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内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026 学年高二下学期5 月期中考
试数学试题
一、单选题
1．把10 个相同的小球放入编号分别为1，2，3 的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，
则共有多少种放法（ ）
A．10 种
B．
种
C．
种
D．45 种
2．某文创社有5 款徽章设计稿，4 款钥匙扣设计稿，现从中随机选3 款设计稿制作成品，则被选中的设计
稿中恰有2 款徽章设计稿的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．一袋中装有7 个盲盒，已知其中3 个是玩具盲盒，4 个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个
盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为
，
，
，
，
，
，
，
，若这组数据的
分位数为
，且随机变量
，则
（ ）
A．7.6
B．7.4
C．7.2
D．7
5．为了解某地区某种水果的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：万元/吨）的影响，对近五年该水果的
年产量和价格统计如下表：
x
300
350
400
450
500
y
1.8
1.7
1.5
1.4
1.1
若y 关于x 的回归直线方程为
，则
（ ）
A．2.82
B．2.86
C．2.88
D．2.92
6．某公司近几年投入A 款产品的年研发费用与年利润
的统计数据如下表：
年研发费用
5
4
6
3
4
2
年利润
12
10
13
9
11
5
若
与的回归直线方程为
，则
（ ）
A．2.1
B．2.2
C．2.3
D．2.4
7．曲线
在点
处的切线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，若
至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（
）
A．
B．
（
为正整数且
）
C．
D．满足方程
的值可能为
或
10．下列说法正确的是（ ）
A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1
B．经验回归方程为
时，变量x 和y 负相关
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据
，
，
，
，其经验回
归方程
必过点
，则
11．对于函数
以及它的图象，下列说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
的图象关于点
成中心对称
C．
存在极值
D．
在
上单调递减
三、填空题
12．
的二项展开式中，系数最大的项为__________.
13．从6 名男生和4 名女生中选出3 人参加知识竞赛，若这3 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法
共有_____________种.
14．已知函数
，
．若经过点
存在一条直线l 与曲线
和
都
相切，则
______．
四、解答题
15．某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，对今年前几月的销售额统计如
下：
月份
销售额
万元
(1)根据表中数据建立月份与销售额
的经验回归方程
；
(2)为了更好的规划文创产品，从这个月中随机抽取个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数据含有
残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
参考公式：
．参考数据：
，
．
16．某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100 个，将其质量指标值（单
位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求
的值；
(2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)当配件的质量指标值不小于80 分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3 件
产品，随机变量
表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求
的分布列及数学期望.
17．已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)求
在区间
上的最大值．
18．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解20－
30 岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4 月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机
抽样，得到如
列联表．
性别
健康状况
感冒
不感冒
男
8
14
女
4
24
(1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6 人，再从这6 人中随机选取3 人访谈，记参
与访谈的男性人数为
，求
的分布和期望
；
(2)依上表，在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，20－30 岁年轻人的体质健康与性别是否有关？
参考数据：参考公式：
，其中
．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)若
恒成立，求的取值范围；
(3)当
时，求证：
参考答案
1．B
【详解】先在1 号箱子放0 个小球，2 号箱子放1 个小球，3 号箱子放2 个小球，
问题转化为将剩余的7 个相同小球放入3 个不同箱子中，方法数共有
种.
故选：B.
2．A
【详解】依题意从9 款设计稿中任选3 款的试验有
个基本事件，
被选中的设计稿中恰有2 款徽章设计稿的事件有
个基本事件，
所以所求概率为
.
故选：A
3．A
【详解】①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，P1= 3
7 × 2
6 = 1
7 ；
②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，P2= 4
7 × 3
6 = 2
7 .
所以乙取到玩具盲盒的概率为P1+ P2= 3
7 ．
4．A
【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，所以这组数据的
分位数为第位数字，即
，
即
，所以
.
故选：A.
5．B
【详解】由题意，得
,
，
所以
，解得
．
故选：B．
6．D
【详解】由表可知
，
，
则样本中心点为
，代入回归直线方程
得：
，解得
．
故选：D.
7．C
【详解】因为
，
所以
，又切线的倾斜角的范围为
，求倾斜角为
.
故选：C
8．D
【详解】由
，得
，函数
至少有3 个不同的零点，
等价于直线
与函数
的图象至少有3 个交点，
直线
过原点，在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，
当直线
与曲线
相切时，直线
与函数
的图象有3 个交点，
由
，求导得
，设切点坐标为
，则切线方程为
，
而切线过原点，则
，解得
，此时切线的斜率
，
当
时，直线
与函数
的图象有2 个交点，不符合题意；
当
时，直线
与函数
的图象最多有2 个交点，不符合题意；
当
时，直线
与函数
的图象有4 个交点，符合题意，
所以实数的取值范围是
.
故选：D
9．BD
【详解】对于A：
，故A 错误；
对于B：
，
，
所以
（
为正整数且
），故B 正确；
对于C：
，又
，
所以
，故C 错误；
对于D：因为
，所以
或
，
解得
或
或
或
经检验
或
符合题意，故满足方程
的值可能为
或
，故D 正确.
故选：BD.
10．BCD
【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的绝对值越接近于1，
故A 不正确；
对于B，因为斜率小于，所以变量x 和y 负相关，故B 正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C 正确；
对于D，因为经验回归方程
必过点
，所以
，
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD
11．AD
【详解】对于A：要使函数
有意义，则
，即
，
所以函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，
所以函数
是奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，故选项A 正确；
对于B：
，选项B 错误；
对于C 和D：当
时，
，
则
，
当
时，
，则
，
所以
在
上单调递减，不存在极值，故选项C 错误，选项D 正确．
12．
【详解】
的二项展开式的通项公式为：
，
各项的系数即为各项的二项式系数，
因为
，所以二项式系数的最大值为
，是第6 项的二项式系数，
所以系数最大的项为第项
.
13．
【详解】2 名男生1 名女生：
，
1 名男生2 名女生：
，
故共有
种，
故答案为：
14．1
【详解】
，设直线与
相切于点
所以切线方程为
，切线过点
，
则
，整理为
，
设
，
，
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值，
，
所以方程
的根为
，
所以切线方程为
，
联立
，得
，
，得
.
故答案为：1
15．(1)
(2)
【详解】（1）由已知
，
，
又
，
，
则
，
，
所以回归方程为
；
（2）当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
当
时，
，残差
；
则这个月中残差为负的月份有个，残差为非负的月份有个，
则这个月中随机抽取个月，抽到的月份数据含有残差为负的概率
.
16．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由题知，
，解得
.
（2）设为样本数据的平均数，
则
，
故这组样本数据的平均数为76.5.
（3）设p 表示在这批产品中随机抽取一件产品，
所抽取的产品为优秀品的概率，由题知
，
随机变量
，X 的所有可能取值为0，1，2，3，
则
，
，
，
，
∴X 的分布列为
0
1
2
3
0.21
6
0.43
2
0.28
8
0.06
4
随机变量X 的数学期望
.
17．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由
求导得：
，
由
可得
，由
可得
或
，
故函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
；
（2）由（1）已得函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因
，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
故当
时，函数
取得最大值为
.
18．(1)分布列见解析，
(2)答案见解析
【详解】（1）解：在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取
人访谈，记参与访谈的男性人数为
，样本中感冒的男性有人，女性有人，比例为
，按照性别采
用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性人，随机变量
的所有取值为，2，，
，
，
，
所以
的分布列为：
所以
.
（2）解：提出零假设
：
岁年轻人的体质健康与性别无关，
根据列联表中的数据，得到
，
因为
，不能拒绝零假设
，
所以没有
的把握认为
岁年轻人的体质健康与性别有关.
19．(1)当
时，
在
上单调递增，当
时，
在
上单调递增，在
上单
调递减.
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得，函数
的定义域为
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，令
，解得
单调递增，
令
，解得
单调递减，
所以，当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，
，不合题意，舍去，
当
时，
，不合题意，舍去，
当
时，由（1）知
的最大值为
，
由已知
解得
.
所以
.
（3）由（2）可得，当
时，
，
所以
（当且仅当
取等号）.
设
，则
，
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
.
所以
（当且仅当
取等号）.
（
），
.
