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数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C C D C B B C ACD BC ACD
12.0
13.
14.． /0.3125
15.【解】（1）零假设为 ：电力企业收益提升情况与 AI 技术推出无关联
根据表中数据可得，
根据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立，即认为电力企业收益提升情况与 AI 技术
推出有关联，该推断犯错误的概率不超过 .
（2）抽样比： ，收益显著提升的企业共 60 家，抽取数量： 家，
收益未明显提升的企业共 40 家，抽取数量： 家，
抽取的 10 家企业中，6 家 “收益显著提升”，4 家 “收益未明显提升”，
由题意， 服从超几何分布： 的可能取值为
，
，
，
所以， 的分布列为
1 2 3 4 5
16.【解】（1）∵函数 的定义域是 ， ．
令 ，得 ，解得 ，
的单调递减区间是 ．
第1页/共5页令 ，得 ，解得 ， 的单调递增区间是 ．
综上， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．
（2） ， 恒成立， 恒成立．
， 在 上恒成立．
设 ，则 ．
令 ，得 ， （舍去）．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
∴当 时， 取得极大值，也是最大值，且 ，
若 在 上恒成立，则 ，
故实数 的取值范围是 ．
17.【解】(1)将 两边取对数，得 ，令 ，
由题意得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
(2)因为回归直线方程为 ，
所以 ，
第2页/共5页所以 ，
所以 ．
因为 ，所以该经验回归方程有价值．
因为 ，
所以 ，
所以 与 线性相关性强，其经验回归方程有价值，
又 ，
所以模型 更有价值.
18.【解】（1）设小张同学在初赛的得分为 ，则 ，
所以小张同学成功晋级复赛的概率 .
（2）设在复赛中每轮得分为 ，则有：
；
；
，
（i）若 ，则 ， ， ，
因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分，
所以小张同学复赛总得分为10分的概率 ；
（ii）由题意可知： ， ，
第3页/共5页则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以 取到最大值 .
19. 【 解 】 （ 1） 若 为 偶 函 数 ， 则 ，
（1分）
此时 ， ，
所以 ， ，
故所求的切线方程为 ，即 。 （3
分）
（2）当 时， 。要证 ，
即证 。
设 ，则 。 （4分）
继续求导得 ，故 是增函数，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， （6分）
所以 ，得证。 （7分）
（ 3） 恒 成 立 ， 即 恒 成 立 ， 则 。
（8分）
设函数 ，即 ，
则 ，由（2）可知 是增函数，且易知其值域为 。
故存在 ，使得 ，即 ， （10分）
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以
。 （13分）
第4页/共5页要使 最大，则取 ，再分析 的最大值。
设函数 ，
则 ， （14分）
因为 ，且仅在 处等号成立，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ， （16
分）
即 的最大值为 ，当 时， ，
得 。 （17分）
第5页/共5页
