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专题05 点到直线的距离
题型一：求直线交点坐标
题型二：三线围成三角形问题
题型三：两点间的距离问题
题型四：求点到直线的距离
题型五：已知点到直线的距离求参数
题型六：求点关于直线的对称点
题型七：求到两点距离相等的直线方程
题型八：直线关于直线对称
题型九：平行线间的距离问题
题型十：直线关于点对称的直线
题型十一：将军饮马问题
题型一：求直线交点坐标
1．已知矩形
的边
所在直线的方程为
，顶点
，则顶点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，求出边
所在的直线方程，再联立直线
，
组成的方程组，方程组的解即为
顶点
的坐标.
【详解】因为
，边
所在直线的方程为
，
设
所在直线方程为
，因为过
，
所以
，所以
所在直线方程为
，
由
解得
，即顶点
的坐标为
.
故选：A.
2．直线
与
互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用垂直关系求出
，再代入方程联立求解交点.
【详解】直线
与
互相垂直,可得
，即
.
把
代入直线
，得到
.
联立方程组
解得
.把
代入
，得
.
所以交点坐标为
.
故选：C.
3．已知直线
与直线
垂直，则与
的交点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两直线垂直充要条件列式求出
，再联立方程组求出交点坐标.
【详解】因为直线
与直线
垂直，
所以
，解得
，
直线
的方程为
.
由
，解得
，故交点坐标为
.
故选：A.
4．（多选）已知
，
，
这三条直线有唯一公共点，则实数
的可能取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】联立直线与
，可得两直线交点坐标，代入
，可得解.
【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立
，
解得直线和直线
的交点坐标为
，
把交点坐标代入直线
的方程可得
，
解得
或
，
故选：AC．
5．直线：
与直线
：
的交点坐标为 .
【答案】
【分析】联立方程即可求解.
【详解】联立
，解得
，故交点为
，
故答案为：
题型二：三线围成三角形问题
6．（多选）三条直线
，
，
构成三角形，则a 的取值可以是（ ）
A．
B．1
C．2
D．5
【答案】CD
【分析】经分析可得三线不共点，所以只需直线
与另两条直线不平行，即可求得
的范围．
【详解】由题意可得直线
与
都经过原点，
而无论
为何值，直线
总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线
与另两条直线不平行，
所以
.
故选：CD
7．（多选）三条直线
，
，
构成三角形，则
的值不能为（ ）
A．
B．
C．
D．－2
【答案】AC
【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线
不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不
平行.
【详解】直线
与
都经过原点，而无论
为何值，直线
总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线
与另两条直线不平行，
所以
．
故选：AC.
8．已知三条直线
，
，
不能围成三角形，则
.
【答案】4 或
或
或
【解析】首先根据三条直线不能构成三角形，得到三条直线的位置关系，根据位置关系列式求
.
【详解】若三条直线不能围成三角形，则存在两条直线平行，或是三条直线交于同一点，
当
时，
，即
，当
时，
，解得：
，
当
时，
，不成立，
当三条直线交于同一点时，联立直线和
，则
，解得：
，
，即交点为
，代入直线
，
，即
，解得：
或
，
所以
或
或
或
.
故答案为：4 或
或
或
【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，重点考查分析问题的能力，属于基础题型.
9．设三条直线
，
，
不能围成三角形，则实数m 所有可能的值为
．
【答案】．0，1，
，
，
【分析】由于和
不可能平行，则和
平行，或
和
平行．分类讨论，利用两条直线平行的条件分别
求得m 的值，综合可得结论．
【详解】当
时，
；当
时，
，且
，即
；与
交于点
，当三条直线共点时，
，即
故答案为0，1，
，
，
【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、三角形的性质，属于基础题．
10．设a 为实数，若三条直线
，
和
共有三个不同的交点，求a 满足
的条件.
【答案】
且
且
【分析】先求得
与
的交点，由
不过该点，以及
与
、
不平行来求得
满足的条件.
【详解】
，
所以
不过
，即
①，
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
所以
，所以
且
②，
由①②得
满足的条件为
且
且
.
题型三：两点间的距离问题
11．已知
且
．则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
的最小值转化为线段
上一点到原点的距离与到
轴的距
离之和最小，根据最短路径问题求解.
【详解】
设原点
关于直线
的对称点为
，过
点向
轴做垂线，垂足为
，
与直线
交于
点，由
的几何意义可知，
该式表示线段
上一点到原点的距离与到
轴的距离之和最小，
由平面几何知识可知，该点取
点的时候，
最小，
最小值为
，即
点的纵坐标，
由
点与原点
关于直线
对称可知
，
所以
的最小值为
.
故选：C
12．若点
在直线
上运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．13
D．
【答案】C
【分析】通过消元，将所求转化为
，分析该式子的几何意义为
轴上某动点
到两
定点
的距离之和，利用
的性质，即可得出所求最小值.
【详解】因为点
在直线
上运动，所以
，
所以
，
表示
轴上一点
到两定点
的距离之和.
在
轴两侧，因为
中，两边之和大于第三边，所以
，
当
三点共线时，
，此时
最小值为
，
即
的最小值为
.
故选：C.
13．已知点
，P 为x 轴上的一点，且点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为 ．
【答案】
或
【分析】根据题意设
，再利用两点间的距离公式即可求出
的值，从而得到点
的坐标．
【详解】
点
在
轴上，设
，
点
与点
的距离等于13，
，解得
或
，
点
的坐标为
或
，
故答案为：
或
．
14．已知点
，在y 轴上求一点P，使
，并求
的值.
【答案】
【分析】通过两点距离公式联立求解即可.
【详解】设所求点为
，
则
，
，
由
得
解得
，
所以，所求点
，
.
15．已知
，且
，求a 的值．
【答案】
【分析】直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算可得；
【详解】解：因为
且
，所以
，解得
题型四：求点到直线的距离
16．已知实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】
为直线
上的点
到原点距离的平方，利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
为直线
上的点
到原点距离的平方，
所以
的最小值为原点到直线
的距离的平方，
又原点到直线
的距离
，
所以
的最小值为1．
故选：D.
17．点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】D
【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解.
【详解】由题点
到直线
的距离为
.
故选：D.
18．点
到直线
（
为任意实数）距离的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】法一：写出点
到直线
的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求
解；法二：利用几何法即可求出最值.
【详解】法一：点
到直线
的距离为
，
，
令
，当
时，
，
当
时，
，由对勾函数的性质可知
，
所以
，所以
，
所以
.
法二：易知直线
过定点
，则点到直线的距离最大值为定点到
的距离，即
.
故选：C.
19．点
到直线
的距离为 .
【答案】
【分析】利用点
到直线
的距离公式
直接求解.
【详解】
故答案为：
20．点
到直线
的距离的最大值是
【答案】3
【分析】先根据点到直线距离公式求距离，再根据三角函数性质求最大值.
【详解】因为点
到直线
的距离为
，
又
，
，
，
因此当
时，
取最大值，且
，
故答案为：3.
题型五：已知点到直线的距离求参数
21．若点
到直线
（
）的距离为3，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．1
【答案】B
【分析】利用点到直线的距离公式列方程求解即可.
【详解】因为点
到直线
（
）的距离为3，
所以
，结合
可得
，
故选：B.
22．（多选）已知点
到直线
的距离为
，则点
的坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可.
【详解】直线l：
可化为
，
依题意得
，整理得
，所以
或
．
当
时，点
的坐标为
；
当
时，点
的坐标为
．
综上所述：点
的坐标为
或
.
故选：AB．
23．已知直线l 经过点
，且原点到直线l 的距离等于2，则直线l 的方程为 ．
【答案】
或
【分析】本题利用定点到定直线的距离为
求直线方程，只需待定系数法列出等式进行求解.
【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为
，符合原点到直线l 的距离等于2；
当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的方程为
，即
，
由
，
得
，即直线l 的方程为
．
综上，直线l 的方程为
或
．
24．已知
点到直线
的距离为1，则
.
【答案】
/
【分析】利用距离公式可求
的值.
【详解】由题设有
，故
，故
.
故答案为：
25．已知直线
，当原点
到的距离最大时，的方程为 .
【答案】
【分析】首先求出直线过定点
，然后当
时，原点
到的距离最大，即可求出答案.
【详解】由
可得
，
由
，解得
，所以直线过定点
，
当
时，原点
到的距离最大，
因为
，所以直线的斜率为
，
所以直线的方程为
，即
.
故答案为：
.
题型六：求点关于直线的对称点
26．已知点
与
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【答案】B
【分析】将线段的中点代入直线的方程中即可求解．
【详解】由题可知，线段
的中点
在直线上，即
，
所以
，
故选：B．
27．点
关于直线
的对称点坐标为 .
【答案】
【分析】设对称点为
，根据
，
中点在直线上，列方程可得解.
【详解】设点
关于直线的对称点为
，
由直线的斜率为，
可得
，
解得
，
所以点
关于直线的对称点坐标为
，
故答案为：
.
28．已知点
，直线
，则点
关于直线的对称点
的坐标为
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，利用
与直线垂直，
中点在直线上，建立
方程关系，即可求
解；
【详解】设点
的坐标为
，依题意得
，解得
，即
，
所以点
坐标为
，
故答案为：
.
29．若点
和点
关于直线
对称，则
．
【答案】
【分析】根据对称满足垂直关系以及中点在直线上，即可求解.
【详解】
,
由于点
和点
关于直线
对称，所以
，解得
，
和点
的中点为
，则
在直线
上，
故
，解得
，
故答案为：
30．点
关于直线
的对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据对称点的求法求得正确答案.
【详解】设对称点的坐标为
，
则
，
解得
，所以对称点的坐标为
.
故答案为：
题型七：求到两点距离相等的直线方程
31．（多选）已知
两点到直线
的距离相等，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】AD
【分析】直接利用两点距离公式列方程计算即可.
【详解】
两点到直线
的距离相等，
，解得
或
.
故选：AD.
32．（多选）过点
且与
两点距离相等的直线方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】先设直线方程，再根据点到直线距离公式列方程解得结果.
【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在，
可设所求直线方程为
，即
，
因为与点
距离相等，
则
，可得
，解得
或
，
所以所求直线方程为
或
.
故选：BC
33．过原点
作直线，若点
，
到直线的距离相等，则直线的方程为 ．
【答案】
或
【分析】分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，再结合点到直线的距离公式求出直线的斜率，即可
得解.
【详解】当直线的斜率不存在时，则方程为
，此时不符题意，
当直线的斜率存在时，设方程为
，即
，
因为点
，
到直线的距离相等，
所以
，解得
或
，
所以直线的方程为
或
.
故答案为：
或
.
34．直线过点
，且
和
两点到直线的距离相等，则直线的方程为 .
【答案】
或
【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况：利用点到平面距离相等列式计算即可求.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为：
时，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
，即
，
由于
和
两点到直线的距离相等，
所以
，
解得
，此时直线的方程为：
，
综上所述，直线的方程为：
或
.
故答案为：
或
35．已知直线l 过点
，求满足下列条件的直线l 的方程．
(1)在两坐标轴上的截距相等；
(2)
，
到直线l 距离相等．
【答案】(1)
或
；
(2)
或
.
【分析】（1）讨论截距是否为0，求对应直线方程；
（2）讨论两点与直线的位置，利用直线平行、点对称求直线方程.
【详解】（1）若直线过原点，令
，则
，故直线为
；
若截距不为0，令
，则
，故直线为
；
综上，直线方程为
或
.
（2）若
，
在直线的同一侧，即直线
直线，
而
，故直线为
，则
；
若
，
分别在直线的两侧，即
关于直线上一点对称，
所以
中点
在直线上，又直线l 过点
，故直线为
；
综上，直线l 的方程为
或
.
36．已知
的三个顶点是
.
(1)求
边上的高所在直线的方程；
(2)若直线过点
，且点
到直线的距离相等，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据垂直关系得到
边上的高所在直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可；
（2）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑即可.
【详解】（1）由
可得
，
故
边上的高所在直线的斜率为
，直线又经过点
，
故方程为
，即
.
（2）当直线斜率不存在时，此时直线为
，
到直线的距离分别为4 和2，不符合题意，.
当直线斜率存在时，设直线方程为
，即
此时
到直线的距离相等，则
，
化简得
，解得
或
，
故直线方程为
或
，
即
或
.
题型八：直线关于直线对称
37．直线
关于直线
对称的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】在直线
上任取一点
，设其关于直线
的对称点为
，然后根据对称
关系列方程可表示出
，再代入
中化简可得答案
【详解】在直线
上任取一点
，设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，即
，
因为点
在直线
上，
所以
，即
，
所以所求直线方程为
，
故选：A.
38．直线
关于直线
对称的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
是所求直线上任意一点，进而求得其关于
对称的点为
，再代入已知
直线方程即可得答案.
【详解】解：设点
是所求直线上任意一点，
则
关于直线
对称的点为
，且在直线
上，
所以，代入可得
，整理得
．
所以，所求直线方程为
.
故选：B
39．直线
关于直线
的对称直线方程为 ．
【答案】
【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上；在直线上取一点
，求得其关于直线
对
称的点的坐标
，该点也在对称直线上；由直线两点式可整理得到结果.
【详解】设直线关于直线
对称的直线为
，
由
得：
，则点
在直线
上；
在直线上取一点
，设其关于直线
对称的点为
，
则
，解得：
，即
；
直线
的方程为：
，即
.
故答案为：
.
40．直线
关于直线
的对称直线的方程为 .
【答案】
【分析】设出
为所求直线上一点，找出其关于
的对称点，代入直线
即可求出.
【详解】设
为所求直线上一点，它关于
的对称点为
，
则
可得
，
由题可得
在直线
上，
所以
，整理可得所求的对称直线方程为
.
故答案为：
.
41．求与直线
关于直线
对称的直线的方程．
【答案】
【分析】先求得两条直线的交点
坐标,再在直线
上取一个点
,求得点
关于直线
的对称点,即可利用两个点的坐标求得其对称点的直线方程.
【详解】因为直线
与直线
相交，
所以联立直线方程可得
,解方程组可得
，
即两条直线的交点
的坐标为
在直线
上取一个点
,设
关于直线
的对称点为
,由中点坐标公
式及斜率关系可得，
,解方程组可得
，
所以
，
则直线
方程的斜率为
，
由点斜式可得直线
的方程为
，
化简可得
，
即直线
关于直线
对称的直线方程为
.
题型九：平行线间的距离问题
42．已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
，然后由平行线之间的距离求解即可.
【详解】直线
即直线
，与直线
平行，则
，
故所求即为平行直线
与
之间的距离，
即所求为
.
故选：B.
43．已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件可得
，然后利用平行线间的距离公式可算出答案.
【详解】已知直线
与直线
平行，则
，解得
.
直线
化为
；直线
为直线
.
它们之间的距离为
.
故选：A.
44．已知直线：
与直线
：
平行，其中
，则直线与
之间的距离等于
．
【答案】
【分析】利用两条直线平行的条件求出
，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离.
【详解】由题意，直线
，则
且
，所以
.
所以：
与直线
：
之间的距离
.
故答案为：
.
45．已知直线
与直线
平行，则与
之间的距离是 ．
【答案】
/0.8
【分析】根据直线平行求出
，再由平行线间的距离公式得解.
【详解】因为直线
与直线
平行，
所以
且
，
解得
，
所以两平行线间的距离
，
故答案为：
46．已知直线
和直线
．
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数
的值；
(2)若
，求直线与
之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出在
轴和
轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果；
（2）由
求出
，再由两平行线的距离求解即可.
【详解】（1）由题意可知
，
直线在
轴的截距为
，在
轴的截距为
，
则
，解得
．
（2）若
，则
，得
，
此时直线
，即
，
又直线
，
∴直线与
之间的距离
．
题型十：直线关于点对称的直线
47．直线
关于点P（2，3）对称的直线
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得和
平行，设出方程，根据点P 到两直线距离相等即可求出.
【详解】因为和
关于点
对称，则两直线平行，可设
方程为
（
），
点P 到两直线的距离相等，则
，解得
或3（舍去），
所以直线
的方程是
.
故选：A.
48．直线
关于点
对称的直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线关于直线外一点
的对称直线互相平行可知其斜率，再取上一点求其关于点
的对称点，即可求出
的方程.
【详解】由题意得
，故设
，
在l 上取点
，则点
关于点
的对称点是
，
所以
，即
，
故直线的方程为
.
故选：C
49．直线
关于点
对称的直线的方程是 ．
【答案】
【分析】根据对称直线与直线l 平行，且点P 到两直线的距离相等可解.
【详解】记直线l 关于点P 对称的直线为
，则由题意可知
，
所以设
的方程为
，即
又点点P 到两直线的距离相等，所以
整理可得
，解得
或
当
时，即为直线l，故
所以所求方程为：
.
故答案为：
50．已知直线
，点
．
(1)求点
关于直线
的对称点；
(2)求直线
，关于点
的对称直线
的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点
关于直线的对称点为
，根据中垂线，结合中点坐标公式和两直线垂直的条
件，可得关于
和
的方程，解之即可；
（2）设直线
的方程为
，在直线l 上取一点
，求得它关于点
的对称点，并将其代入所设
方程，解出b 的值即可．
【详解】（1）设点
关于直线l 的对称点为
，则这两点的中点为
，
所以
，解得m
，n
，
所以点
关于直线l 的对称点为
；
（2）由题意知，直线
的斜率为
，设其方程为
，
在直线上取一点
，它关于点
的对称点为
，
而该点在直线
上，
所以
，解得
，
所以直线
的方程为
．
51．已知直线l:
.
(1)求点P（3， 4)关于直线l 对称的点Q；
(2)求直线l 关于点（2， 3)对称的直线方程．
【答案】(1)Q
(2)x－2y＋10＝0
【分析】（1）利用PQ⊥l，且PQ 的中点在直线l 上列方程求出Q；
（2）在直线l 上任取一点，如M（0，-1)，求出点M 关于点（2， 3)对称的点N（4， 7)．利用平行，求
出斜率，即可求出所求的直线方程.
【详解】（1）设Q（x0， y0)．
由于PQ⊥l，且PQ 的中点在直线l 上，
则
，解得
，所以Q
.
（2）在直线l 上任取一点，如M（0， －1).
设点M 关于点（2， 3)对称的点为N（x， y)，
所以
，解得：
，所以N（4， 7)
因为所求直线与l 平行，所以
,
所以所求的直线方程为
，即x－2y＋10＝0.
题型十一：将军饮马问题
52．（多选）2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出
塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐
代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有
趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，
怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是
，军营所在位置为
，河
岸线所在直线的方程为
，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程
最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
【答案】BD
【分析】求出点
关于直线
的对称点为
，直线
的方程为
即为从出发
点到河边的路线，可得A 错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为
，可得B 正
确；直线
的方程为
即为从河边回军营的路线，可得C 错误；由各路段长度总和即可求出
“将军饮马”走过的总路程为
，可知D 正确.
【详解】由题可知
在
的同侧，
设点
关于直线
的对称点为
，如下图所示：
则
，解得
；即
.
将军从出发点到河边的路线所在直线即为
，
又
，所以直线
的方程为
，故
错误；
设将军在河边饮马的地点为
，则
即为
与
的交点，
联立两直线方程解得
，故B 正确；
将军从河边回军营的路线所在直线为
，又
，
所以直线
的方程为
，故C 错误；
总路程
，
所以“将军饮马”的总路程为
，故D 正确.
故选：BD.
53．2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是
唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀
的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问
题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能
使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是
，军营所在位置为
，河岸线所在
直线的方程为
，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值
为 .
【答案】
【分析】首先求出点
关于
的对称点为
，再利用对称性，转化长度和，即可求解.
【详解】设点
关于
的对称点为
，
则
，解得：
，
，即
，
由对称性可知，
，
则
，如图饮马点为
与
的交点
，
.
故答案为：
.
54．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一
个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再
回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将军从山
脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为 .
【答案】
【分析】求出点
关于直线
的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果.
【详解】设
关于直线
的对称点
，如下图所示：
则
，解得
，即
此时
即为最短路程，易知
.
所以最短总路程为
.
故答案为：
55．2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是
唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李
颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数
学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才
能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是
，军营所在位置为
，河岸线所在
直线的方程为
，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则
将军在河边饮马地点的坐标为 ．
【答案】
【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.
【详解】
由题可知
在
的同侧，
设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
即
．
将军从出发点到河边的路线所在直线即为
，又
，
所以直线
的方程为
，
设将军在河边饮马的地点为
，
则
即为
与
的交点，
，解得
，
所以
．
故答案为：
56．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一
个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再
回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为
，若将军从点
处出发，河岸线所在直线方程为
．则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【答案】5
【分析】作出图示，先求得点
关于直线
的对称点C 的坐标，在直线
上取点
，由对称性
可得
，则
，根据两点间距离公式，即可得答案.
【详解】作出图示，
设点
关于直线
的对称点为
，
在直线
上取点
，由对称性可得
，
所以
，
当且仅当A、
、
三点共线时，等号成立，
因此，“将军饮马“的最短总路程为.
故答案为：.
