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专题06 回归方程及独立性检验
题型一：相关关系的判断
题型二：相关系数的比较与计算
题型三：线性回归方程的样本中心
题型四：求线性回归方程
题型五：求非线性回归方程
题型六：残差及相关指数的应用
题型七：独立性检验解决实际问题
题型八：独立性检验中的最值问题
题型一：相关关系的判断
1．变量x 与y 的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x 与y 之间（ ）
A．很可能存在负相关
B．一定存在负相关
C．很可能存在正相关
D．一定不存在正相关
【答案】A
【详解】从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，
所以据此可以推断变量x 与y 之间可能存在负相关.
故选：A．
2．对变量x、y 有观测数据
（i=1，2，…，10），得散点图如图1 所示；对变量u、v 有观测数据
（i=1，2，…，10），得散点图如图2 所示.由这两个散点图函可以判断变量x 与y ，u 与v
.（填写“正相关”或“负相关”）
【答案】 负相关 正相关
【详解】由图1 可知点散布在从左上角到右下角的区域，所以变量x 与y 负相关，
由图2 可知点散布在从左下角到右上角的区域，所以变量u 与v 正相关.
故答案为：负相关；正相关.
3．观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，图中的甲、乙、丙三个散点图按顺序相对应的
是（ ）．
A．①②③
B．②①③
C．①③②
D．③①②
【答案】C
【详解】对于图①，显然是正的线性相关，对于图②，不相关，对于图③，负的线性相关；
故选：C.
4．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由散点图知，相关系数
对应的散点图呈负相关，
且线性相关性比较强.
故选：B.
题型二：相关系数的比较与计算
5．甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y 两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r，如下表：
甲
乙
丙
丁
r
则试验结果中x，y 两变量有更强线性相关性的是（ ）．
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】C
【详解】由已知，丙的相关系数的绝对值为
，是四人中最大的且最接近1，
因此丙同学的试验结果中x，y 两变量有更强的线性相关性．
故选：C.
6．下列图中，相关系数最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由图可知，AC 选项的散点图呈现出一定的下降趋势，两变量为负相关，相关系数小于0，
BD 选项的散点图呈现出一定的上升趋势，两变量为正相关，相关系数大于0，
而B 选项的散点图，散点比较分散，D 选项的散点图，散点紧密地聚集在一条直线附近，
因此D 选项的相关系数最大.
故选：D.
7．（多选）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由图形特征可知
，
都是负相关，都是负数，
比
的相关系数绝对值更大，所以
，
，
都是正相关，
比
的相关关系更强，所以
.
故选：AC
8．近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下
为某纺织厂生产“新中式”面料近5 个月的利润（y 万元）的统计表.
月份
2023.11
2023.12
2024.01
2024.02
2024.03
月份编号x
1
2
3
4
5
利润（y 万元）
27
23
20
17
13
(1)根据统计表，试求y 与x 之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相
关关系：（若
，则认为两个变量具有较强的线性相关性）；
(2)从这5 个月的利润中任选2 个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n 均不小于20 万元”的概率.
附：参考数据：
相关系数
.
【答案】(1)
，具有较强的线性相关关系
(2)
【分析】
【详解】（1）
，
，
，
又
，
所以可以判断
与
具有较强的线性相关关系.
（2）从5 个月的利润中任选2 个，不同的结果有:
(27,23), (27,20), (27,17), (27,13), (23,20), (23,17), (23,13), (20,17), (20,13), (17,13),
共10 个基本事件，
记“m，n 均不小于20 万元”为事件A，则事件A 包含的基本事件为(27, 23), (27,20), (23,20),共3 个基本事
件.
所以
，即事件“m, n 均不小于20 万元"的概率为
.
9．为打造“四态融合、产村一体”，望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民收入，某乡政府统计了
景区农家乐在2012 年-2018 年中任选年的接待游客人数
（单位：万人）的数据，结果如下表：
年份
年份代号
接待游客人数
（单位：万人）
(1)根据数据说明变量
，
是正相关还是负相关；
(2)求相关系数的值，并说明年份与接待游客人数之间线性关系的强弱．（值精确到
）
附：线性回归方程
的斜率的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为
，
，一般地，当的绝对值大于
时，认为两个变量之间有较强的线性相关程
度．
参考数据：
，
，
，
．
【答案】(1)正相关
(2)
，年份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度
【分析】
【详解】（1）由题中数据可得，
，
，
则
，
变量
的值随着
的值增加而增加，
故
与
之间是正相关；
（2）由已知得
，
故年份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度．
题型三：线性回归方程的样本中心
10．已知变量x，y 的数据如下：
x
3
4
6
7
y
2.
5
3
m
5.
9
若x 与y 的回归直线方程为
，则
（ ）
A．3.5
B．4
C．4.2
D．5
【答案】B
【详解】由题意可得
，
，
则
，解得
.
故选：B.
11．2023 年第5 届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5 个月销量，
如表所示：
时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万
瓶
5.7
4.8
3.8
3.2
2.5
若y 与x 线性相关，且线性回归方程为
，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量y 与x 负相关B．样本中心点为
C．可以预测当
时销量约为1.8 万瓶D．线性回归方程
中
【答案】C
【详解】对于A，从表中的数据看，
随
的增大而减小，所以变量
负相关，所以A 正确，
对于B，
，则样本中心点为
，所以B 正确，
对于C，当
时，
，
所以可以预测当
时销量约为1.6 万瓶，所以C 错误，
对于D，由选项B 可得
，得
，所以D 正确.
故选：C
12．用最小二乘法得到的一组数据
的经验回归方程为
．若
，则
（ ）
A．63
B．21
C．28
D．49
【答案】C
【详解】根据题意可得
，所以
，
则
．
故选：C
13．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为
，且
.发现有两对数据
与
误差
较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为
，则
（ ）
A．2
B．1.6
C．7.4
D．0.8
【答案】C
【详解】根据
可知
，因此经验回归方程必过
，
易知去掉
与
的两组数据的平均值为
，则剩余数据均值不变，
因此新求得经验回归方程
也过
，
即可得
，解得
.
故选：C
14．已知某商店
月份月利润y（单位：万元）关于其对应的月份代码x（
月份的月份代码依次为
）的经验回归方程为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意得
，
因为
，所以
，
则该经验回归直线经过样本中心点
．
由
，得
，
所以只有B 正确．
故选：B.
15．（多选）已知变量
与变量
的一组观测数据如下表，根据表格数据得到经验回归直线为
，
则下列选项正确的是（ ）
1
2
3
4
5
9
8
7
6
6
A．变量
与变量
的中位数之和为10
B．变量
与变量
的样本相关系数
C．
D．直线
必过点
【答案】AC
【详解】由表中数据可知，变量
与变量
的中位数分别为3，7，故中位数之和为10，故A 正确；
由表可知，当变量
变大时，变量
有变小的趋势，
所以变量
与变量
成负相关，样本相关系数
，故B 错误；
由数据可知变量
与
负相关，故
，回归直线
必过样本中心点
，
经计算
，代入回归直线方程得
，则
，
因为
，所以
，故
，故C 正确；
由表中数据可得
，而直线
必过点
，故D 错误.
故选：AC
题型四：求线性回归方程
16．为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度
与代谢时间
的相关
数据，如下表所示：
2
3
4
5
6
58
42
30
12
8
(1)若两组变量间的相关系数满足
，则称其为高度相关，试判断血液中药物浓度与代谢时间是否
高度相关，并说明理由（
，结果保留3 位小数）；
(2)建立
关于
的经验回归方程，并预测代谢6.2 小时后，血液中药物浓度．
参考数据：
．
参考公式：相关系数
，经验回归方程
中斜
率和截距最小二乘估计公式分别为：
．
【答案】(1)血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的，理由见解析
(2)
，
．
【分析】
【详解】（1）依题意，
，
，
则
，
所以
，即血液中药物浓度与代谢时间是高度相关的.
（2）由（1）得
，则
，
因此血液中药物浓度与代谢时间的回归方程为
，当
时，
，
所以代谢6.2 小时后，血液中药物浓度约为
.
17．儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5 岁儿童的平均身高如下表所示．
年龄x/岁
1
2
3
4
5
平均身高y/
cm
76.0
86.5
97.5
103.5
111.5
(1)儿童的平均身高y 与年龄x 之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y 关于年龄x 的回
归直线方程（或函数解析式）；
(2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30 岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简
要说明理由．
参考数据：
．
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小
二乘估计分别为：
，
．
【答案】(1)相关关系，
(2)不能，理由见解析
【分析】
【详解】（1）解：相关关系
得
∴
（2）不能
因为该回归模型是基于儿童数据建立的，仅适用于描述该年龄段的统计规律，对30 岁成年人的预测超出了
模型的适用范围．
18．为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025 年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）
如下表：
月份
4 月
5 月
6 月
7 月
8 月
9 月
月份代号
1
2
3
4
5
6
销售量
1.5
2.3
2.8
3.2
3.7
4.5
(1)求这6 个月销售量数据的平均数和上四分位数；
(2)已知该市销售量
与月份代号
具有很强的线性相关关系，求y 关于
的经验回归方程，并预测2025 年
10 月份的销售量.
附：经验回归方程
的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.
，
.
【答案】(1)3；
.
(2)
；
万辆.
【分析】
【详解】（1）这6 个月销售量数据的平均数为
；
因为
，所以这6 个月销售量数据的上四分位数为第5 个数，是
.
（2）因为
，
所以
，
所以
.
所以
.
当
时，
（万辆），
即预测2025 年10 月份的销售量约为
万辆.
19．根据统计数据和研究报告，2025 年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源
汽车销量÷当月汽车总销量
）持续攀升，行业格局加速分化．2025 年3 月新能源汽车渗透率首次超
过
，2025 年1 月至6 月，全国新能源汽车的渗透率统计如下：
2025 年1 月至6 月新能源汽车渗透率统计表
月份
1
2
3
4
5
6
渗透率
41.4
49.4
51.1
51.5
53.0
53.3
(1)2025 年6 月全国汽车销量为208.4 万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）．
(2)根据以上数据，建立y 关于月份x 的经验回归方程
，并预测2025 年7 月新能源汽车的渗透率．
(3)实际7 月新能源汽车的渗透率为
，请：
①结合预测值分析误差原因；
②提出改进模型的建议.
（参考数据及公式：
，
．）
【答案】(1)111.1 万辆
(2)
，
(3)①答案见解析；②答案见解析
【分析】
【详解】（1）因为新能源汽车销量
汽车总销量渗透率，则
（万辆），
所以2025 年6 月新能源汽车的销量约为111.1 万辆．
（2）因为
，
又
，所以
，
所以回归方程为
，
令
，则
，
所以7 月新能源汽车的渗透率的估计值为
．
（3）①估计值与实际值的绝对误差为
，估计值偏高，
产生误差的原因是：模型局限性；渗透率超过
后，增长自然放缓；
线性模型假设“增速永远不变”，但实际增长会先快后慢．
②改进建议：用非线性模型替代线性回归模型（例：
，逻辑函数模型等）；
用减速增长模型，体现“先快后慢”规律．
20．7 月1 日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》在中国内地电影院线正式下映，结束了自今
年1 月29 日以来153 天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终斩获154.4 亿元票房，总观影人
次3.24 亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了
《哪吒2》上映前15 天累计票房到达
（单位：亿元）与所用时间
（单位：天）的数据：
累计票房
2
0
40
60
8
0
100
用时
4
7
9
1
0
15
(1)利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度；
(2)求
关于
的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测153 天时的累计票房，判断这种预测方法是否
合理．
参考公式：经验回归方程
，其中
．
相关系数
．
参考数据：
．
【答案】(1)
两个变量具有很强的相关程度
(2)
，预测153 天时的累计票房为1151.56 亿元，该预测方法不合理
【分析】
【详解】（1）由题意有
，
则
所以两个变量具有很强的相关程度．
（2）由题意有
，
所求经验回归方程为
，
令
，得
，
预测153 天时的累计票房为1151.56 亿元，远超过实际票房，故该预测方法不合理．
21．PM2.5 是指空气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5
的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5 的数据如下表：
时间
周
一
周
二
周
三
周
四
周
五
车流量x（万辆）
50
51
54
57
58
PM2.5 的浓度y（微克/立方米）
69
70
74
78
79
(1)根据上表数据，请在坐标系中画出散点图；
(2)根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程
；若周六同一时间段车流量是25
万辆，预测此时PM2.5 的浓度为多少（保留整数）?
参考公式：
，
.
【答案】(1)作图见解析
(2)
37
【分析】
【详解】（1）散点图如图所示；
（2）∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴y 关于x 的线性回归方程是：
；
当
时，
，
所以可以预测此时PM2.5 的浓度约为37.
题型五：求非线性回归方程
22．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程
（单位：
）与某品牌轮胎凹槽深度
（单位：
）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种
模型可供选用，模型I 为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到
关于
的经验回归方程为
，模型I 的决定系数为0.95，模型II 为非线性经验回归方程
，模型II
的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（ ）
A．若选用模型I，则两个变量正相关
B．若选用模型I，当自变量
每增加1 个单位时，因变量
一定减少1.14 个单位
C．若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大
D．模型II 的拟合效果比模型I 的拟合效果好
【答案】D
【详解】模型I 所得经验回归方程为
，因为
，则两个变量负相关，故A 不正确；
若选用模型I，当自变量
每增加1 个单位时，因变量
估计减少1.14 个单位，故B 不正确；
若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度可能越小，故C 不正确；
由于模型I 的决定系数为0.95，模型II 的决定系数为0.99，由于
，则模型II 的拟合效果比模型I
的拟合效果好，故D 正确.
故选：D.
23．（多选）根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y 进行回归分析，设
，
利用最小二乘法，得到线性回归方程为
，则下列说法中正确的是（ ）
A．变量y 关于x 的非线性回归曲线是轴对称图形
B．变量y 关于x 的非线性回归曲线是中心对称图形
C．当
时，变量y 的估计值取到最小值e
D．当
时，变量y 的估计值取到最大值
【答案】AD
【详解】将
代入线性回归方程
，
得
，即
，故回归曲线关于直线
轴对称；
当
时，
取到最大值2，因为
在R 上单调递增，则
取到最大值
.
故选：AD
24．一组数据组
的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型
拟合数据组
，其中
，设
，变换后的线性回归方程为
，则
，
.
【答案】
【详解】由
，两边同时取对数，可得
，
因为变换后的线性回归方程为
，可得
，
即
，所以
，
又因为
，且
，
所以
，
因为
，可得
，所以
.
故答案为：
；
.
25．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃
虫的产卵数
（个）和温度
（
）的8 组观测数据，制成图1 所示的散点图.现用两种模型①
，
②
分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2 所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
25
2.9
646
168
422688
50.4
70308
表中
；
；
；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)根据（1）中所选择的模型，求出
关于
的回归方程．
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
，
【答案】(1)①；
(2)
【分析】
【详解】（1）模型①更合适．
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．
（2）令
与温度
可以用线性回归方程来拟合，则
．
，
，
则
关于
的线性回归方程为
，即
，
产卵数
关于温度
的回归方程为
．
26．为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这
是2016 年至2025 年该果园每年的投资金额
（单位：万元）与年利润增量
（单位：万元）的散点图．
模型①由最小二乘法可求得
与
的经验回归方程为
；
模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近，令
，则
，且
有
．
(1)根据所给的统计量，求模型②中
关于
的经验回归方程；
(2)已知2025 年的投资金额为20 万，年利润增量为40 万，分析这两种模型在2025 年时哪个模型的预报效
果更好．
参考公式与数据：
．
【答案】(1)
；
(2)模型②.
【分析】
【详解】（1）由
，得
，
则
，
，
所以模型②中
关于
的经验回归方程为
.
（2）模型①，
，当
时，年利润增量
，
模型②，
，当
时，
，
因此年利润增量
，而
，
所以模型②的预报效果更好.
27．下表是某工厂记录的一个反应器投料后，连续8 天每天某种气体的生成量（L）：
日期代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
生成的气体y
（L）
4
8
1
6
31
5
1
71
97
122
为了分析该气体生成量变化趋势、工厂分别用两种模型：①
，②
对变量x 和y 的关系
进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下：
注：残差
：经计算得
，
，
，
，其中
，
(1)根据残差图、比较模型①，模型②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
(2)根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；
(3)若在第8 天要根据（2）问求出的回归方程来对该气体生成量做出预测，那么估计第9 天该气体生成量
是多少？（精确到个位）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
【答案】(1)选择模型①，理由见解析；
(2)
；
(3)157L．
【分析】
【详解】（1）选择模型①，理由如下：
根据残差图可以看出：模型①的残差点分布在x 轴附近，模型②的残差点距离x 轴较远，
所以，模型②的残差明显比模型①大，所以模型①的拟合效果相对较好；
（2）由（1）可知y 关于x 的回归方程为
，
令
，则
，
由所给的数据可得
，
，
，
则
，
所以y 关于x 的回归方程为
．
（3）将
代入回归方程，可得
，
所以预测该气体第9 天的生成量约为157L．
题型六：残差及相关指数的应用
28．有一散点图如图，在5 个
数据中去掉
后，下列说法正确的是（ ）
A．变量
与变量
的线性相关性变弱
B．数据
的方差变大
C．相关系数变小
D．残差平方和变小
【答案】D
【详解】从散点图可分析出，若去掉点
，则剩下的点更能集中在一条直线附近，
所以解释变量
与响应变量
的线性相关性变强，
数据的离散程度减小，所以方差变小，相关系数会变大，
因为拟合效果越好，所以残差平方和变小.
故选：D
29．下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】选项A 残差数值范围约为
，选项C 残差数值范围约为
，两残差分布的带
状区域宽，拟合精度低，
选项B 残差数值范围约为
，选项D 残差数值范围约为
，两残差分布的带状区域宽度均比选
项AC 窄，
但选项B 残差分布的带状区域宽度大于选项D，所以选项D 的拟合精度最高.
故选：D
30．一组样本数据
.其中
，
，
，求得其经验回归方
程为：
，残差为
.对样本数据进行处理：
，得到新的数据
，求得其
经验回归方程为：
，其残差为
.
，
分布如图所示，且
，则
下列说法错误的是（ ）
A．样本
负相关
B．
C．
D．处理后的决定系数变大
【答案】C
【详解】对于A，经验回归方程
中斜率
，则样本
负相关，A 正确；
对于B，原样本均值：
，
由
，得
，B 正确：
对于C，由图1 的数据波动较大可得
比
更集中，则
，C 错误；
对于D，由图1 的残差平方和较图2 的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D 正确.
故选：C.
31．（多选）为研究
关于
的线性相关关系，收集了5 组样本数据（见下表），假设经验回归方程为
，则（ ）（参考公式：相关系数为
）
1
2
3
4
5
0.3
0.8
1
1.2
1.7
A．
B．当
时，对应的残差为0.11
C．样本数据
的上四分位数为1.2
D．去掉点
后，
与
的样本相关系数变小
【答案】AC
【详解】对于
，由题意知
，
由经验回归方程
过样本中心点
，
代入
，得
，故
正确；
对于
，当
时，
，残差
，
故
错误；
对于
，将
排序
，因为
，所以上四分位位置为第四位，
所以
，故
正确；
对于
，
，
去掉点
后
，
则
，
则相关系数不变，故
错误.
故选：
32．（多选）［多选］根据变量
和
的成对样本数据，由一元线性回归模型①
，得
到经验回归模型
，对应的残差如图1 所示.根据变量
和
的成对样本数据，由一元线性回归模
型②
，得到经验回归模型
，对应的残差如图2 所示，则（ ）
A．模型①的误差满足一元线性回归模型的
的假设，不满足
的假设
B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的
的假设，满足
的假设
C．模型②的误差满足一元线性回归模型的
的假设，不满足
的假设
D．模型②的误差满足一元线性回归模型的
的假设，满足
的假设
【答案】AD
【详解】对于模型①对应的散点，可以看出残差大致绕着0 值分布，没有明显的趋势或系统偏差，因此随
机误差满足
的假设，但是方差
随着
的变化而变化，不满足
的假设；
对于模型②对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足
的假设，方差
不随
的变
化而变化，满足
的假设.
故选：AD.
33．若变量
和
的4 对观测数据为
，两个变量满足一元线性回归模型
（随机误差
），请写出参数
的最小二乘估计值为
【答案】5.1
【详解】依题意，两个变量满足一元线性回归模型
，随机误差
，
则随机误差平方和
，
易知，随机误差平方和
是一个一元二次函数，
当
时，随机误差平方和
取得最小值，
因此参数
的最小二乘估计值为5.1.
故答案为：5.1.
34．某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化
规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下：
(1)根据散点图求y 关于x 的经验回归方程（精确到0.01）；
(2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说
明拟合效果良好，否则拟合效果较差）.
附：
，
.
【答案】(1)
(2)作图见解析，拟合效果较好
【分析】
【详解】（1）由图得
，
，
则
，
故
，
则y 关于x 的经验回归方程为
.
（2）结合（1），计算得残差如下表：
行驶速度
60
70
80
90
100
110
油耗实际值
7.5
6.8
6.2
5.7
5.4
5
油耗估计值
7.35
6.85
6.35
5.85
5.35
4.85
残差
0.15
0.05
0.15
因此残差分布图如下：
因为
，
所以经验回归方程
的拟合效果较好.
题型七：独立性检验解决实际问题
35．为了了解疾病
是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50 人进行了问卷调查，得到了如下的列联
表：则认为疾病
与性别有关的把握约为（ ）
患疾病
不患疾病
总计
男
20
5
25
女
10
15
25
总计
30
20
50
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由公式得
，
故有
的把握认为疾病
与性别有关，
故选：C
36．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简
单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：
疗法
疗效
未治愈
治愈
甲
15
52
乙
6
63
附常用小概率值及其相应的临界值表为：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
计算得
．则下列说法正确的是：（ ）
A．以频率估计概率，有
B．以频率估计概率，有
C．若取
，可以认为疗效与疗法独立
D．若取
，可以认为疗效与疗法独立
【答案】ABD
【详解】由题得下表：
疗法
疗效
总数
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
总数
21
115
136
以频率估计概率，有
，故A 正确；
以频率估计概率，有
，故B 正确；
零假设
：认为疗效与疗法独立，由题
且
，
所以若取小概率值
，则零假设
不成立，即不可以认为疗效与疗法独立；
若取小概率值
，则没有充分的证据推翻零假设
，故可以认为疗效与疗法独立，
故C 错误，D 正确.
故选：ABD
37．随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机
抽样方法从不同地区调查了100 位育龄妇女，结果如表．
非一
一
总
线
线
计
愿生
45
20
65
不愿
生
13
22
35
总计
58
42
100
附表
0.025
0.010
0.001
5.024
6.635
10.828
由（多选）
算得，
，参照附表，得到的
正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.001 的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.025 的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
C．在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
【答案】BC
【详解】依题意，
，
所以在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”．
故选：BC
38．（多选）在检验分类变量X 与Y 是否有关的过程中，计算得到实验数据的统计量
，已知
，
，则（ ）
A．在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为X 与Y 没有关系
B．在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为X 与Y 有关系
C．依据
的独立性检验，可以认为X 与Y 不独立
D．依据
的独立性检验，可以认为X 与Y 独立
【答案】BD
【详解】
，所以在犯错误的概率不超过10%的前提下，
可以认为X 与Y 有关系，故A 错误，B 正确；
又
，所以依据
的独立性检验，可以认为X 与Y 独立，故C 错误，D 正确；
故选：BD.
39．为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000 名得到如下列
联表：
效果明显
效果不明显
合计
甲方案
1000
200
1200
乙方案
600
200
800
合计
1600
400
2000
(1)在1200 名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取12 人，再从这12 名患者中随
机抽取4 人，设这4 人中至少有1 名患者效果不明显为事件
，求事件
的概率
．
(2)根据小概率值
的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联．
附：
．
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
【答案】(1)
(2)治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
【分析】
【详解】（1）由题意，分层随机抽样的比例为
，则效果明显的患者应抽取
人，
效果不明显的患者应抽取
人，
事件
是“至少有1 名患者效果不明显”，可用对立事件计算.
即
表示“4 人都效果明显”，则
，
故
.
（2）零假设为
：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
则
，
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
40．工信部发布：2026 年1 月1 日起，购买新能源车需缴纳一半的购置税.某车辆爱好协会为了了解协会成
员的购车意愿与减免购置税是否相关，从协会中随机抽取100 名成员进行调查，得到如下
列联表：
减免购置税
不减免购置税
总计
购车意愿较强
75
购车意愿较弱
5
总计
40
100
(1)补全表中数据；
(2)依据小概率值
的独立性检验，能否认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联？
附：
，其中
.
0.010
0.001
6.635
10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)能认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联．
【分析】
【详解】（1）
列联表如下：
减免购置税
不减免购置税
总计
购车意愿较强
55
20
75
购车意愿较弱
5
20
25
总计
60
40
100
（2）零假设
：协会成员的购车意愿与减免购置税无关联，
因为
，依据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即能认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联．
41．某校高中学生课后每天整理数学错题
（单位：道）和他们的数学成绩
（单位：分）之间存在近似
的线性关系，数据如下表：
整理错题
道
数学成绩
分
(1)试用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程，并预测每天整理数学错题
道时的数学成绩；
(2)基于上述数据整理，该校提倡学生课后进行数学错题整理，经过一段时间后，在本校学生中采用随机抽
样的方法抽取了
名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下：
数学成绩总评优秀
人数
数学成绩总评非优
秀人数
合计
每天都整理数学错
题人数
不是每天都整理数
学错题人数
合计
试问：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关吗？
附：
，
；
，
.
【答案】(1)回归方程为
，
分
(2)有，理由见解析
【分析】
【详解】（1）由表格中的数据可得
，
，
所以
，
，
故
关于
的线性回归方程为
，
当
时，
，
预测每天整理数学错题
道时的数学成绩约为
分.
（2）零假设
数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关，
，
所以，我们认为数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关.
题型八：独立性检验中的最值问题
42．在一次独立性检验中，得出2×2 列联表如下：
A
合计
B
200
800
1000
180
a
180+a
合计
380
800+a
1180+a
且最后发现，两个分类变量A 和B 没有任何关系，则a 的可能值是（ ）
A．200
B．720
C．100
D．180
【答案】B
【详解】
两个分类变量A 和B 没有任何关系，
，
代入选项验证可知
满足条件.
故选：B
43．为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到
列联表如图，则当
取下面何值时，性别与
视力无关的可能性最大（ ）
男
女
近视
240
200
不近视
50
A．40
B．60
C．100
D．240
【答案】B
【详解】根据相关性的概念可知当
，即近视与不近视的男女比例相同时，性别与视力无关的可能
性最大，
解得
，
故选：B
44．第19 届亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8 日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学生是否喜欢
观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100 人进行问卷调查，得到如下数据
．
喜欢观看
不喜欢观看
男
生
女
生
通过计算，有95％以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的100 名女生中
喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（ ）
附：
，其中
．
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
A．55
B．57
C．58
D．60
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，
又
，所以
，解得
，
故在被调查的100 名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58．
故选：
45．在一次独立性检验中，得出2×2 列联表如下：
总计
200
800
1000
180
m
总计
380
最后发现，两个分类变量x 和y 没有任何关系，则m 的可能值是 ．
【答案】720
【详解】由题意知，两个分类变量x 和y 没有任何关系，则应有
，
即
，即
，解得
.
故答案为：
.
