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承德市第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中联考
数学试题
一、单选题
1． （ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
2．设函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则
不同的排法总数为（ ）
A． B． C． D．
5．现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果：
30岁及以下 30岁以上
男 154 60
女 196 90
记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为 ，则（ ）
附： ， .
A． B．
C． D．
6．已知曲线 在其上一点处的切线与 轴交于点 ，则 的最大值为（ ）A． B． C．1 D．
7．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知正整数p，q互素，且 ，则 （ ）
A．2071 B．2143 C．2219 D．2307
二、多选题
9．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．若复数 满足 ，则（ ）
A． 可能为实数 B． 可能为纯虚数
C．当 的实部取得最大值时， 为实数 D．当 的虚部取得最大值时， 不为纯虚数
11．对于 维向量 ， ， ， ，二者夹角的余弦值
现有一组点(x ,y ),⋅⋅⋅,(x ,y )，设 ， ，记
1 1 n n
⃗a =(x −x,x −x,⋅⋅⋅,x −x)，⃗a =(y −y,y −y,⋅⋅⋅,y −y)，已知这组点由最小二乘法所得的经
x 1 2 n y 1 2 n
验回归方程为 和 ，若 ，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相
关性强，则（ ）
附： ， ， ， .A． B． 在 上的投影向量为
C．r=cos⟨⃗a ,⃗a ⟩ D．这组点的线性相关性弱
x y
三、填空题
12．已知随机变量 的分布列如表，
0 1 2 3 4
则 ______.
13．若 ( 1+ y) (2x+ y) n (n∈N,n≥3)的展开式中 的系数是x yn−1系数的 ，则展开式中 的系数
x
为_____.
14．设函数f (x)=2x(lnx) 2−alnx ，若 ，则 的最大值为______；当 取得最大值时，
_____.
四、解答题
15．一个盒子内有6个白球，3个红球，它们除颜色外完全相同，每次从盒子里随机抽出一个小球并记录.
(1)若抽出小球后不放回，求第二次抽到白球的概率；
(2)若抽出小球后放回盒子，记抽取6次后记录 次白球，求 .
16．已知函数 ， .
(1)求 的单调区间；
(2)证明： .
17．设 ，已知 ， 是方程 的两个不同的解．
(1)求 ；
(2)求 ；(3)若 ，求复数 虚部的平方．
18．现有一处鱼塘，要进行合理养殖与合理捕捞.
(1)若鱼塘中有600尾鱼，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘（该标记不会在短期损坏），第二次
随机打捞20尾鱼，求这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记的概率；（用组合数的式子表示）
(2)现进行养殖.
（i）假设当鱼塘中鱼的尾数为 时，年增长量为f (X)，捕捞量为g(X)，受到环境制约，考虑简单模型
f (X)=kX(900−X)， 且为常数.当600<X<900 时，给出合理的g(X)，使得下一年的鱼群数目达到
能使年增长量最大的水平；
（ii）当鱼塘中鱼的尾数为 时，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘，第二次随机打捞25尾鱼后
有1尾有标记，试给出 的估计值（以使得仅1尾有标记的概率最大的 的值作为 的估计值）.
19．已知函数f (x)=x2−asin(xlnx).记曲线 在 处的切线为 .
(1)当 时，求 的方程；
1
(2)证明：函数g(x)=x−lnx−1− xln2x 在 上单调递减；
2
(3)当 时，证明：曲线 与 有且仅有一个公共点.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B A C B C ABD ABD
题号 11
答案 AC
1．D
【详解】 .
2．A
利用导数在 处的定义，与导函数在 处导数值相等即可求解.
【详解】 =
=
，
而 ，所以 ， .
3．D
根据题意结合正态分布的对称性分析求解.
【详解】因为 服从正态分布 ，且 ，
则 ，即正态曲线关于直线 对称，
所以P(X<2)=P(X>6)=0.1，
又P(2<X<6)=1−P(X<2)−P(X>6)=0.8，
1 1
所以P(4<X<6)= P(2<X<6)= ×0.8=0.4.
2 2
4．B
根据分步乘法计数原理，结合排列数适用于有顺序要求的排法场景，分两步计算总排法数即可.
【详解】第一步：从200人中选取50人组成A方队，考虑站位顺序，共有A50
种排法；
200
第二步：第一步选取后剩余200−50=150人，从中选取100人组成B方队，考虑站位顺序，共有A100
种排
150
法；根据分步乘法计数原理，总排法数为两步排法数的乘积，即A50 A100
.
200 150
5．A
对列联表各位置数值赋值后代入卡方公式计算结果，再与临界值比较即可得到答案.
【详解】首先对列联表参数赋值：
， ，c=196， ，总样本量n=a+b+c+d=154+60+196+90=500.
n(ad−bc) 2
将参数代入卡方计算公式χ2=
，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
分步计算：
：ad=154×90=13860，bc=60×196=11760，故ad−bc=13860−11760=2100；
n(ad−bc) 2=500×21002=500×4410000=2205000000；
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=(154+60)×(196+90)×(154+196)×(60+90)=214×286×350×150=3213210000
2205000000
代入得χ2= ≈0.686229<2.706.
3213210000
6．C
先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点 得到 关于切点横坐标的表达
式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出 的最大值.
【详解】设切点坐标为(x ,ex 0+ex ) ，
0 0
因为y=ex+ex ，所以 ，所以切点处的切线斜率k=ex 0+e ，
由点斜式得切线方程为：y−(ex 0+ex )=(ex 0+e)(x−x )
0 0
令 ，代入切线方程可得纵截距 ：
t=−x (ex 0+e)+ex 0+ex =ex 0(1−x ) ，
0 0 0
设函数f(x)=ex (1−x),x∈R ，则 ，
令 ，由于 恒成立，解得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，当 时， ，所以 在 上单调递减，
因此 为 的最大值点，
最大值为f(0)=e0×(1−0)=1 ，即 的最大值为 .
7．B
根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小.
9 4 1 4 4 3 1 3
a= ln = ln b= ln = ln 1 1
【详解】因为 16 3 (4) 2 3， 9 2 (3) 2 2，c= ln2= ln2，
4 22
3 2
lnx 1−2lnx
考虑构造函数f (x)= ，求导得，f'(x)= ，
x2 x3
当f'(x)>0⇒0<x<√e，当f'(x)<0⇒x>√e
所以函数 在 单调递增，在 单调递减.
(4) ln√2 2ln√2 ln2
所以a=f ， ，c=f (2)，而f (√2)= = = =f(2),
3 2 22 22
4 3
显然，0< <√2< <√e,
3 2
所以 .
8．C
8 i⋅Ci
先根据组合数的性质对∑ 8进行化简，再结合二项式定理求出其值，最后根据 ， 互素求出 ，
2i
i=1
的值，进而得到 的值.
【详解】由组合恒等式：i⋅Ci =n⋅Ci−1
，
n n−1
令
，得：i⋅Ci =8⋅Ci−1
，
8 7
8 i⋅Ci 8 8⋅Ci−1 8 Ci−1
代入原式∑ 8=∑ 7 =8∑ 7 ，
2i 2i 2i
i=1 i=1 i=1
令 ，则 i= j+1 ， 的取值范围为0≤ j≤7 ，所以8∑
7 C
7
j
=4∑
7 Cj(1) j
，
2j+1 7 2
j=0 j=0
由二项式定理得∑ 7 Cjaj=(1+a) 7 ，令 ，得：4⋅ ( 1+ 1) 7 =4⋅ (3) 7 =4⋅ 2187 = 2187 ，
7 2 2 128 32
j=0
因为 与 互素，故 p=2187 ， ，
所以p+q=2187+32=2219 .
9．ABD
可通过二项展开式通项计算各次项系数，也可通过赋值法快速求解特定系数组合的值.
【详解】对于A， 的系数仅来自(2+x) 4的最高次项，即a =C4 ⋅20=1，故A正确；
4 4
对于B，令 代入原式计算，得a =24+13=16+1=17，故B正确；
0
对于C，a =C2 ⋅22+C2 ⋅11=6×4+3=27，a =C3 ⋅21+C3 ⋅10=4×2+1=9，3a =27，即a =3a ，
2 4 3 3 4 3 3 2 3
故C错误；
对于D，令 代入原式，左边为(2−1) 4+(1−1) 3=1，右边为 ，故
a −a +a −a +a =1，D正确.
0 1 2 3 4
10．ABD
本题设复数 ，利用复数模的公式化简得到$a，b$满足的二元二次方程，再分别令 、 ，
通过判别式判断方程有解，验证A、B选项成立；接着对方程配方得到圆的标准形式，用三角换元表示
，据此求出 、 的最大值并验证取等条件下 是否为实数、纯虚数，进而判定C错误、D正确.
【详解】对于A，设 ，由题设得 .
于是 .
当 时，8a2+4a−5=0, Δ =16+160>0，
1
显然方程有实数解，则 可能为实数，故A正确；
对于B，当 时，8b2+2b−5=0, Δ =4+160>0，
2显然方程有实数解，且解不为0，则 可能为纯虚数，故B正确；
对于C，因为
所以 即 ，
3√5 1
可设 ，所以a≤ − .
8 4
当且仅当 时等号成立，此时 ， 不为实数，故C错误；
3√5 1
对于D，由C项分析，知b≤ − ，当且仅当 时等号成立，
8 8
此时 ， 不为纯虚数，故D正确．
11．AC
对于A，根据样本中心点过 ，再联立得到 ，对于B， 在 上的投影向量为
(⃗a
x
⋅⃗a
y )
⃗a
y =
⃗a
x
⋅⃗a
y ⃗a ，又 b^=
⃗a
x
⋅⃗a
y 即可判断；对于C，根据向量夹角的定义可得
|⃗a | |⃗a | |⃗a | 2 y |⃗a | 2
y y y y
⃗a ⋅⃗a
r=cos⟨⃗a ,⃗a ⟩= x y =r ；对于D，由 ，再结合题意判断即可．
x y |⃗a |⋅|⃗a |
x y
【详解】已知经验回归方程为 和 ，
^ ^ 4
设b=1,b'=
，
5
∴¿，解得¿，则 ，故A正确；
(⃗a ⋅⃗a
)
⃗a ⃗a ⋅⃗a
在 上的投影向量为 x y y = x y ⃗a ，
|⃗a | |⃗a | |⃗a | 2 y
y y y
n n
⃗a ⋅⃗a =∑(x −x)(y −y)=∑ x y −nx y，
x y i i i i
i=1 i=1n n
∑ x y −nx y ∑(x −x)(y −y)
i i i i
b^= i=1 = i=1
n n
∑ x2−nx2 ∑ x2−nx2
i i
i=1 i=1
n n
∑ x y −nx y ∑(x −x)(y −y)
i i i i
b^'= i=1 = i=1 ，
n n
∑ y2−n y2 ∑ y2−n y2
i i
i=1 i=1
4
而回归方程 中 ，
中，b^'=
二者不相等，
5
因此投影向量为 ，B错误；
相关系数 ，
√ n √ n √ n √ n
|⃗a|= ∑(x −x) 2= ∑ x2−nx2,|⃗a|= ∑(y −y) 2= ∑ y2−n y2，
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
⃗ ⃗
⃗ ⃗ a ⋅a
所以cos<a ,a >= x y =r ，C正确；
x y |⃗ | |⃗ |
a ⋅a
x y
4
由回归方程 中 ，
中，b^'=
，
5
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
b ^ ⋅b ^ '= (a x ⋅a y ) · (a x ⋅a y ) =r2= 4 ，|r|= 2√5 ≈0.894>0.75 ，
|⃗ | 2 |⃗ | 2 5 5
a a
x y
所以这组点的线性相关性强，D错误．
12． /
根据分布列的性质求得 ，根据数学期望的计算公式求得
1 1 1 1 1
【详解】根据分布列的性质，所有概率之和为1，得 + + +α+ =1,α= ,
6 3 4 6 12由离散型随机变量数学期望的定义，
1 1 1 1 1 3 7
E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =1+ = .
6 3 4 12 6 4 4
13．8
将原式拆分为两个二项式展开式的和，分别求出指定项的系数，根据系数比值求得n，再计算 的系数即
可.
【详解】 ( 1+ y) (2x+ y) n=(2x+ y) n+ y (2x+ y) n ，
x x
二项式 的通项公式为： ，
所以 的系数为 ，
的系数为 ，
10
由题意4C2+8C3= (2C1+4C2)，
n n 9 n n
n(n−1) n(n−1)(n−2) 10( n(n−1))
所以4× +8× = 2n+4× ，又 ，
2 6 9 2
所以6(n−1)(n−2)=10+(n−1)，
所以6n2−19n+3=0，
解得 或 （舍去），所以 的系数为 .
14．
先利用特殊值得到 的最大值，再证明等号可取，从而得出 的值.
【详解】由题可知， 对任意 恒成立，取特殊值 ，代入函数有
f (e)=2e−a≥b⇒a+b≤2e，即 的最大值不超过 .
若 ，则
原不等式转化为：2x(lnx) 2−alnx≥2e−a
令t=lnx(t∈R)，则 ，代入不等式，有令g(t)=2ett2−at−2e+a，则g(t)≥0对任意 恒成立，且 ，故 是 的极小值点，所以
.
因为g'(t)=2et(t2+2t)−a，
所以g'(1)=2e(1+2)−a=0⇒a=6e
验证：将 代入得g'(t)=2et(t2+2t)−6e
所以g″(t)=2et(t2+4t+2)
当g''(t)>0⇒t<−2−√2或t>−2+√2
g″(t)<0⇒−2−√2<t<−2+√2，
即 在 单调递减，在 ， 单调递增.
所以 在 处取得极大值
故g'(−2−√2)=4(√2+1)e−2−√2−6e<0
所以当 时， 又
故当 时， 即函数 单调递减；
当 时， 即函数 单调递增；
所以 在 处取得最小值 ，即 恒成立，符合条件.
15．(1)
(2)
（1）利用全概率公式，按第一次抽取的颜色分类计算第二次抽到白球的概率即可；
（2）先判断 服从二项分布，再利用二项分布期望公式求解即可．【详解】（1）记“第一次抽到白球”为事件A，“第一次抽到红球”为事件 ，“第二次抽到白球”为事
件B，
6 2 2 1
由题意P(A)= = ,P(A)=1− = ，P¿，
9 3 3 3
由全概率公式可得，P(B)=P(A)P¿．
（2）由题意，每次抽到白球的概率为 ，
因为是放回抽取，共抽取6次，
所以记录的白球次数 服从二项分布，即 ，
2
因此E(X)=6× =4 .
3
16．(1) 的减区间为 ， 的增区间 ， .
e e
(2)由题设f'(x)=xex− ，设s(x)=xex−
，
x x
e
则
s'(x)=(x+1)ex+ >0
，故 在 上为增函数，
x2
而f'(1)=e−e=0，
故当 时， ；当 时， ，
的减区间为 ，增区间为 .
若 ，则 ，故 ；
若 ，则 ，故 ；
若 ，则 ，故f (x2)=f (x)；
综上，f (x2)≥f (x)，当且仅当 时等号成立.
（1）求出 ，讨论其符号后可得原函数的单调性；
（2）利用导数讨论 的单调性，再就 、 、 分类讨论后可证题设中的不等式.【详解】（1） ，
故当 或 时， ；当 时， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 ， .
（2）略
17．(1)
(2) ，
7+√65
(3)
8
【详解】（1） ．
（2） 是方程 的解， ，即
， ， .
（3）由（2）可得 ，设 ，
代入 ，得 ，
1 1
，由②可得a= + ，代入①式得
2b 2
，
7+√72+16 7+√65
于是4b4−7b2−1=0，故b2= = ．
8 8
18．(1)(2)（i）当g(X)=X+kX(900−X)−450时，鱼群的数目增长情况良好. （ii） 的估计值为 或 .
（1）根据古典概型的概率公式可求题设中的概率；
（2）（i）根据 时f (X)取最大值可得g(X)；（ii）利用不等式法可求 的估计值.
C20
【详解】（1）设 为“这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记”，则P(A)=1− 570 .
C20
600
（2）（i）由题设年增长量为f (X)=kX(900−X)，
当 时，年增长量f (X)取最大值，
令X+f (X)−g(X)=450，则g(X)=X+f (X)−450=X+kX(900−X)−450，
故当g(X)=X+kX(900−X)−450时，鱼群的数目增长情况良好.
（ii）设 ，由题设仅1尾有标记的概率为 ，
令¿，则¿，而 ，
故 ，故 的估计值为 或 .
19．(1)
(2) ，求导得
，
1 1 3
换元，令 ，则 ， ，只需证− − (t+1) 2+ ≤0 ，
et 2 2
1 3 1
即证明 (t+1) 2+e−t≥ ，令h(t)= (t+1) 2+e−t ，求导得h'(t)=t+1−e−t，
2 2 2
二次求导得h''(t)=1+e−t>0 （定义h''(t)为函数 的导函数），所以 在 上增，而
h'(0)=0+1−1=0，
所以 在 为负， 为正，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，取最小值时 ，所以 ，对 恒成立，且只在 处，
所以 在 上单调递减.
(3) ， ，
所以 ，而f (1)=1−sin0=1 ，
所以切线方程为y−1=1(x−1)，即 ，
令p(x)=f (x)−x=x2−x−sin(xlnx)，易知p(1)=1−1−0=0 ，
下面分别证明 时， ，
设函数 ，
，且只在孤立的点x=2kπ,k∈Z为0，所以 在 上增，所以 时，
，
即 ，所以 时， ,
当 时， ，所以sin(xlnx)<xlnx ，
所以p(x)=x2−x−sin(xlnx)>x2−x−xlnx=x(x−1−lnx)，
令q(x)=x−1−lnx ，
1 x−1
q'(x)=1− = ，当 时， ，
x x
所以q(x)>q(1)=1−1−0=0，所以 ，
1
当 时，由（2）可知 ，g(x)=x−lnx−1− xln2x>0 ，
2
1 1
即x−1>lnx+ xln2x ，两边同乘x得x2−x>xlnx+ (xlnx) 2 ，
2 2
1
所以p(x)=x2−x−sin(xlnx)>xlnx+ (xlnx) 2−sin(xlnx)，
2
换元，令 ，因为 ，所以 ，1
令u(m)=m+ m2−sinm ，则u'(m)=m+1−cosm ，
2
而u″(m)=1+sinm≥0 （定义u''(m)为函数u'(m)的导函数），所以u'(m)在 上单调递增，所以当 时，
u'(m)<u'(0)=0+1−1=0 ，
所以 在 上单调递减，所以u(m)>u(0)=0+0−0=0 ，所以p(x)>u(m)>0 ，
所以 只有唯一零点，所以 与直线 有唯一公共点.
（1）先求导，进而求出切线的斜率，根据直线方程的点斜式即可求出切线方程.
（2）求导，通过换元证明导函数在定义域内为负，即可证明 递减.
（3）设 ，先证 时没有零点，利用 ，只需证 ，再利用
即可证明 ；当 时，利用第二问结论， 再乘x，得
，代入 ，只需证 ，通过换元，二次求导即可证
明.
【详解】（1） ，求导得 ，
所以 ，而 ，
所以切线方程 ，即 .
（2）略
