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2024 年高三模拟押题卷 03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 ， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合 ，可得 ，
又由集合 ，要使得 ，可得 ，则满足 .
故选：C.
2．已知复数 是方程 的一个根，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由复数 是方程 的一个根，
得 ，
解得 ，
故选：D.
3．已知数列 为等比数列， 为 的前 项和，且 ， ，则 （ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 ， ，解得 ，
所以 .
故选：A
4．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点 的三等分点，点F在BE上且为中点，若
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点 的三等分点，
则
，
故选：A.
5．以下四个命题，其中正确的个数有（ ）
①经验回归直线 必过样本中心点 ；
②在经验回归方程 中，当变量x每增加一个单位时，变量 平均增加0.3个单位；
③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可
能物理优秀；
④在一个 列联表中，由计算得 ，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中
）．
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【解析】A选项，线性回归方程必过 ，故①正确；
B选项，当变量x每增加一个单位时，变量 平均减少0.3个单位，故②错误；
C选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为 ，并不指某人数学成
绩优秀，则他有99%的可能物理优秀，故③错误；
D选项，由独立性检验知识可知当 ， 时，可认为99.9%的把握确认这两
个变量间有关系，故④正确.
故选：D
6．函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若 且 ， ，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ,所以 ，
,
,当且仅当 ，即 等号成立
故选：B.
7．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为 ，两段圆弧 所在圆的
半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为 ，
则其面积为 ，解得 ，
所以扇环的两个圆弧长分别为 和 ，
设圆台上下底面的半径分别为 ，高为 ，所以 ，解得 ，
，解得 ，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中 ， ，过点 向 作垂线，垂足为 ，则 ，
所以圆台的高 ，则上底面面积 ， ，由圆台的体积计算公式可得： .
故选：A.
8．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 ，
下列说法错误的是（ ）
A． 为偶函数
B．
C．当 时， 在 上有3个零点
D．若 在 上单调递减，则 的最大值为9
【答案】D
【解析】由 ，
其图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，
则 ，
又 ，则 ，得 ，
则 ，
对A，函数 的定义域为 ， ，则函数 为偶函数，A正确；
对B， ，B正确；
对C，当 时， ，由 ，得 ，
，所以 可取 ，当 时， 在 上有3个零点，C正确；
对D，由 ，解得 ，
则函数 在 单调递减，因为 在 上单调递减，所以 ，解得 ，即 的最大值为5，D错误.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线 及圆 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．直线 截圆 所得弦长最小值为2
C．存在 ，使得直线 与圆 相切
D．存在 ，使得圆 关于直线 对称
【答案】ABD
【解析】A选项，由 ，
得 ，解得 ，所以直线 过定点为 ，故A正确；
B选项，由圆的标准方程可得圆心为 ，半径 ，直线 过的定点为 ，
当 时，直线 截圆 所得弦长最短，因为 ，
则最短弦长为 ，故B正确；
C选项， ，故点 在圆 内，所以直线 与圆 一定相交，故C错误；
D选项，当直线 过圆心 时，满足题意，此时 ，解得 ，
故D正确.
故选：ABD.
10．已知O为坐标原点，点A(1，0)，P(cosα，sinα)，P(cosβ，-sinβ)，P(cos（α + β）， sin（α +
1 2 3
β）)，则（ ）
A．OP = OP B．AP= AP C．PP = AP D．PP = AP
1 2 1 2 1 2 3 2 3 1
【答案】AC
【解析】A： ， ，则
，正确；
B： ， ，则 ，
，所以 、 不一定相等，错误；
C： ， ，则
，，所以 ，正确；
D： ， ，则
，
，所以 、 不一定相等，错误；
故选：AC
11．如图所示，将平面直角坐标系中的格点(横4纵坐标均为整数的点)的横、纵坐标之和作为标签，例如：
原点处标签为0，记为 ；点 处标签为1，记为 ；点 处标签为2，记为 ；点 处标签为1，
记为 ；点 处标签为0，记为 ；…以此类推，格点 处标签为 ，记
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对A，由题意得，第一圈从 到 共8个点，由对称性可得 ，
第二圈从 到 共16个点，由对称性可得 ，
根据归纳推理可得第 圈共有 个点，这 项的和也是0.
设 在第 圈，则 ，且 ，
由此可知前22圈共有2024个点，即 ，且 对应点为 ，
所以 对应点为 ，所以 ，故A正确；
对B，因为 ，所以 ，故B错误；
对C，由图可得 对应点为 ，所以 ，故C错误；
对D，因为 ，
又 对应点为 ，所以 ，对应点为 ，所以 ，
…
对应点为 ，所以 ，
所以 所以，故D正确.
故选：AD
12．在正方体 中， ，点 满足 ，
.下列结论正确的有（ ）
A．直线 与 一定为异面直线
B．直线 与平面 所成角正弦值为
C．四面体 的体积恒定且为2
D．当 时， 的最小值为
【答案】ABD
【解析】由题意在正方体 中， ， ，
即E为 的中点；
以D为坐标原点，以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
由 得 ，
则点 ，由于 ，则 ，
故点F落在四边形 的内部，
而 在平面 内，即 和平面 相交，
而 平面 ， 直线 ，故直线 与 一定为异面直线，A正确；设平面 的法向量为 ， ，
则 ，令 ，则 ，
又 ，故 ，
设线 与平面 所成角为 ，
故 ，B正确；
由于点F落在四边形 的内部，故F到平面 的距离为2，
则四面体 的体积 ,
即四面体 的体积为定值 ，C错误；
当 时， ，此时点F在 上（不含端点），
如图将 绕 翻折到和四边形 到同一平面内，
连接 交 即为F点，则 的最小值为 的长；
由题意可知 ，
故
，
故 ，即 的最小值为 ，D正确，
故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在 的二项展开式中， 的系数为 .
【答案】【解析】由 展开式的通项公式为：
令 ，
所以 的系数为： .
故答案为： .
14．若函数 ，则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】因为 ，则有：
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，则 ，解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 .
故答案为： .
15．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延
长线经过左焦点 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲
线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为 ， 为其左右焦点，若从右焦点 发
出的光线经双曲线上的点A和点 反射后，满足 ， ，则该双曲线的离心率为
.
【答案】【解析】
由题可知 共线， 共线，
如图，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 ，得 ，则 ，
又 ，且 ，所以 ，
化简得 ，所以 .
故答案为： .
16．在数列 中， 下列说法正确的是 ．
①若 ，则 一定是递增数列;
②若 则 一定是递增数列；
③若 ， 则对任意 ，都存在 ，使得
④若 ，且存在常数 ，使得对任意 ，都有 则 的最大值是 ．
【答案】②③
【解析】对于①， ，故 ，
所以 为等比数列，公比为2，
若 ，则数列的首项为 ，故 ， ，
由于 在R上单调递减，此时 为单调递减数列，①错误；
对于②， ，
令 ，当 时， 恒成立，当 时， ，故 恒成立，
当 时， ，
故 在 单调递增，故 ，
综上， 恒成立，故 一定是递增数列，②正确；
对于③， ，
因为 ，所以 ， ，……，
以此类推，可得 为递增数列，且 时， ，
故对任意 ，都存在 ，使得 ，③正确；
对于④， ，当 时， ，
又 ，故 ，
此时 为递增数列，且 ，
故不存在常数 ，使得对任意 ，都有 ④错误.
故答案为：②③
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，且AC边上的高为 ，求 的周长．
【解析】（1）因为 ，
所以由 得 ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，
则 ，故 ．
（2）因为 ，令 ，则 ，
由三角形面积公式可得 ，则 ，故 ，由余弦定理可得 ，则 ，解得 ，
从而 ， ， ，故 的周长为 ．
18．（12分）
已知 是等比数列， 是等差数列，且
(1)求 和 的通项公式；
(2)求 ；
(3)设数列 的通项公式为 ，求 ．
【解析】（1）因为 是等比数列， 是等差数列，设 ，
又因为 ，
可得 ，解得 ，
所以 ， .
（2）因为 ，由等差数列的求和公式，可得 .
（3）因为 ，且 ， .
可得
设 ，即
则
所以
所以
19．（12分）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， .
(1)求点 到平面 的距离；
(2)设点 为线段 的中点，求二面角 的正弦值.
【解析】（1）因为 平面 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，由勾股定理得 ，
又 ，
所以 ，故 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，则 为点 到平面 的距离，
故点 到平面 的距离为2.
（2）在平面 内过点 作 的平行线 ，则 ，
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
由勾股定理得： ，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，取 ，则 ，
所以 ，
记二面角 的大小为 ，则 ，
故二面角 的正弦值为 .
20．（12分）
已知函数 ， ．
(1)证明：对于 ， ，都有 ．
(2)当 时，直线 ： 与曲线 和 均相切，求直线 的方程．
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ．
当 时, ，
欲证 ， ，只需证 在 上恒成立．
令 ， ，
当 时 ，当且仅当 即 时等号成立，
故 ，
所以函数 在区间 上单调递增，所以 ，所以 ．
综上所述，对于 ， ，都有 ．
（2）当 时， ，设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以曲线 在点 的切线方程为 ，
联立方程 ，得 ，由 ，得 ，即 ．
由（1）知，函数 在 上单调递增，且 ，
所以方程 有且只有一个实根，
所以 ，即 ，
代入 得 ，
所以直线 的方程为 ．
21．（12分）
已知在平面直角坐标系中，点 ， ， 的周长为定值 ．
(1)设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2)过点A作直线l交C于M、N两点，连接BM、BN分别与y轴交于D、E两点，若 ，求直
线l的方程．
【解析】（1） 周长为 ，
可得 为定值，
所以点P的轨迹是一个椭圆（去掉左右顶点），
设方程为 ，
于是， ，解得 .
又因为是 ，所以点P不能位于x轴上，
所以点P的轨迹方程为 .
（2）由题意，直线l的斜率不为0，
设直线l： ， ， ，
将直线l方程代入椭圆，整理得到 ，
由韦达定理，得 .直线BM： ，
令 可得 ，同理 .
由 可得 ，
化简得到 ，
即 ，
即 .
代入韦达定理整理得， ，即 ，
解得， ，
所以直线l的方程为 .
22．（12分）
运动会期间，某班组织了一个传球游戏，甲、乙、丙三名同学参与游戏，规则如下：持球者每次将球传给
另一个同学.已知，若甲持球，则他等可能的将球传给乙和丙；若乙持球，则他有 的概率传给甲；若丙持
球，则他有 的概率传给甲，游戏开始时，由甲持球.记经过n次传球后甲持球的概率为 .
(1)若三次传球为一轮游戏，并且每轮游戏开始都由甲持球，规定：在一轮游戏中，若在第3次传球后，持
球者是甲，为甲胜利.记随机变量X为3轮游戏后甲胜利的次数，求X的分布列和数学期望；
(2)求 .
【解析】（1）据题意只需关注前3次球由谁持球即可，则持球的所有可能情况为甲乙丙甲，甲丙乙甲，
，
因此一轮游戏甲胜利的概率为 ，随机变量 的可能取值为 ，，
，
所以 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望 .
（2）设事件 表示 次传球后，球在甲同学手上，事件 表示 次传球后，球在乙同学手上，
事件 表示 次传球后，球在丙同学手上，设 次传球后，乙持球的概率为 ，
则 ，由全概率公式知：
，
整理得 ，于是 ，而 ，即 ，
因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，即有 ，
所以 .
