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专题06 抛物线
考点01 抛物线的定义与标准方程
考点02 抛物线的几何特征
考点03 抛物线焦点弦问题
考点04 抛物线中的定点、定值问题
考点05 抛物线与直线的位置关系
考点01 抛物线的定义与标准方程
1．设抛物线
的焦点为F，已知点
在C 上，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：
从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛
物线
，一条光线经过点
，与
轴平行射到抛物线
上，经过两次反射后经过点
射出，则光线从点
到点
经过的总路程是（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
3．已知抛物线
，
为
的准线与
的对称轴的交点，
为抛物线
上的点，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
4．抛物线
绕其顶点顺时针旋转
之后，得到的图形正好对应抛物线
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知拋物线
的焦点为F，准线为直线
，过点F 的直
线l 与C 相交于A，B 两点，则
面积的最小值为（ ）
A．18
B．16
C．12
D．8
6．如图，设抛物线
的焦点为
，过
轴上一点
作直线交
于
，
两点，若
，
，则
（ ）
A．4
B．3
C．
D．
7．已知抛物线
的焦点为
的准线与
轴交于点
，若
为
上一点，
为钝角，且
，则
.
8．已知抛物线
的准线为，点
在
上，直线
，点
到直线
的距离与到直线
的距离之和的最小值是 .
9．已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
为
上两点，
．则
的最小值
为
10．抛物线
上的一点
到
轴的距离为12，则
与焦点
间的距离
．
11．已知
为抛物线
上的两点，若
是边长为
的等边三角形，
为坐标原点，
则抛物线方程为 ．
考点02 抛物线的几何特征
1．点
在抛物线
上，若点
到点
的距离为6，则点
到
轴的距离为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．已知
，则方程
表示的曲线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列抛物线中，开口最小的是
A．
B．
C．
D．
4．方程
与
在同一坐标系中的图象大致是 ( )
A．
B．
C．
D．
5．已知抛物线
，其中
，
是过拋物线焦点
的两条互相垂直的弦，直线
的倾斜角为
，当
时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
6．已知抛物线
的焦点为
准线为
为抛物线上一点，过点
作直线
于点
，且
的内心
，则
内切圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．双曲线
的两条渐近线与拋物线
的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则
双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
8．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
上，则这个等边三角形的边长为
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
9．
是抛物线
上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且
的重心恰为F，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．已知椭圆
：
与抛物线
：
交于
两点，
为坐标原点，若
的
外接圆经过点
，则
等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4
11．已知
为坐标原点，垂直抛物线
的轴的直线与抛物线
交于
两点，
，
则
，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
考点03 抛物线焦点弦问题
1．已知抛物线
：
的焦点为
，准线为，过点F 的直线与抛物线交于点
，
，点
在上的射影为
，则下列命题中错误的是（ ）
A．若
，则
B．以
为直径的圆与准线相切
C．设
，则
D．过点
与抛物线
有且仅有一个公共点的直线至多有2 条
2．已知直线与抛物线
交于
两点，且
交
于
，点
的坐标为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线
过抛物线
的焦点
，且与抛物线
交于
两点，则线段
的中点到准线的距离为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
4．已知抛物线
的焦点是
，直线
均过焦点
且互相垂直，则
的值是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．已知抛物线
的焦点
在直线
上，过
作直线交抛物线于
两点，则
的最小值为（ ）
A．36
B．54
C．82
D．108
6．已知抛物线
的焦点为
，直线过点
且与
交于
两点（
在
点上方），过
点
分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为
，则
的大小为 ．
7．已知抛物线
的准线与以
为直径两端点的圆相切，过抛物线
的焦点
的动直线与抛物线交于A，B 两点，则
的最小值为 .
8．已知直线l 与椭圆C：
交于A，B 两点，与抛物线E：
交于P，Q 两点（P 在x
轴上方），且直线l 过E 的焦点F，若线段AB 的中点为M，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为
，则
．
9．如图，已知抛物线的标准方程为
，其中
为坐标原点，抛物线的焦点坐标为
，
为抛物线上任意一点（原点除外），直线
过焦点
交抛物线于
点，直线
过点
交抛物线
于
点，连接
并延长交抛物线于
点．
(1)若弦
的长度为
，求
的面积；
(2)求
的最小值．
10．如图所示，设抛物线
的焦点为
，经过点
的直线交抛物线于
两点，且
两点
坐标分别为
，
是抛物线的准线上的一点，
是坐标原点.若直线
的斜率分别为：
，判定
和
的值大小关系，并说明理由.通
过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即
和
的值大小关系）不变，并证明你的结论.
11．设抛物线
的焦点为
，过点
的直线交
于
两点，且
的最小值为4.
(1)求
的方程；
(2)设过
的另一直线交
于
两点，且点
在直线
上.
（i）证明：直线
过定点
；
（ii）对于（i）中的定点
，当
的面积为
时，求直线
的方程.
考点04 抛物线中的定点、定值问题
1．已知抛物线
为坐标原点，直线与抛物线
相交于
两点，且直线
的斜率之积
为-2，则点
到直线的最大距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
2．如图所示，已知拋物线
过点
，圆
．过圆心
的直线与抛物线
和圆
分别交于
、
、
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是抛物线
上异于原点的两点，且以
为直径的圆过原点，过点
向直线
作垂线，垂足为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知抛物线
的焦点为
，过点
作直线与抛物线
交于
两点，则说法不
正确（ ）
A．线段
长度的最小值为
B．当直线斜率为
时，
中点坐标为
C．以线段
为直径的圆与直线
相切
D．存在点
，使得
5．已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线
与抛物线
交于
两点，点
为坐标原点，则
是（ ）
A．直角
B．锐角
C．钝角
D．与点
位置有关
6．如图，已知抛物线
，直线过点
与抛物线
交于
两点，点
关于
轴的对称点
为
，连接
.直线
是否过定点？ （填“是”或“否”）.若是，则定点坐标为 .
7．已知抛物线
与直线
相切，在
轴的正半轴上，是否存在某个确定的点
，过该点的动直线与抛物线
交于
两点，使得
为定值？ （填“存在”或“不
存在”），若存在，求出点
的坐标为 ．
8．已知抛物线
，过点
任作一条直线与抛物线
交于
，
两点，设点
，连接
，
并延长，分别与抛物线
交于点
，
，则直线
过定点 ，
．
9．过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
，则
．
10．已知点
在抛物线
上，且
的焦点为
，过点
作直线与
交于
、
两点，则
的取值范围为 ；若直线
、
分别交
于
、
两点（点
、
异于点
、
），则
．
11．如图，已知抛物线
，过点
作斜率为
，
的直线，
，分别交抛物线于点
，
与
，
．
(1)若点
是抛物线
上位于第一象限内一点，且其到焦点
的距离为2，求点
的坐标；
(2)若
，证明：
；
(3)若直线
过点
，请判断直线
是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理
由．
12．在平面直角坐标系
中，曲线
的点均在圆
外，且对
上任意一点
，点
到
直线
的距离比点
到点
的距离小1．
(1)求曲线
的方程；
(2)若直线上一动点
，过点
作圆
的两条切线，切点分别为
，求四边形
面积的最小值；
(3)设
为直线上一动点，过点
作圆
的两条切线，分别与曲线
相交于点
和
．探究：点
的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
13．（1）抛物线
的两条弦AB、CD 交于点
， M、N 分别为AB、CD 中点；
（i）证明： 若
(b 为常数)，则直线MN 过定点；
（ii）若
(c 为常数)，求与直线MN 平行的定直线；
（2）抛物线
交y 轴于C，抛物线
交y 轴于D．设A 为抛物线
顶点
右侧一点，过点A 作
切线交y 轴于B．设M 为
上一点，作
轴交直线AB 于点N．若B 为CD 中
点，且MN 最小值的最大值为4，求
的值．
考点05 抛物线与直线的位置关系
1．抛物线
与直线
交于
两点，
为坐标原点，且满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．如图，已知抛物线
，过
作直线
交抛物线于
，连接
，将
绕
轴
旋转一周得到旋转体
，则
的体积最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线
与抛物线
相交于
两点，若直线OA 与OB 的斜率之和为4，O 为坐标
原点，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知抛物线
的焦点为
，过
作直线交抛物线于
两点，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
为抛物线
上一点，直线与抛物线
交于
，
两点，点
不在直线上，
且直线
与
的倾斜角互补，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设抛物线
，焦点F，直线l 过点
且斜率为
，与C 交于
，
两点，满足
．若Q 为抛物线上一点，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）已知抛物线
的焦点为
，
为
轴上一点，且
，线段
与抛物线
相交于点
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．直线
的方程为
B．以线段
为直径的圆与
轴相切
C．
D．
8．设抛物线
的焦点为
，直线
与抛物线
交于点
在
轴上方），
为坐标原点，
.则（ ）
A．
B．
C．
与
面积之比为3
D．
面积为
9．已知抛物线
的焦点为
，
是圆
上一点，过
作抛物线
的两条切线，
切点分别为
，若
分别与
轴交于点
，则
外接圆半径的最小值为 .
10．设抛物线
的焦点为
，准线为，
是与
轴的交点，
．过此抛物线上一点
作直线
的垂线，垂足记为点
，
与
相交于点
，若
，则点
到
轴的距离为 ．
11．过点
作直线与抛物线
：
相交于
两点，是
的准线，过
作
且交于
，过B 作
且交于
.
(1)当
，且
与
轴平行时，
,求抛物线
的方程；
(2)记
,
（i）若
，是否存在
，使得
为定值？若存在，则求出
；若不存在，请说明理由；
（ii）若
，且
的斜率为
，求
的取值范围.
12．综合与探究：在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与
轴交于
两点（点
在点
的右侧），与
轴交于点
，它的对称轴与
轴交于点
，直线经过
两点，连接
.
(1)求
两点的坐标及直线的函数表达式；
(2)探索直线上是否存在点
，使
为直角三角形，若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点
是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点
；
①使以点
为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，说明理由；
②使以点
为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，说明理由.
13．已知
是抛物线
的焦点，
是
上的一点，且
．
(1)求
的方程；
(2)若过点
的直线与
交于
两点，且
，求的方程．
14．设抛物线
的焦点为
，
为
上位于第一象限的一点，当
轴时，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为
上不与
重合的两动点，且直线
的斜率之和为0．
（ⅰ）设
的纵坐标为，求直线
的斜率；
（ⅱ）设
外接圆的圆心为
，圆
在点
处的切线为，证明：与
有且仅有一个公共点．
15．在平面直角坐标系
中，动点
到点
的距离与到直线
：
的距离相等，记
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线过点
与曲线
交于点
，
，点
满足
，当直线
斜率最大时，求点
的坐标.
