文档内容
专练 46 双曲线
授课提示：对应学生用书97页
[基础强化]
一、选择题
1．平面内到两定点F(－5，0)，F(5，0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程
1 2
为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案：D
解析：由题意得a＝4，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，又焦点落在x轴上，∴其双曲
线方程为－＝1.
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F 的直线交双曲线的左支于点P，Q，F 为双曲线的
1 2
右焦点．若|PQ|＝7，则△FPQ的周长为( )
2
A．19 B．26 C．43 D．50
答案：B
解析：x2－y2＝9可化为－＝1，
∴a＝3，由双曲线的定义知
|PF|＝2a＋|PF|，|QF|＝2a＋|QF|，
2 1 2 1
∴△FPQ的周长L＝|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PQ|＋2a＋|PF|＋2a＋|QF|＝2|PQ|＋4a＝
2 2 2 1 1
2×7＋4×3＝26.
3．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A． B．1
C． D．2
答案：C
解析：因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y
轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C.
4．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
答案：C
解析：∵c2＝a2＋1，∴e2＝＝＝1＋，
又a2>1，∴0<<1，∴1<1＋<2，∴10，b>0)的两条渐近
线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．答案：D
解析：由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝
4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.
6．[2023·全国甲卷(理)]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线
与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝
4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．
方法一 由，得5x2－16x＋12＝0.设A(x ，y)，B(x ，y)，则x ＋x ＝，xx ＝.所以|AB|
1 1 2 2 1 2 1 2
＝|x －x|＝ ＝，故选D.
1 2
方法二 则圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2 ＝，故选D.
7．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F，F，过点F 的直线l交双曲线左支于A，B
1 2 1
两点，则|BF|＋|AF|的最小值为( )
2 2
A． B．11 C．12 D．16
答案：B
解析：由题意得所以|BF|＋|AF|＝8＋|AF|＋|BF|＝8＋|AB|，显然，当AB为通径时，
2 2 1 1
其长度最短，|AB| ＝2·＝3，故(|BF|＋|AF|) ＝11.
min 2 2 min
8．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，其渐近线与圆(x－a)2＋y2＝相切，则该
双曲线的方程为( )
A．x2－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
答案：A
解析：由题意得到e＝＝2，∴b＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.渐近线与圆(x－
a)2＋y2＝相切，∴＝，又a>0，∴a＝1，b＝.
则双曲线方程为：x2－＝1.
故答案为A.
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F ，F ，且离心率
1 2
之积为1，P为两曲线的一个交点，则△FPF 的形状为( )
1 2
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
答案：B
解析：∵x2－y2＝1的焦点(±，0)，e＝＝，
1
∴由题意得＋＝1的焦点坐标为(±，0)，e＝，
∴∴
∴椭圆方程为＋＝1.
设P为两曲线右边的交点，由椭圆、双曲线的定义知，
∴|PF|＝3，|PF|＝1，
1 2
又|FF|＝2，且|PF|2＋|FF|2＝1＋(2)2＝1＋8＝9＝|PF|2，
1 2 2 1 2 1
∴△FPF 为直角三角形．
1 2
二、填空题
10．双曲线－＝1上一点M到其中一个焦点的距离为7，则点M到另一个焦点的距离
为________．答案：13
解析：由题意，a2＝9，所以a＝3.设点M到另一个焦点的距离为d，由双曲线的定义
知，|7－d|＝2a＝2×3＝6，所以d＝1(舍)或d＝13.即点M到另一个焦点的距离为13.
11．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．
答案：
解析：∵双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，
∴＝，a＝.
12．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F.点
1 2
A在C上，点B在y轴上，FA⊥FB，FA＝－FB，则C的离心率为________．
1 1 2 2
答案：
解析：方法一 由题意可知，F(－c，0)，F(c，0)，设A(x ，y)，B(0，y)，所以FA
1 2 1 1 0 2
＝(x－c，y)，FB＝(－c，y)，因为FA＝－FB，所以，即，所以A(c，－y).
1 1 2 0 2 2 0
＝(c，－y)， ＝(c，y)，因为 ⊥ ，所以 · ＝0，即c2－y＝
⃗F A 0 ⃗F B 0 ⃗F A ⃗F B ⃗F A ⃗F B
1 1 1 1 1 1
0，解得y＝4c2.
因为点A(c，－y)在双曲线C上，所以－＝1，又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简
0
得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
方法二 由前面方法一得A(c，－y)，y＝4c2，所以|AF|＝＝＝＝，|AF|＝＝＝＝，由
0 1 2
双曲线的定义可得|AF|－|AF|＝2a，即－＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
1 2
方法三 由 ＝－ 可得A，B，F 三点共线，且F 在线段AB上，不妨令点A
⃗F A ⃗F B 2 2
2 2
在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|FA|＝|F B|.设|FB|＝3m(m>0)，则|FA|＝2m，
2 2 2 2
所以|FB|＝|FB|＝3m，|AB|＝5m，由 ⊥ 可得∠AFB＝90°，所以|AF|＝＝4m，所
1 2 ⃗F A ⃗F B 1 1
1 1
以2a＝|AF|－|AF|＝2m，即a＝m.过F 作FD⊥AB，垂足为D，则|AB|·|FD|＝|F A|·|FB|，
1 2 1 1 1 1 1
即×5m×|FD|＝×4m×3m，所以|FD|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|FD|＝m，则|FF|＝＝m
1 1 2 1 2
＝2c，即c＝m，所以e＝＝.
[能力提升]
13．[2024·全国甲卷(理)]已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，且经过点(－
6，4)，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3 C．2 D．
答案：C
解析：方法一 由题可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).根据已知条件可得解得则该
双曲线的离心率e＝＝＝2.故选C.
方法二 设该双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，由题知c＝4，2a＝－＝4，则a＝2，
则该双曲线的离心离e＝＝2.故选C.
方法三 记A(0，4)，B(0，－4)，C(－6 ，4)，则AB⊥AC，|AB|＝8，|AC|＝6，则|BC|
＝10，又因为该双曲线的半焦距c＝4，实轴长2a＝|BC|－|AC|＝4，则a＝2，则该双曲线的
离心率e＝＝2.故选C.
14．设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．
C． D．
答案：D
解析：设A(x ，y)，B(x ，y)，AB的中点为M(x ，y)，由点A，B在双曲线上，得，
1 1 2 2 0 0两式作差，得x－x＝，即(x－x)(x＋x)＝，化简得＝9，即·＝k ·＝9，因此k ＝9·.
1 2 1 2 AB AB
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为k ＝9×＝9>3，
AB
所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为k ＝9×＝－＜－3，所以
AB
直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，k ＝9×＝3，此时直线AB与渐近线
AB
y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于 D选项，因为k ＝9×＝
AB
<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.
15．[2024·九省联考]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过坐
1 2
标原点的直线与C交于A，B两点，|FB|＝2|FA|， · ＝4a2，则C的离心率为(
1 1 ⃗F A ⃗F B
2 2
)
A． B．2 C． D．
答案：D
解析：由双曲线的对称性可知＝，＝，有四边形AFBF 为平行四边形，
1 2
令＝＝m，
则＝＝2m，
由双曲线定义可知－＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
· ＝ · cos ∠AFB＝2a×4a cos ∠AFB＝4a2，
⃗F A ⃗F B |⃗F A| |⃗F B| 2 2
2 2 2 2
则cos ∠AFB＝，即∠AFB＝，故∠FBF＝，
2 2 2 1
则有cos ∠FBF
2 1
＝
＝＝－，
即＝－，即－＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D.
16．[2024·新课标Ⅰ卷]设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过
1 2
F 作平行于 y 轴的直线交 C 于 A，B 两点．若|FA|＝13，|AB|＝10，则 C 的离心率为
2 1
____________．
答案：解析：因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF|＝|BF|
2 2
＝5.又|FA|＝13，所以|FF|＝＝＝12，则c＝6，而2a＝|AF|－|AF|＝13－5＝8，所以a＝
1 1 2 1 2
4，所以离心率e＝＝.
