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2023—2024 学年度第二学期高二教学质量检测
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．B；2．A；3．A；4．B；5．C；6．C；7．D；8．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AC；10．AB；11．BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． ；13． （或 ）14．0.64．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）解：（1）由 ，
有 ， ……………………3分
取 得到 ，解得 ． ………………6分
将 代入 ，
可得 ． ………………7分
（2）设 ， ………………8分
则 ， ………………9分
高二数学试题 第1页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司故当 时， ，当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ． ………………11分
从而 成立． ………………13分
16．（15分）解：（1）因为 ，
…………………………3分
依据小概率值 的独立性检验，可以认为是否养宠物与性别有关联．
…………………………5分
（2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，6，
得 ，
， …………………………7分（每个数值1分）
因为回归方程为 ，
所以 ，…………………8分
所以 ， …………………10分
所以 ． ………13分
因为 ， …………14分
高二数学试题 第2页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司所以y与x有较强的相关性，该同归方程有价值． ………15分
17．（15分）解：（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，
连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，
所以随机变量 ， …………3分
所以 ， …………5分
； …………7分
（2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，
随机变量 服从超几何分布，则 ，……9分
可得 ，
…………12分（每个数值正确得1分）
所以 的分布列为：
2 3 4
； …………15分
18．（17分）解：（1）因为 ，
所以 ，则 ， …………………………2分
当 时， ， …………………………3分
当 时， ， ……………4分
高二数学试题 第3页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司当 时 也成立，
所以 的通项公式为 ． …………………………5分
（2）由（1）可知 ， …………………………6分
所以 ， ……………………7分
所以 ，
则
，
所以 ； ……………………10分
（3）由题意， 数列元素依次为： ，
在 到 之间 的个数为 ，
故到 处 共有 个元素， ……………………12分
所以前 项中含 及 个 ， ……………………14分
故 ．
……………………17分
19．（17分）解：（1）函数 的定义域为
高二数学试题 第4页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司，且 ， …………2分
当 时， 恒成立，所以 在 单调递减；…………3分
当 时，令 ，即 ，解得 ，
，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时， ， …………4分
当 时， ， …………5分
当 时， ，
所以 在 上单调递减，
在 上单调递增，
在 上单调递减； …………6分
当 时，此时 ，
所以 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
…………8分
综上可得：当 时 在 单调递减；
当 时 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减．
高二数学试题 第5页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司（2）（ⅰ）由（1）可知 ． …………10分
（ⅱ）由（1） 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
…………12分
又 ，所以 ，则 ，
又 ，
又 ，
所以 在 上没有零点， …………14分
又 ，则 ，则 ， ，
则 ， …………15分
所以 ， …………16分
所以 在 上存在一个零点，
综上可得函数 有且只有一个零点． …………17分
高二数学试题 第6页（共6页）
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