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专题06 拓展练：集合与常用逻辑用语中参数问题（高效培优专项训练）
题型01 根据元素与集合的关系求参数
题型02 根据集合中元素的个数求参数
题型03 根据两个集合相等求参数
题型04 根据集合的包含关系求参数
题型05 根据交集的结果求参数
题型06 根据并集的结果求参数
题型07 根据补集的结果求参数
题型08 根据并交补集混合运算的结果求参数
题型09 根据全称（存在）量词命题的真假求参数
题型10 根据充分（必要）性求参数
题型01 根据元素与集合的关系求参数
1．（多选）集合
，且若
，则
，那么下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．
，则
C．
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】根据集合的定义，由
，
，得到
，
，即
，
，然后利用一元二次不
等式的解法化简后逐项判断.
【详解】∵非空集合
满足：当
时，有
∴
，
，
.
则
，
，且
，
.
即
或
，
且
，
所以
或
，且
，故
或
,
对于A，当
时，有
，故A 正确；
对于B，当
时，
，所以
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
或
，故C 正确；
对于D，当
时，可知
或
，故D 错误.
故选：ABC
2．已知集合
，集合
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)已知
，
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合
、
，利用
可得出关于实数
的不等式组，由此可解得实数
的取值
范围；
（2）根据元素与集合的关系可得出关于实数
的不等式，综合可得出实数
的取值范围.
【详解】（1）因为
或
，
，
且
，则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
（2）因为
，则
，解得
，
因为
，则
或
，可得
或
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
3．（1）若关于x 的不等式
的解集是M，
且
，求实数m 的取值范围；
（2）若集合
有3 个真子集，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）由元素和集合的关系可得
，解不等式组即可；
（2）由集合 P 有3 个真子集，所以集合 P 中包含2 个元素为0 和1，列出不等式即可.
【详解】（1） 因为
即
，
解得
（2）因为集合 P 有3 个真子集，所以集合 P 中包含2 个元素，
因为
，所以这2 个元素只能是0，1，
所以
，解得
.
4．已知关于x 的不等式
的解集为S.
(1)当
时，求集合S；
(2)若
且
，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解；
（2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m 的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
解得：
，
所以不等式的集合为
；
（2）若
且
，
则
或
，解得：
或
，
所以
的取值范围是
.
5．设
，关于
的不等式
的解集为
.
(1)若
，求集合
；
(2)若
且
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由分式不等式的解法求解即可；
（2）由
且
可得：
，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）
时，
，即
，
解得不等式的解集为
；
（2）由
且
可得：
，
解得：
.
题型02 根据集合中元素的个数求参数
1．（多选）已知集合
恰有4 个子集，则
的值可能为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】ABC
【分析】集合
恰有4 个子集，则集合
有2 个元素，问题转化为
有两个不相等的实数解即
可.
【详解】因为集合
恰有4 个子集，所以集合
有2 个元素，则
有两个不相等的实数解，则
，解得
.
故选：ABC.
2．已知集合
恰有两个子集，则实数
取值集合为 .
【答案】
【分析】分析可知
有一个不等于3 的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运
算求解即可.
【详解】由题意可知：方程
有且仅有一解，
等价于
有一个不等于3 的实数解，
1.当
时，解为
，满足题意；
2.当
时，
只有一解时，
则
，解得
，
若
，则
，解得
，符合题意；
3.当
时，且
有两解但3 是方程的解，
故
，解得
；
综上所述，实数
取值集合为
.
故答案为：
.
3．已知集合
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若集合
中恰有3 个整数，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）确定
，由包含关系构造不等式求解即可；
（2）由
和
两种情况讨论即可；
【详解】（1）由
，可得
或
，
即集合
或
：
由
，得
或
，
解得
或
.
（2）易知集合
的区间长度为6，故
中最少有5 个整数，而集合
中端点“
”与“7”相距8 个单位，
故要使集合
中恰有3 个整数，则有两种情形：
①当
即
，要使集合
中恰有3 个整数，三个整数应为
，
，
，
则
，可知
②当
即
时，要使集合
中恰有3 个整数，三个整数应为7，8，9，
则
，可知
综上可知
4．已知集合
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
中只有一个元素，求
的取值范围；
(3)若
中至多有一个元素，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
时，
(3)
或
【分析】（1）将
代入方程中即可求解，
（2）（3）将问题转化为：关于
的方程
解的问题，分类讨论二次项系数
的值，结合二次
方程根与判别式的关系，即可得到答案．
【详解】（1）由于
，所以
是
的实数根，故
，故
（2）当
时，原方程变为
，此时
，符合题意；
当
时，方程
为一元二次方程，
，即
时，原方程的解为
，符合
题意．
故当
或
时，原方程只有一个解，此时
只有一个元素．
（3）若
中最多有一个元素，则
中可能无任何元素，或者只有一个元素，
由（1）知当
时只有一个元素，
当
时，方程
为一元二次方程，
，即
时，
为空集；
，即
时，方程有两个相等的根，
中有一个元素．
中最多有一个元素，
或
5．已知集合
(1)若集合A 中至多有一个元素，求实数k 的取值范围；
(2)若集合A 最少有一个真子集，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分
两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果.
（2）将问题转化为方程
至少有一个根，分
两种情况进行分类讨论，求得结
果.
【详解】（1）当
时，
，即
，符合题意；
当
时，
，解得：
.
综上所述，实数k 的取值范围为
.
（2）集合A 最少有一个真子集，则集合
中至少有一个元素，
当
时，
，即
，符合题意；
当
时，
，解得：
且
.
综上所述，实数k 的取值范围为
.
6．（1）已知集合
①若
中有且仅有一个元素，求实数
的所有取值.
②若
中有两个元素，求实数
的所有取值.
（2）已知集合
，若
，求实数
的值.
【答案】（1）①
；②
；（2）
【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数；
（2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可.
【详解】（1）①若
，则
，符合题意；
若
，且集合A 中只有一个元素，
这意味着当且仅当一元二次方程
有两个相等的实数根，
从而
，解得
，
综上，实数
的所有取值可能为：
；
②
中有两个元素，意味着一元二次方程
有两个不相等的实数根，
所以
，则
且
故
的取值范围是
；
（2）
.，
当
时，
，此时满足
，符合题意；
当
时，
，
若要
，则
或
，解得
或
；
综上所述，实数
的值是
.
题型03 根据两个集合相等求参数
1．若
，则
的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．7
【答案】C
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q 的值，由此可得选项.
【详解】因为
，
所以
，解得
，
所以
.
故选：C.
2．（多选）已知集合
，
，且
．集合
为
的取
值组成的集合，则下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件得出
，再得出集合D,最后结合元素和集合的关系判断各个选项.
【详解】因为
,所以
，
因为
，所以
，
所以
且
,
所以
,
,
所以
.
故选：ACD.
3．若集合
，且
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】由
，根据一元二次方程的性质，得到
是方程
的两根，结合韦达定理，即
可求解.
【详解】由题意，集合
，
因为
，根据一元二次方程的性质，可得
是方程
的两根，
由韦达定理，可得
，解得
，
所以
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，以及一元二次方程的性质的应用，其中解答中熟记集合相
等的概念，结合一元二次方程的韦达定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4．已知全集
，
，
(1)设实数x 的取值构成集合M，求
；
(2)当
时，求实数x 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据集合元素互异性可求得
取值范围，再利用集合的补集运算求解即可
（2）根据集合相等定义，分别列出方程组求解即可.
【详解】（1）由
并根据集合中元素的互异性可知
，
即
，解得
且
；
所以实数x 的取值的集合
；
所以
（2）根据集合相等的定义，
当
时可得
或
；
当
时，解得
，
当
时，无解,
所以
5．若
，求
的值.
【答案】
或
.
【解析】利用两个集合相等它们的元素分别对应相等,得到关于
的方程,再利用集合中元素的互异性进行取
舍即可.
【详解】由题意知，
当
时，
，此时
符合题意；
当
时，
，此时
不符合集合中元素的互异性，（舍去）；
当
时，
，此时
，符合题意；
综上可知，
或
.
【点睛】本题考查两个集合相等和集合中元素的互异性;属于中档题、常考题型.
题型04 根据集合的包含关系求参数
1．已知集合
，
.
(1)分别求
，
；
(2)已知
，若
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
或
，且
；
(2)
.
【分析】（1）应用集合的交运算求得
，再由补运算求
，根据
的关系
求
；
（2）根据集合的包含关系有
，即可得参数范围.
【详解】（1）由
，
所以
或
，且
；
（2）由
，显然不是空集，且
，
所以
，可得
.
2．设常数
，已知集合
，集合
．
(1)求集合
；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解分式不等式，即可求出集合
；
（2）解一元二次不等式化简集合
，依题意可得
，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由
等价于
，解得
，
所以
；
（2）由
，即
，解得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，即
的取值范围
.
3．已知
，集合
，
．
(1)求集合A；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求解分式不等式可求得集合
；
（2）由题意可得
，分
，
两种情况求解可得实数a 的取值范围.
【详解】（1）因为
，
所以
；
（2）因为
，所以
，
当
时，
，解得
，
当
时，
若
，由
，得
，解得
，
所以
，又
可得
，即
，
当
时，由
，可得
，所以
，
又
，可得
，
综上所述：实数a 的取值范围为
．
4．已知集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，得到
，再利用集合的并集运算求解；
（2）由
，得到
，再分
和
求解.
【详解】（1）不等式
解得
，集合
，
当
时，集合
，
所以
；
（2）由
，得
，
当
时，
，即
，符合题意；
当
时，
，解得
，
综上：实数m 的取值范围
.
5．设全集
，集合
，
，
(1)求
，
；
(2)若
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）先求出集合M，然后结合集合的基本运算即可分别求解；
（2）结合集合的包含关系即可求解．
【详解】（1）全集
，集合
，
，
，
或
，
则
.
（2）若
，
，
，
则
，解得
，
故实数a 的取值范围为
6．已知全集
，集合
.
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若集合
不是
的子集，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
.
(2)
.
【分析】(1)理解补集的定义，并找到补集，推出
，注意分析
时分类讨论，(2)找到
的取值
范围，然后取补集.
【详解】（1）由题意，得集合
或
.
因为
，所以
.
当
，即
，也即
时，符合题意；
当
，即
时，由
，得
或
，解得
.
综上，实数a 的取值范围是
或
.
（2）由（1）知
，若
，
当
，即
时，符合题意；
当
时，需满足
解得
.
所以
时，
.
所以当集合
不是
的子集时，
，即实数a 的取值范围是
.
7．已知集合
，集合
，若
，求
的取值范围.
【答案】
【分析】化简集合
，根据集合的包含关系列不等式可求
的范围.
【详解】解不等式
得
，
所以
，
由
，
，可得
当集合
时，
，解得
；
当集合
时，
，解得
.
综上：
.
8．已知集合
，
．
(1)分别求
，
；
(2)已知
，若
，求实数
的取值集合．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合
，再根据集合交集和并集的概念求解即可；
（2）根据集合的包含关系列不等式组求解即可.
【详解】（1）由
解得
，
所以
，
，
所以
，
.
（2）因为
，所以
，
当
时可知
，解得
，
所以实数
的取值集合为
．
9．已知全集为
，集合
，集合
.
(1)若
，求
：
(2)若
，且
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
，
；
(2)
.
【分析】（1）把
代入，分别解一元二次不等式化简集合
，再利用交集、并集的定义求解.
（2）求出集合
，再利用集合包含关系列式求解.
【详解】（1）解不等式
，得
，则
，
当
时，
或
，
所以
或
，
.
（2）由（1）知
或
，
由
，得
或
，
由
，得
，
所以实数
的取值范围是
.
10．已知集合
.
(1)求
；
(2)若
的解集为C
求实数m 取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合
，再求集合
；
（2）记
，由
得
解出即可.
【详解】（1）
，
；
所以
；
（2）记
因为
故
，所以
即实数m 取值范围为
题型05 根据交集的结果求参数
1．设
，集合
,
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）转化成求
与
的交点问题，联立求解.
（2）转化为
与
没有交点，联立，判别式
，即可得到答案.
【详解】（1）由
，得
，解得
，
所以
.
（2）由
,得
，
由已知方程
的判别式
，
从所以
．
故实数
的取值范围为
．
2．设集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式化简集合A，进而可得交集；
（2）由题意可知
，分
和
两种情况，结合包含关系列式求解.
【详解】（1）由题意可得：集合
，
若
，则集合
，
所以
.
（2）若
，则
，
若
，则
，解得
；
若
，则
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围为
.
3．已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）应用集合的并运算求集合即可；
（2）根据包含关系有
，即可求参数范围；
（3）由交集结果有
，讨论
、
列不等式求参数范围.
【详解】（1）由
，则
，故
；
（2）由
，则
，可得
；
（3）由
，即
，
若
，则
，可得
；
若
，则
，无解；
综上，
.
4．集合
，
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据
，得
，分
与
两种情况来解；
（2）根据
，分
与
两种情况来解
【详解】（1）根据题意，得
，
又
，
，以下分
与
两种情况来解，
当
时，
，得
，
当
时，得
，即
，
综上，
的取值范围为
;
（2）
，又
，
若
，则
，得
，
若
，有
，得
，
此时
，得
或
，
解之得
或
（舍去），
综上所述，
的取值范围为
或
.
5．已知非空集合
，
.
(1)当
时，求
，
；
(2)若
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）求出集合
、
后，借助并集、补集与交集定义计算即可得；
（2）由
可得
，结合
与
集合计算即可得.
【详解】（1）当
时，
，
由
，解得
，
故
，
或
，
故
，
；
（2）由
，则
，又
，
，
则有
，解得
；
故实数a 的取值范围为
.
题型06 根据并集的结果求参数
1．设集合
，集合
．
(1)若
，求
和
；
(2)
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时，
（2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围.
【详解】（1）若
，则
，
所以
，
（2）因为
，所以
，
当
时，满足
，此时
；
当
时，要使
，则
，解得
综上，实数
的取值范围为
2．已知全集为
，集合
，
．
(1)当
时，求
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）解不等式可求得集合
，由并集和补集定义可求得结果；
（2）根据并集结果可直接构造不等式组求得结果.
【详解】（1）由
得：
，
；
当
时，
，
或
，
或
.
（2）
，又
，
，解得：
，
即实数
的取值范围为
.
3．已知全集
，集合
，
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）化简集合
，结合集合运算法则求结论；
（2）根据集合的包含关系列不等式可求
的范围.
【详解】（1）化简，
．
所以
或
．
当
时，
．
所以
．
（2）因为
．
又
等价于
．
所以
，
解得
的取值范围是
．
4．已知不等式
的解集为A，集合
．
(1)当
时，求A 和
；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）先求出集合
，再根据补集和交集的定义即可得解；
（2）由
，可得
，再分
和
两种情况讨论即可得解.
【详解】（1）由
，得
，
即
，解得
或
，
所以
或
，
则
，
当
时，
，
所以
；
（2）因为
，所以
，
当
时，则
，解得
，此时
；
当
时，则
或
，
解得
或
，
综上所述，
的取值范围为
或
.
5．已知
，集合
；
(1)当
时，求
和
；
(2)已知
，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
或
，
(2)
【分析】（1）分别解出两个集合中的不等式，即可得
；
（2）根据并集的结果得集合间的包含关系，再根据
的大小关系分类讨论，进而列不等式，求解即可.
【详解】（1）由
，得
，解得
或
，
则
或
；
；
当
时，
，解得
.
（2）由
，得
，
①当
时，得
，符合题意；
②当
时，若
，则
，
由
，得
，此时
；
若
，则
，此时
恒成立，故
符合题意；
综上所述，实数
的取值范围为
．
题型07 根据补集的结果求参数
1．已知全集
，集合
，
．
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合
，由
，可得出
，讨论
和
，即可求出答案.
（2）求出
，由
，得出
，讨论讨论
和
，求实数a 的取值范围，运
用补集思想即可得出答案.
【详解】（1）由题意，得集合
或
，
．
∵
，∴
．
当
，即
，即
时，符合题意；
当
，即
时，由
，得
或
，得
．
综上，实数a 的取值范围为
．
（2）
，若
，则
．
当
，即
时，符合题意；
当
时，需满足
，解得
．
∴当
时，
．
∴当
时，
，即实数a 的取值范围为
．
2．已知全集
，集合
，
．
(1)当
时，求
，
；
(2)若
，求实数的取值范围．
【答案】(1)
；
或
(2)
【分析】（1）解不等式求得集合
，由此求得
，
.
（2）根据
列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】（1）因为
,
所以
或
,
当
时，
,
所以
,
或
.
（2）因为全集
，所以集合
．
因为
，所以
，
解得
，所以
．
3．已知集合
．
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若
，求实数a 的取值范围；
(3)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由
与
，以及
为
的子集，确定出
的范围即可；
（2）由
与
，以及
为
的子集，确定出
的范围即可；
（3）分别求出
与
的补集，根据
补集为
补集的真子集，确定出
的范围即可．
【详解】（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
，
，
，且
，
．
4．已知集合
，集合
．
（1）若
，求a 的取值范围；
（2）若全集
，且
，求a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）结合数轴得到满足条件的不等式，即得；（2）
，那么
，结合
数轴得到满足条件的不等式，即得.
【详解】解:
，
．
（1）由
，结合数轴（如图所示），
可知
，因此a 的取值范围为
．
（2）∵
，∴
，要使
，结合数轴（如图所示），
可知
故a 的取值范围为
．
【点睛】本题考查集合的子集和补集，结合数轴来求出变量取值范围.
题型08 根据并交补集混合运算的结果求参数
1．定义两种新运算“
”与“
”，满足如下运算法则：对任意的
，有
，
.
设全集
，
且
，
，
，
且
，
，
.
(1)求集合
；
(2)求集合
；
(3)集合
，
是否能满足
？若能，求出实数
的值；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)能，0 或
【分析】（1）根据新定义运算可得
，分
、
与
讨论即可求解；
（2）根据新定义运算可得
，代入
即可求解；
（3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按
是否为空集分类求解.
【详解】（1）对任意的
，有
，
，
全集
且
，
则
由
，得
，或
，或
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
，
所以
.
（2）
，由
且
，
，得
，
，
因此
，所以
.
（3）由（1）（2）知，
，
，则
，
假设集合
，
能满足
，则
，或
且
，
又
，当
时，
；当
时，解得
，经验证，
或
都符合要求，
所以实数
的值为0 或
.
2．已知集合
，
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先解一元二次不等式，即可求出集合
，再根据并集的定义计算可得；
（2）首先求出
，再根据
，即可求出
的取值范围.
【详解】（1）由
，即
，解得
，
所以
，
当
时，
，
所以
；
（2）因为
，所以
，
又
，
，
所以
，所以实数m 的取值范围为
.
3．设集合
.
(1)当
时，求
和
，
(2)若
.求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分别求出集合
，再根据交集和并集的定义求解即可；
（2）由
，得
，再分
和
两种情况讨论即可得解.
【详解】（1）
，
当
时，
，
所以
；
（2）
或
，
因为
，所以
，
当
时，
，
当
时，
，
则
或
，
解得
或无解，
综上所述，
.
4．已知实数集
，集合
，集合
(1)当
时，求
；
(2)设
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）先解出集合
，将
代入解出集合
，然后根据集合的运算计算即可；
（2）根据
，即可得出
，分
和
两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）根据已知有：
，当
时，
，
解得：
，
或
，
所以
或
.
（2）因为
，所以
，
当
时，有
，符合题意；
当
时，
，
，解得
，
综上可得：
的取值范围是
.
5．已知集合
，
．
(1)若“
”是“
”的充分条件，求m 的取值范围；
(2)若
，求m 的取值范围；
(3)若集合
的元素中有且只有两个是整数，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
或
【分析】（1）计算集合
和
，由充分条件可得
，列不等式组即可计算；
（2）由
得
，分
，
两种情况讨论即可求；
（3）由题意知，
或
，分情况讨论即可.
【详解】（1）因为
或
，
所以
，
因为“
”是“
”的充分条件，
所以，
，
所以
，解得
，
所以，m 的取值范围为
.
（2）因为
，所以
，
①当
时，
，解得
，符合题意；
②当
时，
或
，
解得：
或
，
综上所述，m 的取值范围为
或
.
（3）因为
，
若
的元素中有且只有两个是整数，
则
或
，
当
时，则有
，解得
；
当
时，则有
，解得
，
综上所述，m 的取值范围为
或
.
题型09 根据全称（存在）量词命题的真假求参数
1．已知命题
，若命题
是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由其否定为真命题，通过
求解即可；
【详解】因为命题
是假命题，
可得：
为真命题；
可得：
，
解得：
，
故选：A
2．已知
，
，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由命题p 是真命题，可知方程
有解，故只需
，求解即可.
【详解】已知
，
，若p 是真命题，
则
，所以
.
故选：B
3．已知命题
“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可.
【详解】因为命题
“
，
”为假命题，
所以命题
“
，
”为真命题，
当
时，显然
成立，
当
时，要想
对于
恒成立，
只需
，
综上所述：实数
的取值范围是
，
故选：D
4．若命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得“
，
”为真命题，则
，解得即可.
【详解】
命题
“
，
”为假命题，
命题
：“
，
”为真命题．
，
，解得
．
实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
5．已知命题
；命题
.
(1)若
是真命题，求实数
的取值范围；
(2)若
与
有且只有一个为假命题，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）参变量分离等价变形后，转化为恒成立问题，再转化为求最值问题，即可得解；
（2）分“p 真q 假”和“p 假q 真”两类进行讨论，根据题意，分别列出不等式组，即可得解.
【详解】（1）命题
为真，
则
恒成立，等价于
，
令
，由基本不等式可得，
，
当且仅当
时，等号成立，即
，所以
故实数a 的取值范围为
.
（2）命题q 为真命题：
，
故
，解得
或
由于
与
有且只有一个为假命题，
①p 真q 假：
，故
；
②p 假q 真：
，故
；
故实数a 的取值范围为
.
6．已知命题p：“
，
”命题
，使得
．
(1)若命题
为真命题，求实数a 的取值范围；
(2)若命题
和命题
都为真命题，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式之间的关系，即可利用判别式求解，
（2）对
分类讨论，求解
为真时的范围，即可求交集得解.
【详解】（1）若命题
为真，则
，
即
解得：
或
（2）若
，使得
为真命题，
当
时，显然
时，
，故满足题意，
当
时，
为开口向下的二次函数，显然符合题意，
当
时，此时要使
，使得
为真命题，则需满足
，解得
，
综上可知
为真命题时，
，
故命题
和命题
都为真命题，则
，解得
题型10 根据充分（必要）性求参数
1．若“
”是“
”的一个充分不必要条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数
的取值范围.
【详解】由题意可得
，且
，
又
，
，
则
解得
，
故选：D．
2．已知集合
，若
是
的充分不必要条件，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案.
【详解】由
或
，则
，
由
是
的充分不必要条件，则
，且
可得
，解得
.
故选：C.
3．已知条件p：
，条件q：
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若q 是
的充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据集合的交集，判断出区间端点的值和大小，得到
的值，即本题结论；
（2）根据充要条件关系得到
的取值范围的关系，判断出区间端点值的大小，得到
取值范围．
【详解】（1）由已知得：
，
因为
，
，
，
（2）
是
的充分条件，
，而
或
，
或
，
或
实数
的取值范围为
或
．
4．已知使不等式
对于一切实数
恒成立的实数
取值的集合为A，关于
的不等式
的解集为B.
(1)求集合A 与集合B；
(2)若
，且
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，求解含参的一元二次不等式的解得到
；
（2）根据
是
的必要不充分条件，故
，即可求解.
【详解】（1）因为不等式
对于一切实数
恒成立，
所以
，解得
，
即
．
因为
，所以
，
解得
，即
，
（2）因为
是
的必要不充分条件，故
，
即
，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
5．（1）若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围；
（2）已知命题
：关于
的方程
在
上有解；命题
：仅有一个实数满足关于
的不等
式
.若p，q 都是假命题，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）求出不等式的解集，再利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解.
（2）化简命题
，命题
，再由已知列出不等式组求解.
【详解】（1）不等式
，解得
，
当
时，不等式
，解得
，
依题意，
，则
或
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
（2）解方程
，得
或
，依题意，
或
，
解
得
或
，解
得
或
，
于是命题
：
或
；
由仅有一个实数满足关于
的不等式
，得
，
解得
或
，于是命题
：
或
，
由p，q 都是假命题，得
，且
且
，因此
或
，
所以实数
的取值范围是
.
6．已知集合
，
．
(1)当
时，求
，
；
(2)请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的
横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
当
时，若“
”是“
”成立的____，试判断实数
是否存在？若存在，求出实数
的取值
范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，
或
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意求集合
，进而根据集合间的运算求解；
（2）根据题意可得
.若选①：可知集合A 是集合
的真子集，根据真子集关系列式
求解即可；若选②：可知所以集合
是集合A 的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选③：可知集
合A 等于集合
，根据集合相等列式求解即可.
【详解】（1）由题意可知：
，
当
时，
，
所以
；
又因为
或
，所以
或
.
（2）当
时，
，
若选择条件①：可知集合A 是集合
的真子集，
则
，且等号不能同时取到，解得
，
所以实数
的取值范围是
；
若选择条件②：可知所以集合
是集合A 的真子集，
则有
，且等号不能同时取到，解得
，
所以实数
的取值范围是
；
若选择条件③：可知集合A 等于集合
，
则有
，方程组无解，
所以不存在满足条件的实数
.
