专题15圆锥曲线的方程（单元测试卷）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题15圆锥曲线的方程（单元测试卷）-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题15 《圆锥曲线的方程》单元测试卷 一、单选题 y2 4x 1．（2020·辽宁省高三月考（文））若抛物线 上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离 是（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】 y2 4x F1，0 x1 抛物线 的焦点 ，准线为 ，由M到焦点的距离为10， 可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9，故选C． x2 y2  1 2．（2019·涟水县第一中学高二月考）椭圆 m 4 的焦距为2，则m的值等于（ ） 5 3 5 3 8 A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解析】 x 2 m4 2 m5 若椭圆的焦点在 轴上时，则有 ，解得 ； y 2 4m 2 m3 若椭圆的焦点在 轴上时，则有 ，解得 . m5 3 综上所述， 或 . 故选：C. 3．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方 程是（ ） A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x 【答案】B 【解析】 ∵准线方程为x=﹣2 ∴ =2∴p=4 ∴抛物线的方程为y2=8x 故选B F C: y2 3x F 30 C A B 4．（2020·天津高三一模）设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， AB  两点，则 （ ） 30 A． 3 B．6 C． 12 D．7 3 【答案】C 【解析】 3 3 3 3 F( ,0) k tan300  y  (x ) 由题意，得 4 ．又因为 3 ，故直线AB的方程为 3 4 ，与抛物线y2=3x 联立，得 16x2 168x90 ，设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ) ，由抛物线定义得， AB  x 1 x 2  p  168 3  12 16 2 ，选C． ab9 c3 5．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））已知 ， ，则椭圆的标准方程是（ ） x2 y2 x2 y2  1  1 A．25 9 B．25 16 x2 y2 x2 y2 x2 y2  1  1  1 C．25 16 或16 25 D．16 9 【答案】C 【解析】 ab9 c3 a2 b2 c2 a2 25 b2 16 由 ， ， ，可解得 ， ， x2 y2 则当椭圆的焦点在 轴上时，此时椭圆的标准方程为：  1； x 25 16x2 y2  1 当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：16 25 . 故选：C x2 y2  1b0 6．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））双曲线12 b2 的一条渐近线为 2x 3y 0， 则b（ ） 3 2 2 A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 b y  x 双曲线的焦点在x轴，a2 3，渐近线方程是 a ，而已知一条渐近线为 2x 3y 0， 2 6 b 6 k    3 3 ，所以 2 3 3 ，解得： b2 2 . 故选：D 1 e 7．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率 2 ，则椭圆的 标准方程为（ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2  y2 1 x2  1  1  1 A． 2 B． 2 C． 4 3 D． 3 4 【答案】D 【解析】 1 x2 y2 e  1 由题意知c1，又离心率 2 ，所以a2，b2 a2 c2 3，即所求椭圆的标准方程 3 4 ， 故选D． x2 y2  1 8．（2019·涟水县第一中学高二月考）设双曲线a2 b2 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程为( ) 2 A．y＝± x B．y＝±2x 2 1 C．y＝± 2 x D．y＝±2 x 【答案】C 【解析】 3 由题意知2b=2,2c=2 , 3 2 ∴b=1,c= ,a2=c2-b2=2,a= , b 1 2 ∴渐近线方程为y=±a x=± 2 x=± 2 x.故选C. x2 y2 9．（2019·浙江省高二期中）如图，A， B ，C是椭圆a2  b2 1 ab0 上的三个点，AB经过原 BF 3CF 点 O ， AC 经过右焦点F ，若 BF  AC 且 ，则该椭圆的离心率为（ ） 1 2 3 2 A．2 B． 2 C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】F AF,CF,BF BF  AC AFBF 取左焦点 1，连接 1 1 1， ，根据椭圆的对称性可得： 1是矩形， CF m, CF 2am, BF  AF 3m, AF 2a3m, AC 2a2m 设 1 1 ， 2 2 2 RtAFC AF  AC  CF (3m)2 (2a2m)2 (2am)2 1 中， 1 1 即： a m AF a, AF a 解得： 3 ，则 1 c2 1 2 2 2 a2 2c2,  在RtAF 1 F 中 AF 1  AF  FF 1 即：a2 a2 (2c)2， a2 2 2 所以椭圆离心率为 2 . 故选：B x2  y2 1(a 1) 10．（2018·安徽省合肥一中高三一模（文））已知椭圆a2 的左、右焦点分别为F ，F ， 1 2 A C FA FF AF 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆 与 1 的延长线， 1 2的延长线以及线段 2都相切，且 M 3,0 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ） 3 2 2 2 6 A． 2 B． 3 C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】设圆 C 与 F 1 A 的延长线相切于点 N ，与 AF 2相切于点T ，由切线长相等，得 AN  AT ， FN  FM FT  F M F(c,0) F (c,0) 1 1 ， 2 2 ， 1 ， 2 ， AF  AF 2a 由椭圆的定义可得， 1 2 ，   FN  FM 3c AF + AN 2a AF  AN 2a AN  AT +TF 1 1 1 2 2 2a F M 2a(3c) 2 ， 则2a6，即a3， b1 c a2 b2 2 2 又 ，所以 ， c 2 2 e  因此椭圆的离心率为 a 3 . 故选：B. 二、多选题 11．（2019·山东省青岛二中高二月考）（多选题）下列说法正确的是（ ） x2 xy  x A．方程 表示两条直线 x2 y2  1 B．椭圆10m m2 的焦距为4，则m4 x2 y2 C．曲线  xy关于坐标原点对称 25 9 x2 y2 b   y  x D．双曲线a2 b2 的渐近线方程为 a【答案】ACD 【解析】 x2 xy  x xx y10 x0 x y10 方程 即 ，表示 ， 两条直线，所以A正确； x2 y2 椭圆10m  m2 1 的焦距为4，则10mm24或m210m4，解得m4或 m8 ，所以B选项错误； x2 y2 x2 y2 曲线  xy上任意点Px,y，满足  xy，Px,y关于坐标原点对称点Px,y也满足 25 9 25 9 x2 y2 x2 y2 x2 y2  xy Px,y  xy  xy 25 9 ，即 在25 9 上，所以曲线25 9 关于坐标原点对称， 所以C选项正确； x2 y2 b   y  x 双曲线a2 b2 即0，其渐近线方程为 a 正确，所以D选项正确. 故选：ACD C F F y 12．（2019·山东省高二期中）已知椭圆 的中心在原点，焦点 1， 2在 轴上，且短轴长为2，离心率 6 为 3 ，过焦点F 1 作y轴的垂线，交椭圆C于 P ，Q两点，则下列说法正确的是（ ） y2 x2 x2 1  y2 1 A．椭圆方程为 3 B．椭圆方程为 3 2 3 PQ  C． 3 D．PFQ的周长为4 3 2 【答案】ACD 【解析】c 6  由已知得，2b=2，b=1，a 3 ， a2 b2 c2 a2 3 又 ，解得 ， y2 x2 1 ∴椭圆方程为 3 ， 如图： 2b2 2 2 3 PQ    ∴ a 3 3 ，PFQ的周长为 4a4 3 ． 2 故选：ACD． 3   y  x 3, 2 13．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知双曲线C过点 且渐近线为 3 ，则下列结 论正确的是（ ） x2  y2 1 A．C的方程为 3 B．C的离心率为 3 y ex2 1 C x 2y10 C C．曲线 经过 的一个焦点 D．直线 与 有两个公共点 【答案】AC 【解析】 3 1 1 y  x y2  x2 x2  y2  对于选项A：由已知 3 ，可得 3 ，从而设所求双曲线方程为3 ，又由双曲线1  3, 2  32 ( 2)2  C过点 ，从而3 ，即1，从而选项A正确； c 2 2 3 e   对于选项B：由双曲线方程可知 a  3 ， b1 ， c2 ，从而离心率为 a 3 3 ，所以B选项 错误； 2,0 y ex2 1 对于选项C：双曲线的右焦点坐标为 ，满足 ，从而选项C正确； x 2y10  对于选项D：联立 x2 ，整理，得 ，由 ，知直线与   y2 1  3 y2-2 2y20 (2 2)2 420 C 双曲线 只有一个交点，选项D错误. 故选AC 三、填空题 x2  y2 1 14．（2019·江苏省高三三模）双曲线 2 的焦距为______. 2 3 【答案】 【解析】 x2  y2 1 双曲线 2 的焦距为2c2 a2 b2 2 3. 2 3 故答案为： . x2 y2 15．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））若双曲线  1的左焦点在抛物线 y2 2px 的准线上， 5 4 p 则 的值为________. 【答案】6 【解析】 x2 y2 p 双曲线 5  4 1 的左焦点为 3,0 ，即 - 2 =-3 ，故 p=6.6 故答案为： . x2 y2 C：  1 16．（2020·浙江省高三二模）已知椭圆 9 7 ，F为其左焦点，过原点O的直线l交椭圆于A，B 两点，点A在第二象限，且∠FAB＝∠BFO，则直线l的斜率为_____． 7  【答案】 3 【解析】 x 2 y 2 设Ax 0 ,y 0  ，则Bx 0 ,y 0  ，x 0 0，y 0 0且 9 0  7 0 1 ， ∵F为其左焦点， y y   tanBFO 0 k  0 ∴F  2,0 ， x  2 ，直线AB的斜率 1 x ． 0 0 y k  0 经分析直线AF的斜率必存在，设为 2 x  2 ， 0 k k 2y tanFAB  1 2  0 则 1k k x 2  2x  y 2 ， 1 2 0 0 0 2y y 0  0 又 FABBFO ，∴ x 2  2x  y 2 x  2 ， 0 0 0 0 x 2 y 2 3 2 14 0  0 1 x  y  ∴x 2 2 2x  y 2 2，又 9 7 ，x (3,0)，可解得： 0 2 ， 0 2 ， 0 0 0 0 y 7 0  ∴直线l的斜率为 x 3 ． 0 7  故答案为： 3 ． 17．（2019·乐清市知临中学高二期末）已知抛物线 y2 2x 的焦点为F ，定点 A3，2 .若抛物线上存在一M MA  MF M 点 ，使 最小，则点 的坐标为________，最小值是______. 7 2，2 【答案】 2 【解析】 MH 根据题意，作 垂直于准线，画出几何关系如下图所示：MF  MH 根据抛物线定义可知， ， A,M,H MA  MF 因而当 在同一直线上时， 的值最小， 7 此时 MA  MF  AH  ， 2 M 42x 的纵坐标为2，代入抛物线解析式可知 ， M 2,2 所以M 的横坐标为2，即 ， 7 M 2,2 故答案为： ，2 ； 四、解答题 x2 y2  1a0,b0 18．（2018·镇原县第二中学高二期末（文））已知双曲线a2 b2 的一条渐近线方程是 y  3x y2 24x ，它的一个焦点在抛物线 的准线上. （1）求双曲线的焦点坐标； （2）求双曲线的标准方程. x2 y2  1 【答案】（1）F6,0 ；（2） 9 27 【解析】 y2 24x x6 因为抛物线 的准线方程为 ， F 6,0 则由题意得，点 1 是双曲线的左焦点. F6,0 （1）双曲线的焦点坐标 . a2 b2 c2 36 （2）由（1）得 ， y  3x 又双曲线的一条渐近线方程是 ，b  3 所以a ，解得a2 9，b2 27， x2 y2  1 所以双曲线的方程为： 9 27 . y2 2px(p 0) F M 19．（2019·湖南省衡阳市八中高二月考）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， MF 5 且点M 的横坐标为4， ． （1）求抛物线的方程； F 45 l A、B AB （2）设过焦点 且倾斜角为 的 交抛物线于 两点，求线段 的长． y2 4x 8 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 p MF 4 5 （1）由题意得 2 ， p 2 y2 4x ∴ ，故抛物线方程为 ． l y0tan45(x1) y  x1 （2）直线 的方程为 ，即 ． y  x1  与抛物线方程联立，得 y2 4x ， y x2 6x10 x,x x x 6 消 ，整理得 ，其两根为 1 2，且 1 2 ． |AB| x  x  p 628 由抛物线的定义可知， 1 2 ． 所以，线段AB的长是8． 20．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴， 2,1 其准线过点 . (1)求抛物线C的方程；2 2 (2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为 ，求直线l的方程. y2 8x x y20 【答案】(1) ；(2) 【解析】 x y2 2px (1)由题意得，抛物线的焦点在 轴正半轴上，设抛物线C的方程为 ， p 因为准线过点 2,1 ，所以 2 2 ，即 p 4 . y2 8x 所以抛物线C的方程为 . F2,0 (2)由题意可知，抛物线C的焦点为 . 2 2 当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为 ，不合题意； y kx2 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， 2 2 要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为 ， l: y kx2 过点P的直线平行直线 且与抛物线C相切. ykxm 设该切线方程为 ， y2 4x k2x2 2km8xm2 0 代入 ，可得 . 2km82 4k2m2 0 由 ，得km2. 2km 2 2 由 k2 1 ，整理得 m2 4k2， km2 k2 1 k 1 又 ，解得 ，即 . x y20 因此，直线l方程为 . C x2 2py(p0) F M(p,p1) 21．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））设抛物线 ： 的焦点为 ，是C上的点． C （1）求 的方程： （2）若直线 l ： y  kx2 与 C 交于A，B两点，且 AF  BF 13 ，求 k 的值． x2 4y k 1 【答案】（1） （2） . 【解析】 M p,p1 C （1）因为 是 上的点， p2 2pp1 所以 ， p0 p 2 因为 ，解得 ， C x2 4y 抛物线 的方程为 . Ax ,y  Bx ,y  （2）设 1 1 ， 2 2 ， y kx2  由  x2 4y 得 x2 4kx80 ， 16k2 320 x x 4k x x 8 则 1 2 ， 1 2 ， AF  y 1 BF  y 1 由抛物线的定义知， 1 ， 2 ， AF  BF y 1y 1kx 3kx 3 则 1 2 1 2 ， k2x x 3kx x 9 1 2 1 2 ， 4k2 913 ， 解得k 1. l x y90 M M 22．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））在直线 ： 上任取一点 ，过 作以F 3,0 F 3,0 1 ， 2 为焦点的椭圆，当M 在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程. x2 y2 M 5,4  1 【答案】 ，45 36 【解析】 F 3,0 Fx,y l x y90 设 1 关于 ： 的对称点 ， x3 y  90   2 2 x9   则  y0 y 6 ， 1 x3 F9,6 F F ，连 2 交 l 于M ，点M 即为所求点. 1 y  (x3) F F ： 2 ，即x2y30， 2 x2y30 x5   解方程组  x y90  y 4 ，M 5,4，当点 M ' 取异于 M 的点时， FM '  M 'F 2  FF 2 . 满足题意的椭圆的长轴最短时，2a FF  932 62 6 5 ， 2 a 3 5 c3 b2 a2 c2 45936 所以 ， ， . x2 y2  1 椭圆的方程为：45 36 .x2 y2 C:  1 (a b0) 23．（2019·安徽省高二期末（理））已知点O为坐标原点椭圆 a2 b2 的右焦点为 1 7 F ，离心率为2 ，点P,Q分别是椭圆C的左顶点、上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为 2 ． C （1）求椭圆 的标准方程；   F l A、B PA、PB x2a M、N FM FN （2）过点 的直线 交椭圆于 两点直线 分别交直线 于 两点，求 ． x2 y2  1 【答案】（1） 4 3 ；（2）0. 【解析】 （1）如图所示7 由题意得△POQ为直角三角形，且PQ上的中线长为 2 ， PQ  7 所以 ． c 1   a 2  则   a2 b2  7 ，解得 a 2 .   a2 b2 c2 b 3    c1   x2 y2  1 所以椭圆的标准方程为： 4 3 . （2） l xmy1 由题意，如图设直线 的方程为： ， Ax ,y  Bx ,y  M 4,y  N4,y  1 1 ， 2 2 ，则 3 ， 4 ，  xmy1  x2 y2 联立方程  1化简得 .   4 3 (3m2 4)y2 6my90 6m y  y    1 2 3m2 4  则 9 .  y y   1 2 3m2 4 y 0 y 0 3  1 由P,A,M 三点共线易得42 x 2， 1 6y 6y y  1 y  2 化简得 3 my 3，同理可得 4 my 3. 1 2   6y 6y 36y y FM FN (3,y ) (3,y )9 y y 9 1  2  1 2 9 3  4 3 4 my 3 my 3 m2y y 3my  y 9 1 2 1 2 1 2 9 36( ) 3m2 4 369  9 90 ． 9 6m 9m2 18m2 9(3m2 4) m2( )3m( )9 3m2 4 3m2 4