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为
，所以
，
.
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递减，
则
，此时
，即
，
的面积的最小值为
.
考点06 直线与双曲线的位置关系
1．已知双曲线
的左、右顶点分别为点
，
，点
在双曲线的右支上且异于点
.若直线
的斜率的取值范围是
，则直线
的斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由双曲线方程可得
，
，设
，代入双曲线方程可得
.结合斜率
公式、不等式的性质及题干条件即可求解.
【详解】由双曲线方程
可得
，
，设
，
则
，即
.
所以
，所以
.
又
，所以
.
故选：A.
2．已知双曲线
的离心率
，
是双曲线上关于原点对称的两点，点
是双曲
线上异于
的动点，直线
的斜率分别为
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一，由双曲线的第三定义
可求；方法二，由离心率得
，再由点差法和斜
率公式可求.
【详解】方法一， 由双曲线的性质可得
，且
，
．
方法二， 由题易知
解得
，
双曲线的方程为
．
由题知
关于坐标原点对称，设
，
，
，
由
得
．
直线
的斜率分别为
，且
，
，
，
，
．
3．已知
是双曲线
的右焦点，过点
的直线交
的右支于不同的两点
，过点
且垂直
于直线
的直线交
轴于点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，分析
的取值范围，利用焦半径公式和三角形的边角关系，把
用
表
示出来，结合换元法和函数的单调性，求
的取值范围.
【详解】如图：
设双曲线的左焦点为
，
，
在
中，由余弦定理得
，
化简得
，
同理
，
所以
.
在
中，有
，
所以
.
因为
，
都在双曲线的右支上，且双曲线的渐进线方程为：
，
所以直线
的斜率的取值范围为：
.
即
或
，
又
，所以
.
令
，则的取值范围为
.
所以
.
因为
在
上单调递增，且
，
，
所以
.
故选：D
4．双曲线
的左、右焦点分别是
过
向双曲线的一条渐近线作垂线.垂足为
若
的面积为16，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】由点斜式得到垂线方程，再结合渐近线方程联立解得
的坐标，表示出三角形面积，然后由离心
率的齐次式可得.
【详解】取渐近线方程为
，由题意可得
，
所以垂线方程为
，
联立两方程解得
，即
的坐标，
因为
的面积为16，所以
，又
，
所以
，
，
所以离心率
.
故选：A
5．已知倾斜角为
的直线经过坐标原点，且与双曲线
分别交于
，
两点（其中点
位于
第一象限），过
作
轴于点
，若
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，联立
消元，求出
及
点到直线的距离，进
而得到
面积与
的函数关系,利用函数的单调性即可得
面积的取值范围.
【详解】由题意设
，
联立
消去
得，
，所以
，
又
，所以
，
设
，则
，
，
由
，得
，所以
设
到的距离为
，所以
，
所以
的面积
．
故选：D.
6．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
．
是双曲线右支上一点，且直线
的
斜率为3，
是面积为6 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用斜率得直角
中三边的比例，设
，由面积公式求出
，由勾股定理得出，结
合第一定义再求出
.
【详解】如下图：由题意，点
必落在第四象限，
，设
，
，由
，求得
，
因为
，所以
，求得
，
所以
，则
，由正弦定理可得：
，
则由
，得
，
由
，解得
，
则
，则
.
由双曲线第一定义可得：
，则
，
所以双曲线的方程为
.
故选：B.
7．已知双曲线
的一条渐近线为
，过双曲线
的右焦点
作
轴的垂线，
交双曲线
于
两点，则弦
的长度为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】A
【分析】根据双曲线渐近线方程求出
可得双曲线C 的右焦点为
，则可求出
的坐标，从而
可得答案.
【详解】由渐近线方程
化简得
，即
，
同时平方得
，
又双曲线中
，故
，解得
或
（舍去），
所以双曲线
，
所以双曲线C 的右焦点为
，
右焦点
作
轴的垂线，交双曲线
于
两点，
则
，
故弦
的长度为
.
故选：A.
8．若
是双曲线
的渐近线上任意一点，下列正确的是（ ）．
A．存在过点
的直线与该双曲线相切
B．不存在过点
的直线与该双曲线相切
C．至多存在一条过点
的直线与该双曲线相切
D．至多存在一条过点
的直线与该双曲线只有一个交点
【答案】C
【分析】根据题意设切线方程
，得到相切的条件
，根据条件分析
时，点
，此时不存在与双曲线相切的直线，
时，根据切线过渐近线上的点确定切线的唯一性
即可判断ABC，与渐近线平行或与双曲线相切的直线与双曲线都是只有一个交点即可判断D.
【详解】由题易知切线斜率不为零，也不与渐近线平行（平行时只有一个交点，但不相切），
则设切线方程为
，
则
，
，
所以
，
当
时，
，解得
与题设矛盾，
即当点
时，过点
的直线不存在与双曲线相切，
当
时，
，
又切线过渐近线上的点，由对称性，不妨设点
，
则
，解得
，
所以
，
又
，所以
，
则
，
所以每一个点
，
的值只有一个，
所以至多存在一条过点
的直线与该双曲线相切，故C 正确，B 错误；
对于D，易知当点
不在原点时，与另一条渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点，
与双曲线相切时也与双曲线只有一个交点，故D 错误；
故选：C.
9．在平面直角坐标系
中，已知点
，
，动点
满足
，记点
的轨迹
为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与曲线
交于
，
两点，与曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点，证明：“
，
为线段
的三等分点”的充要条件是“
，
两点的横坐标之积为
”.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的定义求
的方程；
（2）把直线方程分别与曲线
的方程和曲线
的渐近线方程联立，利用韦达定理可得
与
的中点重
合，
，
为线段
的三等分点等价于
，结合弦长公式证明结论.
【详解】（1）因为
，所以轨迹
是以
，
分别为左、右焦点的双曲线.
设
的方程为
.
由
，可得
，所以
，
所以
的方程为
.
（2）证明：设
，
，
，
的坐标分别为
，
，
，
.
由
消去
得
.
因为直线与双曲线
相交，所以
，化简得
，
所以
，
.
由
消去
得
，
所以
，
，
所以
，则
与
的中点重合，
所以
，
为线段
的三等分点等价于
.
又
，
同理可得
，
所以
，即
，所以
，
显然当
时，
.
故“
，
为线段
的三等分点”的充要条件是“
，
两点的横坐标之积为
”.
10．已知
是双曲线
上一动点，
为坐标原点.设双曲线
在点
处的切线和两
条渐近线的交点分别为
.
(1)设
到两条渐近线的距离分别为
，求
的值；
(2)证明：
；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设
，再借助点到直线距离公式计算即可得；
（2）先推导过双曲线上的一点的切线方程，将其与两条渐近线方程联立计算可得
、
两点坐标，推理
得到点
为
中点，即可证得；
（3）借助向量数量积坐标公式计算即可.
【详解】（1）设
，则有
，即
，
双曲线的两条渐近线的方程为
，则
，
故
；
（2）设
，先证明：双曲线在
处的切线方程为
.
证明：由
两边对
求导：
，即
，
于是过点
的切线斜率为：
，则切线方程为：
（*），
因
在双曲线上，则有
，
故（*）可化成：
，即得证.
记
,
将
代入
，解得
，
，
将
代入
，解得
，
则有
，
，
即点
为
中点，故
；
（3）设
，则
，
又
，
故
.
11．已知双曲线
的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线过双曲线
的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于
，
两点，证明：直线与圆
相切的充要条件是
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据实轴长和焦点到渐近线的距离可求方程；
（2）先联立方程得出
的表达式，结合充要条件的定义进行证明即可.
【详解】（1）该双曲线的渐近线为
，即
，设焦点为
，
由题意可得方程组
解得
则双曲线
的方程为
.
（2）由双曲线的对称性，可设直线的方程为
，且
.
联立直线与双曲线方程，即
可得
，
则
，
.
从而
.
必要性：由直线与圆相切，可得圆心
到直线的距离
，则
，
故
；
充分性：由
，即
，解得
，
则直线的方程为
，即
.
所以圆心
到直线的距离
，则直线与圆
相切,
所以直线与圆
相切的充要条件是
.
12．已知双曲线
与双曲线
的渐近线相同，且经过点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若斜率为
的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于
、
两点，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意可设
：
，再代点即可得到双曲线
的方程；
（2）设
，联立可得
，再通过计算
即可证明垂直.
【详解】（1）因为双曲线
与双曲线
的渐近线相同，
所以可设
：
，又双曲线
过
，
所以
，则
，即
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）证明：设
，
又
，所以左焦点
，则
，
，
，
，
则
，
所以
.
13．在平面直角坐标系
中，给定三点
，
，
，点
到直线
的距离是该点到直
线
距离的等比中项．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)若直线
经过
的内心（设为
），且与
点的轨迹恰好有3 个公共点，求
的斜率
的取值范围．
【答案】(1)圆
与双曲线
(2)
【分析】（1）由题意得
，化简即可得解；
（2）由题意设
的方程为
，联立点
的轨迹方程，对
分类讨论即可求解.
【详解】（1）直线
、
、
的方程依次为
，
，
．
点
到
、
、
的距离依次为
，
，
．
依设，
，得
，
即
，或
，
化简得点
的轨迹方程为圆
与双曲线
．
（2）由前知，点
的轨迹包含两部分
圆
①
与双曲线
．②
因为
，所以
和
不在点
的轨迹上．
的内心
也是适合题设条件的点，由
，解得
，且知它在圆上．
直线
经过
，且与点
的轨迹有3 个公共点，所以直线
的斜率存在，
设直线
的方程为
．③
（ⅰ）当
时，
与圆相切，有唯一的公共点
，此时，直线
平行于
轴，
表明
与双曲线有不同于
的两个公共点，所以
恰好与点
的轨迹有3 个公共点.
（ⅱ）当
时，
与圆有两个不同的交点，这时，
与点
的轨迹恰有3 个公共点只能有两种情况：
情况1：直线
经过点
或点
，此时
的斜率
，直线
的方程为
，
故当
时，直线
与点
的轨迹没有3 个公共点；
情况2：直线
不经过点
和
（即
），因为
与有两个不同的交点，
所以
与双曲线
有且只有一个公共点，
即方程组
有且只有一组实数解，
消去
并化简得
，
该方程有唯一实数解的充要条件是
④或
．⑤
解方程④得
，解方程⑤得
．
综合得直线
的斜率
的取值范围是有限集
．
14．已知双曲线
的右顶点为
，过点
且与
轴垂直的直线交双曲线
的一条渐近线于点
，
过点
作直线与双曲线
交于
两点，直线
分别交直线
于
两点，求
的取
值范围．
【答案】
【分析】本题需要分析双曲线上的几何关系，通过代数运算结合参数分析，逐步求解表达式的取值范围,主
要分为以下步骤:确定关键点坐标，求直线与双曲线交点，分析直线
与
的交点，最后构建目标
表达式并分析其范围.
【详解】解：由题知，直线
不经过点
，故可设直线
方程为
，
如图，设
，易知
，因为直线
过点
，所以
，
设
，将双曲线方程变形为
，
[难点突破]在不进行坐标平移时，为减少计算量，在构建齐次式时需要对曲线方程进行变形，若直线方程
为
，需要将双曲线方程变形为
．
即
，又
，
所以
，
[难点突破]运用常规方法解题运算量大，又题干条件与斜率有关，故采用齐次化处理，再结合
的表
达式，故两边同时除以
构造关于斜罊的等式关系．
所以
是方程的两个不等根，所以
又直线
不与渐近线平行，所以
，所以
，
直线
与
联立得点
，同理得点
，
所以
，
，
所以
，
①当
时，
，所以
，
②当
时，
，
，
综上，
的取值范围为
．
15．如图，已知椭圆
的离心率为
，该椭圆的左右焦点
恰好是双曲线
的左右顶点，
是双曲线
上异于顶点的任意一点，直线
和
与椭圆
的交点分别是
和
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线
的斜率分别是
，求证:
；
(3)是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求
的值；若不存在， 请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）设椭圆的焦距为
，根据题意，得到
，由离心率
，得到
，进而求
得椭圆
的方程；
（2）设点
，可得
，结合
，即可求解；
（3）设直线
的方程为
，则直线
方程为
，联立方程组，结合弦长公式，
求得
和
，根据题目条件得
，即可证得结论.
【详解】（1）设椭圆的焦距为
，
因为椭圆焦点
恰好是双曲线
的左右顶点，
所以
，故
，
因为离心率
，所以
，
因为
，所以
，所以椭圆
的方程是
.
（2）设点
，则
，
因为点
在双曲线
上，所以
，可得
，
所以
.
（3）由 (2) 知
，
设直线
的方程为
，则直线
方程为
，
联立方程组
，整理得
，
记
，则
，
所以
，同理可得
，
所以
，
即
，
所以存在
，使
成立.
