文档文本内容
专题 06 双曲线的方程 11 大考点
考点 01 求双曲线的标准方程
考点 02 双曲线定义的判断及应用
考点 03 双曲线的筒单性质
考点 04 双曲线的焦点三角形
考点 05 双曲线的轨迹方程
考点 06 双曲线的离心率问题
考点 07 双曲线的渐近线问题
考点 08 直线与双曲线的位置关系
考点 09 双曲线的弦长问题
考点 10 双曲线的中点弦问题
考点 11 双曲线的解答题综合
考点 01 求双曲线的标准方程
1．已知双曲线 经过点
，离心率为
，则双曲线 的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为双曲线 经过点
，所以双曲线 的焦点在 轴上，
所以
，又因为离心率为
，
即
，解得
，
所以
，
所以双曲线 的标准方程为
.
故选：D.
2．从某个角度观察篮球（如图 1），可以得到一个对称的平面图形，如图 2 所示，篮球的外形形状为圆 O，
1 / 42
将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分，
，视 AD 所在直线为 x 轴，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，设双曲线方程为
，
因为
，则
，
显然圆 O 的半径为 3，
又因为坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分，
双曲线与圆 O 交于第一象限内的点为
，
于是
，解得
，
所以双曲线的方程为
.
故选：A
3．与椭圆
共焦点且过
的双曲线方程为
．
【答案】
2 / 42
【详解】因为在椭圆
中，
所以
，
所以椭圆的焦点为
所以所求双曲线的焦点也为
设所求双曲线的方程为
，
则有
，
解得
，
所以所求双曲线方程为
.
故答案为：
4．已知双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，则双曲线
的标准方程
为
．
【答案】
【详解】设与双曲线
有相同的渐近线的双曲线方程为
，
将
代入
得
，
故所求双曲线方程为
，即
.
故答案为：
5．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在 x 轴上，经过点
，
；
(2)与双曲线
有相同的渐近线，且过点
．
【答案】(1)
；
(2)
.
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【分析】
【详解】（1）依题意，设双曲线方程为
，由该双曲线过点
，
得
，解得
，所以所求双曲线标准方程为
.
（2）设与双曲线
有相同的渐近线的双曲线方程为
，
由该双曲线过点
，得
，
所以所求双曲线的标准方程为
，即
.
考点 02 双曲线定义的判断及应用
6．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线上，
.
【答案】
【详解】点
在双曲线
上，而
，则点 在该双曲线的左支上，
又
，
分别为该双曲线的左、右焦点，因此
，
所以
.
故答案为：
7．已知双曲线
的上、下焦点分别为
，
，点 P 在双曲线 C 上，若
，则
（
）
A．3
B．17
C．3 或 15
D．1 或 17
【答案】C
【详解】由题意有：
，
，
，
由双曲线的定义有：
，且
，
所以
，所以
或 .
故选：C.
8．已知点
的坐标满足
，则动点 P 的轨迹是（
）
A．椭圆
B．双曲线
C．两条射线
D．双曲线的一支
【答案】D
【详解】设点
，点
，
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而方程的几何意义是点 到两定点 M，N 的距离之差为
，
即
，
∴动点 的轨迹是双曲线的一支．
故选：D.
9．在平面直角坐标系
中，已知点
，
，点
是平面内一个动点，则下列说法正确的是（
）
A．若
，则点 的轨迹为椭圆
B．若
，则点 的轨迹为椭圆
C．若
，则点 的轨迹为直线
D．若
，则点 的轨迹为双曲线的一支
【答案】D
【详解】由
，结合椭圆的定义，显然 的轨迹不是椭圆而是线段
，故 A 错误；
设
，由
，所以
，
整理得
，所以点 的轨迹为以
为圆心， 为半径的圆，故 B 错误；
由
，则点 的轨迹为以 为端点（向右）的射线，故 C 错误；
由
，根据双曲线的定义，则点 的轨迹为双曲线的右支，故 D 正确.
故选：D
考点 03 双曲线的筒单性质
10．已知双曲线
的虚轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】双曲线
即
，
又虚轴长为 ，所以
，
则双曲线方程为
，所以双曲线的渐近线方程为
.
故选：B
11．双曲线
的一条渐近线方程为
，则 C 的焦距为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【详解】由双曲线
可知，其渐近线方程为
，
由题意可知，
，
所以
，则
，解得
，
所以双曲线 C 的焦距为
．
故选：D．
12．双曲线
与
的（
）
A．实轴长相等
B．虚轴长相等
C．渐近线方程相同
D．焦距相等
【答案】C
【详解】对于双曲线
的实轴长为 4，虚轴长为
，
焦距为
，渐近线方程为
；
对于双曲线
，当
时，实轴长为
，
虚轴长为
，焦距为
，渐近线方程为
；
当
时，实轴长为
，虚轴长为
，
渐近线方程为
，焦距为
.
故选：C
13．（多选）已知双曲线
，则（
）
A． 的虚轴长为
B． 的离心率为
C． 与直线
仅有 1 个公共点
D． 关于直线
对称
【答案】BC
【详解】由题意知 的虚轴长为
，A 错误；
双曲线 的离心率为
，B 正确；
为 的渐近线，所以
与
平行，故 与
仅有一个公共点，C 正确；
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交换位置后的方程与原来的方程不同，故 不关于直线
对称，D 错误.
故选：BC
14．已知双曲线 ：
的两条渐近线的倾斜角均小于
，则 的焦距的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由双曲线
可知
，焦距为
，
该双曲线的渐近线方程为
，
因为
，
所以直线
的斜率
，所以倾斜角为锐角，符合题意；
直线
的斜率为
，设直线
的倾斜角为 ，
所以
，
因为
，
所以由题意可知
，
所以
、
，
故选：A
考点 04 双曲线的焦点三角形
15．已知双曲线的两个焦点
是双曲线上一点，且
，则双曲线
的标准方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，
，
则由已知得
，
又
，
7 / 42
所以
，又因为
，所以
，
所以双曲线的标准方程为
.
故选：C.
16．已知点
分别是双曲线
的左､右焦点，若点 是双曲线左支上的点，且
的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】 点 是双曲线左支上的点，
，
又
，设
，
，解得
，
，
又双曲线
，
，
，
，
，
.
故选：D.
17．已知
，
是双曲线 ：
的两个焦点， 为 上一点，且
，若
的面积是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，
.
由题意，
，
，
则
中，
由余弦定理可得:
，
8 / 42
则
，
所以
.
由双曲线的焦点三角形的面积公式可知
，解得
，
即
．
故选：A.
18．已知双曲线
的左､右焦点分别为
，抛物线
以
为焦点，
与 的一个交点为 ，若
的周长为
，则
.
【答案】
.
【详解】设双曲线 的半焦距为
，
，由题可知
，则
；
如图，过点
作 轴的垂线 ，过点 作 的垂线，垂足为点 ，则 为 的准线，所以
；
由题可知
，解得
，所以
；
在
中，由勾股定理可得
，又
，所以
；
所以
，整理可得
，解得
，因为
，所以
，即
；
故答案为：
.
9 / 42
19．设双曲线
的左，右两个焦点分别为
， ， 是双曲线上任意一点，过
的直线与
的
平分线垂直，垂足为 ，则线段
的长度为
.
【答案】4
【详解】设直线
交
的延长线于点
，如图所示，
因为
为
的平分线，
，所以 为
的中点，
,
又因为 为
的中点，
则
故答案为：
20．设双曲线
，
，
是其两个焦点，点 P 在双曲线右支上.若
，
(1)求双曲线的渐近线方程.
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由双曲线
，则
，故
，
即
，则双曲线的渐近线方程为
.
（2）由（1）知，
，则
，
由双曲线定义得
，
两边平方得
①，
由余弦定理得
，
即
②，
10 / 42
② ①得：
，
所以
．
考点 05 双曲线的轨迹方程
21．已知点 到直线
和
的距离之积为 3，记 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A． 是两条互相垂直的直线
B． 是焦点在 轴上的椭圆
C． 是离心率为 2 的双曲线
D． 上的点与原点之间的距离不小于 2
【答案】D
【详解】设点
，由题意知
，即
，
故点 的轨迹为
和
，
这两个方程分别表示焦点在 轴和 轴上的双曲线，离心率分别为
和 2，故 A，B，C 均错误；
因为双曲线上的点到原点的距离不小于双曲线的顶点到原点的距离，
两个双曲线的顶点坐标分别为
和
，所以 C 上的点与原点之间的距离不小于 2，D 正确．
故选：D．
22．已知圆
，点 在圆 A 上运动，设线段 PB 的垂直平分线和直线 PA 的交点为
，则 点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为圆心
，
，所以
，
因为线段 PB 的垂直平分线和直线 PA 的交点为 ，
所以
，
所以
，
所以 Q 点轨迹为双曲线，且
，
11 / 42
所以
，则 点的轨迹方程为
.
故选：B
23．已 知
，一炮弹在某处爆炸，在 处听到爆炸声的时间比在 处早
，设声速为 340
．则爆炸点所在曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可知，爆炸点到 的距离比到 的距离少
，
又
，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支，
其中
，
，则
，
又
，故爆炸点所在曲线的方程为
.
故选：B.
24．动圆
过定点
，与定圆
外切，则动圆圆心
的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题设
，圆 的半径为 ，则
，
12 / 42
所以
，点
的轨迹是以 ， 为焦点，
所以
，
的双曲线的左支，
又
，则
，故
，
动圆圆心的轨迹方程为
.
故选：C
25．方程
的化简结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据
，
可得点
到点
的距离差的绝对值等于
，
结合双曲线的定义知，点
的轨迹是以
为焦点的双曲线，
，则
，
，所以
，
，
故方程为：
，
故选：A.
考点 06 双曲线的离心率问题
26．已知椭圆
和双曲线
有公共焦点
（
为左焦点）， 与
在
第三象限交于点
，直线
交 轴于点
，且
平分
，则
的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
13 / 42
由题可知，
，即
，
，
，得
.
设
，因为
平分
，由角平分线定理可知，
，即
，整理得
.
在
中，设
，根据余弦定理，有：
，
又因为在
中，
，
故可得
，整理得
，
解得
或
（舍去），
故
的离心率
.
故选：B.
27．已知双曲线 C：
的左、右焦点分别为
，
，以
为圆心，
为半径的圆与
双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【详解】设半焦距为 ，依题意，得右焦点
到渐近线
的距离为
，
即
，
.
故选：C.
14 / 42
28．已知双曲线
的左、右焦点分别是
，
，过点
的直线与双曲线 的右支交
于 ， 两点，若
，则双曲线 离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据双曲线的定义，有
，
两式相加得
，
又
，所以
，
又
，所以
，
当
轴时
最小，此时
，
所以
，又
，
则
，整理得
，
又
，两边除以
得
，解得
，
又双曲线的离心率
，所以双曲线的离心率取值范围是
.
故选：D
29．已知 是双曲线
左支上的一点，
是 的左焦点，点 关于原点 的对称点
为 ，延长
交 于点
，且
，则 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设
，因为
，所以
.
由于
，所以
.
设双曲线的右焦点为
，因为点 关于原点 的对称点为 ，所以原点为
的中点，
所以
，所以
.
因为
，所以
与
全等，
15 / 42
所以
，所以
，
所以
，所以
.
对于点 ，根据双曲线定义得
，即
.
对于点
，根据双曲线定义得
，即
.
在
中，根据勾股定理得
，
又
，
代入得
，解得
.
在
中，根据勾股定理得
，
即
，
将
代入得
，化简得
，
解得
.
故选：D.
30．设
分别为双曲线
的左､右焦点，点 在 的右支上，直线
与 的右
支的另一个交点为 ，若
，则双曲线的离心率为
.
【答案】
/
【详解】由双曲线的定义
，
所以
，
，
设
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，整理得
，
所以
，
16 / 42
在
中，
，
即
，即
，所以
.
故答案为：
31．已知
，
是双曲线
的左、右焦点，点 在 上，
与 x 轴垂直，若
的外接圆半径是其内切圆半径的
倍，则 E 的离心率为
.
【答案】 或
【详解】
设
，
与 x 轴垂直，
，
代入双曲线方程得
，解得
，
，
点 在双曲线的右支上，则
，
，
是直角三角形，
外接圆半径
，
设
内切圆的半径为 ，又
，
则
，即
，解得
，
的外接圆半径是其内切圆半径的
倍，
，即
，
17 / 42
整理得
，两边同时除以
，得
，
解得
或
.
故答案为： 或 .
考点 07 双曲线的渐近线问题
32．双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，点 是以
为直径的圆与双曲线
的一个交点，若
，则双曲线 的渐近线为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
【详解】如图，不妨设 在第一象限，则
①，又
②，
由①②得到
，又由题知
，
所以
，整理得到
，
所以
，则
，即
，所以双曲线 的渐近线为
，
故选：D.
33．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，过
作 的两条渐近线的平行线，
与渐近线交于
、
两点.若
，则 的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】易知点
，
关于 轴对称，令
，
，
18 / 42
，
，
，
(负值舍去)，
由
，可得
，则
，
， 渐近线方程为
.
故选：B.
34．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线与 的左支交于 A，B 两
点，且
，则 的渐近线为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图．设
，则
，
，
，
在
中，由勾股定理：
，即
，
在
中，由勾股定理：
，即
，
即
，解得
，∴
，
则
，所以渐近线方程：
.
故选：C.
19 / 42
35．如图，双曲线 ：
的左焦点为
，过原点 的直线与 交于 ， 两点（点 位
于第二象限），
为
的中点，直线
为 的一条渐近线，且
，则直线
的方程为
．
【答案】
【详解】设 的右焦点为
，连接
，
.
因为 ，
分别是
，
的中点，所以
．
又直线
是 的一条渐近线，所以
，故
．
由双曲线的对称性，得
．
由
，得
．
又
，所以
，
．
在
中，由余弦定理得
，整理得
，
所以
，
，所以直线
的方程为
．
20 / 42
故答案为：
.
36．已知双曲线
的左､右焦点分别为
，一条渐近线为 ，设过点
且与 垂直
的直线为 ， 交 于点
， 交双曲线 右支于点
，若
，则双曲线 的两条渐近线方
程为
．
【答案】
【详解】由题可得渐近线 的一条方程为
，即
，
则由题可得
到该渐近线的距离为
，
又
，所以
，
由题知
为
的中点，则
，所以
，
故
，
又因为
，所以
，所以
即
，
所以双曲线 的渐近线方程为
．
故答案为：
.
37．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，O 为坐标原点，以点
为圆心且与
C 的渐近线相切的圆与 C 在第一象限交于点 A，B 为
的中点，若
，则 C 的渐近线的斜率为
.
【答案】
【详解】由题意
，双曲线的一条渐近线为
，则点
到渐近线
的距离
，即圆
的半径为 ，连接
，则
，
21 / 42
由双曲线的定义知
，所以
，
在
中， 为
的中点，B 为
的中点，所以
，
，则
为
.
在
中，
，
在
中，
，
因为
，所以
，所以
，
所以渐近线斜率
.
故答案为：
考点 08 直线与双曲线的位置关系
38．如果直线
与双曲线
的右支有两个公共点，求 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】将直线
代入到双曲线
中消 得：
，
若直线与双曲线右支相切时，
，则
（负值舍），
由
的渐近线为
，则
时直线
与双曲线右支有一个交点，如下图示，
22 / 42
要使直线
与双曲线
的右支有两个公共点，由图知
.
故选：
39．已知双曲线
与直线
无交点，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，可得
，
当
时，
，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意，
当
时，即
时，
，
即
，解得
.
故选：B.
40．双曲线
与直线 l：
(m∈R)的公共点的个数为
.
【答案】0 或 1
【详解】因为双曲线
的渐近线方程为
，
所以当
时，直线 l：
与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；
当
时，直线 l 与渐近线
平行，此时直线 l 与双曲线有一个交点．
23 / 42
故答案为：0 或 1.
41．已知直线
与双曲线
交于异支两点，则 的取值范围为
．
【答案】
【详解】由题设，有
，得
，
因为直线与双曲线的两支交于不同的两点，故
，解得
，
故答案为：
42．已知双曲线
.
(1)若双曲线 的离心率为
，求 的值；
(2)若直线
与圆
相切，证明：直线 与双曲线 的左右两支各有一个公共点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题意可得
，因为
，解得
.
（2）因为直线
与圆
相切，所以
，可得
，
联立
得
，即
，
则
，所以方程
有两个不等的实根，
设这两个实根分别为
、
，则
，
因此，直线 与双曲线 的左右两支各有一个公共点.
24 / 42
考点 09 双曲线的弦长问题
43．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，焦距为 6，离心率
．过点
且倾
斜角为
的直线 与双曲线 交于 A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得
，
，
所以
，
，所以
，
，
，
所以双曲线 的方程为
，
因为
，直线 过点
且倾斜角为
，则直线 的斜率
，
所以直线 l 的方程为
，
与双曲线 的方程联立，消去 ，整理得
，
解得
，
，
所以
．
故选：D．
44．已知双曲线
的离心率为 2，过右焦点
作斜率为 1 的直线 与 交于
两
点，若
，则
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】因为双曲线离心率
，所以
．
25 / 42
由
，得
，所以双曲线方程为
，右焦点为
．
由题意知，直线 的方程为
，设
，
联立
，得
，
所以
，
则
，所以
．
故选：A.
45．（多选）已知双曲线
的上、下焦点分别为
，实轴长为 4，点 为 上一点，且
，则（ ）
A． 的焦距为
B．
C．
的面积为
D． 的纵坐标为
【答案】BCD
【详解】A，依题意，知双曲线 的焦点在 轴上，
，所以
，
由
，得
，所以焦距为
，故 A 错误；
B，因为
，所以点 为双曲线 上支的一点，
故由双曲线的定义，可得
，则
，故 B 正确；
C，在
中，
，
所以
，故
的面积为
，故 C 正确；
26 / 42
D，由
的面积为
，即
，解得
，
结合点 为双曲线 上支的一点，代入双曲线 的方程
，可得点 的纵坐标为
，故 D 正
确．
故选：BCD
46．双曲线
的左､右焦点分别为
，点 在双曲线右支上，直线
的斜率为 2.若
是直角三角形，且面积为 8，则双曲线的方程为
，其焦距为
.
【答案】
【详解】如下图：由题可知，点 必落在第四象限，
，
设
，因为
，
所以
，
则由
，得
，
由
，得
，
则
，
所以
，
，
所以双曲线的方程为
，焦距为
，
故答案为：
；
.
47．已知曲线
，两条直线
均过坐标原点 O， 和曲线 C 交于 M，N 两点， 和曲线 C
交于 P，Q 两点，若
的面积为
，则四边形
的面积为
.
【答案】
27 / 42
【详解】曲线
可化为
，为双曲线的标准方程.因为双曲线 关于原点 对称，
直线 过原点，且与双曲线 交于
两点，所以
两点关于原点 对称；直线 过原点，且与双曲线
交于
两点，所以
两点关于原点 对称，
所以
，
由
，得
，
由
，得
，又
所以
，
所以
.
故答案为：
48．已知双曲线 ：
的离心率为
，实轴长为 2．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线
被双曲线 截得的弦长为
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由条件可知，
，所以
，
，
，
所以双曲线 的方程为
；
（2）联立
，得
，
设直线
被双曲线 交于点
，
28 / 42
恒成立，
，
，
，
，
解得：
考点 10 双曲线的中点弦问题
49．若经过点
的直线与双曲线
相交于 ， 两点，且弦
被点
平分，则此直线方程为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设
端点
，
，作图如下：
由 ， 在双曲线上，则
，两式做差可得
，
即
，又弦
被点
平分，
则
，代入上式可得
，则
，
即直线方程为
，化简可得
，
故选：D．
50．已知双曲线
，斜率为 4 的直线与双曲线 相交于点 ， ，且弦
的中点
坐标为
，则双曲线 的离心率为（
）
A．2
B．
C．4
D．5
【答案】B
【详解】设
，
，
29 / 42
则
，①；
，②，
①-②得
，
则
弦
中点坐标为
直线 的斜率为
，即
,
则
.
故选：B.
51．若双曲线
不存在以点
为中点的弦，则正实数
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】假设以
为中点的弦存在且与双曲线交于
，则
,
由
，两式作差得:
,
即
，
因为双曲线
的渐近线方程为
，
所以过点
的直线斜率
或
时，直线与双曲线只有一个交点或无交点，
因为不存在该中点弦，所以
，得
；
故选：C
52．双曲线
的右焦点为
，过
的直线 与 的右支相交于
两点，点
为线段
的中点，
若
的中垂线与 轴交于点
，则
的横坐标为（
）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】C
30 / 42
【详解】由题意
，设
，
则
，相减得
，
因为点
为线段
的中点，所以
，
所以
，所以
，
因为
的中点为
，结合
，
所以
的中垂线斜率为
，
由题意
，即
，解得
，即
的横坐标为 3.
故选：C
53．已知直线
与双曲线
相交于
两点.若弦
被直线
平分，则实
数 的值为
.
【答案】
【详解】设
，可得
，
两式相减，可得
，可得
因为
，可得
，所以
设
的中点
，则
，所以
，
因为点
在
上，可得
，
可得
，即
，解得
，所以
，即
，
又因为
在直线
上，可得
，解得
.
故答案为： .
31 / 42
54．已知双曲线
的一条渐近线方程为
，且经过点
.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 相交于
两点，且线段
的中点坐标为
，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为双曲线
的一条渐近线方程为
，
即
，又双曲线的渐近线方程为
，所以
，即
.
而双曲线经过点
，所以有
，解得
.
所以双曲线 的方程为
.
（2）设
，将其代入双曲线方程中得
，两式相减得
因为线段
的中点坐标为
，所以
.
所以
，设直线 的斜率为 ，则
.
所以直线 的方程为
，即
.
55．已知双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，其渐近线方程为
.
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)过点
作直线与曲线 C 相交于 P，Q 两点，点 N 能否是线段 PQ 的中点？若能，求直线 PQ 的方程；
若不能，请说明理由.
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【答案】(1)
；
(2)不能，理由见解析.
【分析】
【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为
.
∵双曲线渐近线方程为
，
∴
，解得
，
∴双曲线 C 的标准方程为
.
（2）假设点 N 能是线段
的中点，设
，则
，
由
得
，
∴
，
∴直线
的斜率为
，
∴直线
的方程为
，即
，
由
得
，
∵
，∴直线
与双曲线无交点，
∴点 N 不能是线段
的中点.
考点 11 双曲线的解答题综合
56．已知双曲线 :
的离心率为
，点
在双曲线 上．
(1)求 的方程；
(2)已知直线
， 交 于 ， 两点，
①是否存在直线
满足
，若存在求出直线 的方程，若不存在请说明理由；
②若
，求
的面积的最小值．
【答案】(1)
33 / 42
(2)①不存在，详见解析
②
【分析】
【详解】（1）因为
，故
.
由
，代入得
，则
.
又因为
在双曲线上，代入
，得
，则
，
故双曲线方程为
.
（2）由题可设
，将
代入双曲线
中，
整理得
，由根与系数关系得，
，
.
①不存在符合的直线.
令
，
由
得
，即
，
将
代入上式得，
，
展开并整理
，
将根与系数关系代入
，
化简整理得
，解得
.
因此直线方程为
.
检验，此时直线与双曲线的两个交点为
， 与 重合，不构成垂直关系，
因此不存在满足条件的直线.
34 / 42
②弦长
，
到直线 的距离
，
，
令
，可知
在
单调递增，
故
，所以
的面积最小值为
.
57．已知双曲线
过点
，一条渐近线方程为
.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若点 为双曲线左支上一点，
，求
的最小值；
(3)过点
的直线与双曲线 的右支交于
，
两点，求证：
为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为双曲线 过点
，一条渐近线方程为
，
所以
，解得
，
则双曲线 的标准方程为
；
（2）因为点 为双曲线左支上一点，
设
，
，则
，即
，又因为
，
所以
，
因为
，
，
则
时，
取得最小值
.
35 / 42
（3）证明：当过点
的直线斜率不存在时，直线方程为
，
此时可取
，
，则
；
当过点
的直线斜率存在时，
设直线方程为
，
，
，不妨设
，
，
因为直线过双曲线的右焦点
，且双曲线的一条渐近线方程为
，
则
或
，
联立
，消去 并整理得
，
所以
，
由韦达定理得
，
所以
.
综上所述，
为定值.
58．在平面内，动点
到定点
的距离和它到定直线
的距离之比是常数
，记动点
的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程．
(2)设斜率为 1 的直线与曲线 交于
两点，记线段
的中点为
为坐标原点，判断直线
的斜率
36 / 42
是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是， .
【分析】
【详解】（1）由题可得，
，两边平方得
，
整理得
，故 的方程为：
.
（2）
直线
的斜率是否为定值，下证：
设
，则
，则有
，作差得
等式两边同除
，得：
，
即
，因此
，
因此，直线
的斜率为定值，定值是 .
59．已知双曲线
，右焦点为
，左、右顶点分别为
， ，过
垂直于 轴
的弦长为 6.
(1)求 的方程；
(2)过
的直线与 的右支交于
，
两点，直线
，
交于点 ，证明： 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
37 / 42
【详解】（1）由双曲线
的右焦点为
，得
，
即
，
过
垂直于
轴的弦长为 6，
可得点
在双曲线上，即
，
联立
，解方程组得：
，
故双曲线
的方程为
（2）由（1）知双曲线
，右焦点
，
左顶点
，右顶点
，
设过
的直线方程为
（
），
代入双曲线方程得
整理得
设
，
，则
是上述方程的两个实根，
且
直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
两式相除得
，
代入
，
计算：
由韦达定理，
，代入得
38 / 42
，
利用
，解得
，
代入得：
，
因此
，解得
，
即
，
.
故交点
的横坐标恒为
，即
在定直线
上.
60．已知双曲线
的离心率为
，且焦点到渐近线的距离为 2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若动直线 与双曲线 恰有 1 个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点， 为坐标原点，
证明：
的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）设右焦点为
，一条渐近线的方程为
，即
，
所以右焦点到该渐近线的距离为
，
39 / 42
因为
，
，所以
，
，
所以双曲线 的方程为
.
（2）证明：当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为
，
而两条渐近线方程为
，
不妨设 与
的交点为 ，与
的交点为 ，
则
或
，
则
；
当直线 的斜率存在时，不妨设直线
，且
，
由
，得
，
由
，得
.
由
，得
.
不妨设 与
的交点为 ，则
.
同理可得
，所以
.
因为原点 到直线 的距离
，所以
，
因为
，所以
，则
.
综上所述，故
的面积是定值，定值为
.
40 / 42
61．已知双曲线
的离心率为 2，右焦点为
.
(1)求 的方程.
(2)若动直线 过点
，且与 交于
，
两点（
在第一象限，
在第四象限），过点
作直线
的垂
线，垂足为
.
（i）证明：直线
恒过点
；
（ii）设 为坐标原点，
的面积为 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）15.
【分析】
【详解】（1）设 的半焦距为
，由
知
.
又离心率
，所以
，从而
.
所以 的方程为
.
（2）
（i）设
，点
，
，
.
由
可得
，
41 / 42
因为 与 在第一象限和第四象限各有一个交点，所以
，
且
，
.
直线
，
令
，得
，
又
，
所以直线
恒过点
.
（ii）如图，设
，
则
.
设
，则
，
在
上单调递增，
所以当
，即
时， 取得最小值，最小值为 15.
42 / 42
