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东莞四中 2023-2024 高三第一学期数学月考试题与答案
一、单项选择题：
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合B，再利用交集定义去求
【详解】由 ，解得 ，则 ，
所以 .
故选：C.
2. 已知 ， 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由 可得： ，
对 两边同时平方可得 ，所以 ，
所以 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
3. 下列函数既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】的
【分析】根据偶函数 定义，结合函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，定义域为 ，故是非奇非偶函数，A错，
对于B，当 时， 在 上为减函数，∴B不对，
对于C，∵定义域为 ，且 为偶函数，
设 ，∵ 在 上为增函数， 在 上为增函数，
∴ 在 上为增函数，∴C对.
对于D，∵ 为奇函数，∴D不对.
故选：C.
4. 在 的展开式中， 的系数是（ ）
A. B. 8 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二项式定理计算即可.
【详解】 的展开式通项为 ，
取 ，则 ，系数为 .
故选：A
5. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积
共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
【答案】C
【解析】【分析】设此等差数列为 ，公差为 ，由题意列方程求出 ，进而得解.
【详解】设此等差数列为 ，公差为 ，
由题意可得：则 ，联立解得
故选：C．
6. 函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性及函数特殊值，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】因为 ，所以函数 为奇函数，排除A，B选项，
因为 ，排除C选项，
故选：D
7. 已知 , , ，则（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由 得 ， ，由 得 ，从而可得 .
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
又因为 ， ，
所以 ，即 .
故 .
故选：D
8. 已知函数 图像关于原点对称，其中 ， ，而且在区间 上
有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】因为函数 图像关于原点对称，且 ，
即函数为奇函数，所以 ，
故 ，
当 时， ，有且只有一个最大值和一个最小值，
由正弦函数的图象与性质可得 .
故选：B.二、多项选择题：
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 点 是 图象的一个对称中心
C. 在 上单调递增
D. 将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到 的图象
【答案】BC
【解析】
【分析】求正弦型函数最小正周期判断 A；代入法验证是否为对称中心判断 B；由函数在
上递增求自变量x的对应区间判断C；根据平移写出平移后的解析式判断D.
【详解】 的最小正周期为 ，故A错误．
，
所以 是 图象的一个对称中心，故B正确．
由 ，
所以 在 上单调递增，C正确．
的图象上所有的点向右平移 个单位长度得到 ，故D错误．
故选：BC
10. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A. 从中任取3球，恰有2个白球的概率是 ；B. 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则 ；
C. 现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 ；
D. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为 .
【答案】AD
【解析】【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，根据二项分布的期望公式可判断C，根据条件概率的计算可
判断C，根据对立重复事件的概率可求D.
【详解】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是 ,故A正确，
的
对于B, 从中有放回 取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即
，故B错误，
对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为 ，
故C错误，
对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为 ，没有取到白球的概率为 ，
所以取球3次没有取到白球的概率为 ，
.所以至少有一次取到白球的概率为 ，故D正确，
故选：AD
11. 已知函数 存在极值点，则实数a的值可以是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可知，令 ，换元后可得 ，即 ，则实数 的取值范围为
函数 在 上的值域且满足 ，由此可求得实数 的取值范围.【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
由题意可知，函数 在定义域 上存在极值点，
得 在 有两个解，
由 可得 ，令 ，则 ，
则实数 的取值范围为函数 在 上的值域且满足 ，
对于二次函数 ，当 时， ，
对于二次方程 ，即 ， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：ABD.
12. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就
会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：
，其中 ， ， 是正数， 表示初始时刻种群数量， 叫做种群的内秉增
长率， 是环境容纳量. 可以近似刻画 时刻的种群数量.下面给出四条关于函数 的判断正确的
有（ ）
A. 如果 ，那么存在 ， ；
B. 如果 ，那么对任意 ， ；
C. 如果 ，那么存在 ， 在 点处的导数 ；
D. 如果 ，那么 的导函数 在 上存在最大值.
【答案】ABD
【解析】
【分析】解方程 得到A正确，计算 得到B正确，求导得到 恒成立，C
错误，构造 ，求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案.【详解】对选项A： ，解得 ， ，正确；
对选项B： ， ，故 ，
，故 ，即 ，正确；
对选项C： ， ，故任意的 ， 在 处的导数，错误；
对选项D：令 ，
则 ， ，
令 得 ，解得 ，
令 得 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
那么 的导函数 在 上存在极大值，也是最大值，正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能
力和综合应用能力，其中构造新函数，求导得到函数的单调区间进而求最值是解题的关键.
三、填空题：
13. 在 中， ， ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.
【详解】在 中， ， ， ，
由正弦定理 ，得 .
故答案为：
14. 某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有
__________种(用数字作答)．
【答案】24
【解析】
【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数.【详解】将丙、丁捆绑排列有 种，再把他们作为整体与戊排成一排有 种，
排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有 种，
综上，共有 种排法.
故答案为：
15. 已知角 的大小如图所示，则 的值为________
【答案】
【解析】
【分析】先根据图像求出正切值，然后分子分母同除 构造正切结构，最后代入即可.
【详解】由图可知 ，
所以
，
故答案为：
16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把
数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色
小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ，正方形数构成数列 ，则
______； ______.【答案】 ①. 55 ②.
【解析】
【分析】依题意可得 ，利用累计法求出 ，即可求出 ，根据正方形数可知
，即可得到当 时， ，利用裂项相消法求和即可.
【详解】根据三角形数可知， ，则 ， ，…， ，
累加得 ，
所以 ，经检验 也满足上式，
故 ，则 ；
根据正方形数可知 ，
当 时， ，
则.
故答案为： ；四、解答题：
17. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理计算可得；
（3）由余弦定理求出 ，即可求出 、 ，再由两角差的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
由余弦定理知， ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍负），所以 ．
【小问2详解】
由正弦定理知， ，
所以 ，
所以 ．【小问3详解】
由余弦定理知， ，
所以 ， ，所以
.
18. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得 ，由此可得 ；
（2）利用裂项相消法可求得 ，由 可证得结论.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得： ， .
【小问2详解】
由（1）得： ，
，
， .
19. 小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模
（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 （单位：千亿元） 1.30 1.40 1.62 1.68 1.80
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用样本相关系数加以说明（若 ，
则线性相关程度较高， 精确到0.01）；
（2）建立 关于 的经验回归方程.
参考公式和数据：样本相关系数 ， ，
， ， ， .
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题中数据求出样本相关系数 ，可得答案；
（2）由题中数据求出 ， ，可得 关于 的经验回归方程.
【小问1详解】
由表知 的平均数为 ，
所以 ，
，因为 与 的相关系数近似为0.98，说明 与 的线性相关程度较高，从而可用线性回归模型拟合 与 的
关系.
【小问2详解】，
，
， ，
所以 ，所以 关于 的经验回归方程为 .
20. 设正项数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用 、 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得 ，即可证明.
【小问1详解】
因为 ，
当 时， ，又 ，则 ；
当 时， ， ，两式相减，
整理可得 ，又 为正项数列，即 ，
所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
21. 哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派
出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出
甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 ， ，乙通过第一轮与第二轮比赛的
概率分别是 ， ，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为 ，求 的分布列和数学期望.
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入 两个纸箱中， 箱中有3道选择题
和2道填空题， 箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在 两个纸箱中随机抽取两
题作答.甲先从 箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入 箱中，然后乙再抽取题目.已知乙
从 箱中抽取的第一题是选择题，求甲从 箱中抽出的是2道选择题的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求分布列的步骤求出分布列，根据数学期望公式求出数学期望；
（2）根据贝叶斯公式可求出结果.【小问1详解】
依题意得甲获得决赛资格 的概率为 ，乙获得决赛资格的概率为 ，
的所有可能取值为 ，
， ，，
所以 的分布列为：
0 1 2
所以 .
【小问2详解】
记 “甲从 箱中抽出的是 道选择题”， “乙从 箱中抽取的第一题是选择题”，
则 ， ， ， ，
， ，
所以
.
甲从 箱中抽出的是2道选择题的概率为 .
22. 已知函数 ，其中 为常数．
（1）当 时，判断 在区间 内的单调性；
（2）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）判断见解析
（2）【解析】
的
【分析】小问1：当 时，求出导数，判断导数在 上 正负，即可确定 在 上的单调
性；
小问2：由 得 ，令 ，将参数 区分为 ， ，三种情况，分别讨论 的单调性，求出最值，即可得到 的取值范围.
【小问1详解】
当 时，得 ，故 ，
当 时， 恒成立，故 在区间 为单调递增函数.
【小问2详解】
当 时， ，故 ，即 ，即 .
令
①当 时，因为 ，故 ，即 ，
又 ，故 在 上恒成立，故 ；
②当 时， ， ，
故 在 上恒成立， 在 上单调递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，故 ；
③当 时，由②可知 在 上单调递增，设 时的根为 ，
则 在 时为单调递减；在 时为单调递增
又 ，故 ，舍去；
综上：
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数
做到不重不漏的讨论，是解题的关键.
