文档内容
2024~2025 学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.
1. 直线 的倾斜角等于（）
A. B. C. D.
2. 在等比数列 中，若 ， ，则 （）
A. -32 B. -16 C. 16 D. 32
3. 若点 在圆 外，则实数 的取值范围为（）
A. B. C. D.
4. 将直线 绕点 顺时针旋转 得到直线 ，则直线 的方程是（）
A. B. C. D.
5. 过点 作圆 的切线，则切线方程为（）
A. B. C. D.
6. 已知圆 内有一点 ， 为过点 的弦，当弦 被点 平分时，直线
的方程为（）
A. B. C. D.
7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行
的求和运算时，他这样算的： ， ， ， ，共有50组，所以 ，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前 项和的方法正是借助
了高斯算法.已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，试根据提示探求：若
，则 （）
A1010 B. 2024 C. 1012 D. 2020
8. 在平面直角坐标系 中，若圆 上存在点 ，且点 关于 轴的对称点
在圆 上，则 的取值范围是（）
A. B. C. D. （3，7）
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点 ，点 ，点 ，则下列正确 有的（）
A. B. 直线 的倾斜角为
C. D. 点 到直线 的距离为
10. 圆 与圆 相交于 ， 两点，下列说法正确
的是（）
A. 的直线方程为 B. 公共弦 的长为
C. 圆 与圆 的公切线段长为1 D. 线段 的中垂线方程为
11. 已知数列 满足 ，且 ，则下列正确的有（）
A.B. 数列 的前 项和为
C. 数列 的前 项和为
D. 若数列 的前 项和为 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设 是数列 的前 项和，且 ，则 的通项公式为 ___________.
13. 函数 的最大值为______________.
14. 已知直线 ， 相交于点 ，圆心在 轴上的圆 与直线 ， 分别
相切于 两点，则四边形 的面积为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 为等差数列， ，数列 为等比数列，公比为2，且 ， .
（1）求数列 与 通的项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知圆 ，点 .
（1）过点 圆 作切线，切点为 ，求线段 的长度
（2）过点 作一条斜率为 的直线与圆交于 ， 两点，求线段 的长度
（3）点 为圆 上一点，求线段 长度的最大值
17. 已知直线 和直线 交于点 ，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点 且与直线 平行；
（2）过点 且到原点的距离等于2；
（3）直线 关于直线 对称的直线.
18. 已知圆 .
（1）求 的范围，并证明圆 过定点；
（2）若直线 与圆交于 ， 两点，且以弦 为直径的圆过原点 ，求 的值.
19. 已知数列 满足 .
（1）求 的值；
（2）求证：数列 是等差数列；
（3）令 ，如果对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.2024~2025 学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.
1.
【答案】B
2.
【答案】D
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】AC
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】 或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；
（2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ；
因为 ，所以 ．
【小问2详解】
结合（1）可得：
．
16.
【解析】
分析】（1）求出圆心和半径，得到 ；
【
（2）求出直线 ，求出圆心 到直线 的距离，由垂径定理求出答案；（3） 的最大值为点 到圆心 的距离加上半径，得到答案．
【小问1详解】
圆心 ，半径为 ，即 ，
又 ，
故 ；
【小问2详解】
，故直线 ，
记圆心 到直线 的距离为 ，
，故 ；
【小问3详解】
的最大值为点 到圆心 的距离加上半径，故 ．
17.
【解析】
【分析】（1）联立方程解交点 坐标，由平行关系设直线方程 ，代入 点坐标待定
系数可得；
（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；
（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建
立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.
【小问1详解】
联立方程 ，解得 ， ．
设与直线 平行的直线为 ，
由题意得： ， ，故满足要求的直线方程为： ．
【小问2详解】
①当所求直线斜率不存在时，直线方程为 ，满足到原点的距离为2；
②当所求直线斜率存在时，设直线方程为 ，
即 ，
原点到该直线的距离为 ，解得 ，
直线方程为 ，
综上所述，符合题意的直线方程为 或 ．
【小问3详解】
在 上取一点 ，设点 关于直线 的对称点为点 ，则
，解得 ， ，
又 ，则直线 的方程即所求直线方程，为 ，
化简得， .
故所求的直线方程为： ．18.
【解析】
【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.
（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解.
【小问1详解】
由圆 ，得 ， ， ，
所以 的范围为 ；
，由 ，得 ，
所以圆 过定点 .
【小问2详解】
以弦 为直径的圆过原点 ，则 ， ，
设点 ， ，则 ， ，
即 ，
由 ，消去 整理得： ，
， ， ，
于是 ，解得 ，满足 ，所以 的值为 ．
19.
【解析】
【分析】（1）根据递推关系求值即可；
（2）由递推关系可得 ，与原式相减可得 ，即
，于是可得数列数列 是以0为首项，以 为公差的等差数列；
（3）由（2）可得 ，故 ，作差 并分析判断数列{b }的单调情况，确定
n
数列的最大项．由题意可得 恒成立，于是，解不等式可得 的范围．
【小问1详解】
，
， ， ， ，
， ，
【小问2详解】
证明：由题可知： ①，
②，
②-①得 ，即： ，所以， ，
，
又
∴数列 是以0为首项，以 为公差的等差数列.
【小问3详解】
由（2）可得 ， ， ，
则 ，
由 可得 ；由 可得 ，
∴ ，
故{b }有最大值 ，∴对任意 ，有 ，
n
如果对任意 ，都有 成立，
则 ，∴ ，解得 或 ，
∴实数 的取值范围是
