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内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026 学年第二学期4 月诊断考试
高二数学
一、单选题
1．已知直线
与直线
，则两条直线的交点所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知空间向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．6
3．如图，在空间中平移
到
，连接对应顶点．设
，
，
，
是
的中
点，则
用向量，，表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知数列
满足
，
，则数列
的前12 项和为（ ）
A．108
B．28
C．62
D．80
5．记
为正项等比数列
的前项和，已知
，则该数列的公比为（ ）
A．4
B．
C．1
D．2
6．已知
，则m，n，p（ ）
A．成等差，但不成等比
B．成等比，但不成等差
C．既成等差，又成等比
D．既不成等差，又不成等比
7．某文创社有5 款徽章设计稿，4 款钥匙扣设计稿，现从中随机选3 款设计稿制作成品，则被选中的设计
稿中恰有2 款徽章设计稿的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知甲箱中有3 个白乒乓球和4 个黄色乒乓球，乙箱中有4 个白乒乓球和3 个黄色乒乓球.先从甲箱中随
机取出1 球放入乙箱中，以
，
分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1 球，以
表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．
，
互斥
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知向量
，
，
，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．
是平面
的一个法向量
D．
10．记数列
的前项和为
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
是等差数列
C．
D．
11．已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切于点
，与圆
内切于点
．
记圆心
的轨迹为曲线
，若曲线
与轴的交点为，曲线
上任意一点
（与不重合）关于
轴的对
称点为
，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线
的方程为
B．
的最小值为
C．
D．直线
与直线
斜率的乘积为
三、填空题
12．在公比不等于1 的等比数列
中，其前项和为
，若
，则公比
_________.
13．设随机变量的概率分布为
，k＝1、2、3、4、5，则
______．
14．已知某品牌袋装白砂糖的质量指标
服从正态分布
，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，
其质量指标
满足
的概率为________．
附：若
，则
，
，
．
四、解答题
15．已知焦距为10 的椭圆C：
过点
.
(1)求椭圆C 的标准方程和离心率；
(2)若点P 在椭圆C 上，
，
分别为椭圆C 的左、右焦点，且
，求
外接圆的方程.
16．在数列
中
，
，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式
；
(3)求数列
的前项和公式
.
17．已知双曲线C：
的离心率为
，且经过点
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)求双曲线C 的左顶点到渐近线的距离．
18．如图，在直三棱柱
中，
，
是棱
上一点（不包含端点），
是
的中点．
(1)若
是
的中点，求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长．
19．为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025 年7 月28 日印发了《育儿补贴制度
实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的
执行策略如表：
单个家庭生育婴
儿数
1
2
3
补贴方案
每月补助300 元，共补贴
3 年
每月补助1100 元，共补贴
3 年
每月补助2600 元，共补贴
3 年
补贴方案
每月补助1000 元，共补贴3 年
通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表：
单个家庭生育婴儿数
0
1
2
3
概率
由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴
儿总数在
的情况．
(1)若采用补贴方案
，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100 元／月，求该家庭共生育2 个婴儿
的概率；
(2)试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高；
(3)若采用补贴方案
的概率为
，采用补贴方案
的概率为
，记单个家庭每月收到的补助额为
，求
的分布列与期望．
参考答案
1．B
【详解】由
，解得
，
即两条直线的交点坐标为
，
所以两条直线的交点所在的象限是第二象限，
故选：B
2．A
【详解】
，
，得
，
故选：A
3．A
【详解】
.
故选：A
4．D
【详解】设数列
的前项和为
，
则
，
因为当
时，
，当
时，
，
所以
.
故选：D.
5．D
【详解】设公比为
，
若
，则由
，可得
，解得
，不符合题意，所以
；
由
，则
，显然
，
所以
，即
，
即
，解得
（负值已舍去）.
故选：D
6．A
【详解】由题可得
，
，因此
，可知m，n，p 成等
差；
由
，但
，可知m，n，p 不成等比．
故选：A．
7．A
【详解】依题意从9 款设计稿中任选3 款的试验有
个基本事件，
被选中的设计稿中恰有2 款徽章设计稿的事件有
个基本事件，
所以所求概率为
.
故选：A
8．C
【详解】对于A 中，由
，
分别表示甲箱中取出的是白球和黄球，
因为每次只取1 个球，所以
，
是互斥的事件，所以A 正确；
对于B 中，由题意，可得
，
，
，所以B 正确；
对于C 中，由
，可得
，所以C 错误；
对于D 中，由
，所以D 正确.
故选：C.
9．BCD
【详解】对于A，因为
，所以
，选项A 错误；
对于B，因为
，所以
，
则
，选项B 正确；
对于D，因为
，所以
，选项D 正确．
对于C，因为
，
，
，且
平面
，
所以
是平面
的一个法向量，选项C 正确.
故选：BCD.
10．ABD
【详解】对于A，在
中，取
时，
，故A 正确；
对于B，当
时，由
①，得
②，
则①②得
，即
，所以
．
又
，所以
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，故B 正确；
对于C，由B 项，可得
，故C 错误；
对于D，因
，
故
，故D 正确．
故选：ABD.
11．BD
【详解】由题知，
，
，圆
半径为，圆
半径为，
设
，圆
半径为，则
，
，
所以
，
所以点
轨迹即曲线
为以
为焦点的椭圆，
且点
不能在该椭圆的左顶点处，
其中
，
，
所以曲线
的方程为
，A 错误；
又
即为
的补角，
所以
最小时，
最大，
而
最大时，点
在曲线
的上顶点处，
所以
，
所以
，B 正确；
由上述可得
，即
，C 错误；
由题知，
，设
，则
，
所以
，
又
，即
，
所以
，D 正确.
故选：BD
12．
【详解】因为等比数列的公比
，由
可得
，
即
，
化简可得
，即
，且
，解得
.
故答案为：
13．
/0.1
【详解】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1，
即
，
则
，
则
，
∴
，
故答案为：
.
14．0.8186
【详解】因为
服从正态分布
，且
，
，
所以
，
即顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标
满足
的概率为0.8186．
故答案为：0.8186.
15．(1)椭圆
的标准方程：
，离心率为
.
(2)
【详解】（1）由题意：
.
所以椭圆
的标准方程为
，其离心率为
.
（2）如图：
因为
点在椭圆上，所以
，又
，
所以
，
，又
，
因为
，所以
为直角三角形.
所以
外接圆是以
为圆心，5 为半径的圆，
其方程为
.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）
，又
，
数列
是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：
，
.
（3）由（2）得：
.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为双曲线C：
的离心率为
，且经过点
，
所以
，解得：
，
所以双曲线C 的方程为
．
（2）双曲线C：
的左顶点为
，渐近线方程为
，
所以双曲线C 的左顶点到渐近线的距离为
．
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取
的中点
，连接
，则
．
又在直三棱柱
中，
，所以
．
因为
为
的中点，所以
，
所以四边形
为平行四边形，所以
．
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）由题知
两两垂直，以
为坐标原点，以
所在直线分别为轴，
轴和
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
．
设平面
的一个法向量为
，则
取
，则
，所以
．
设
，直线
与平面
所成角为，
则
，
解得
或
（舍去），所以
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
时，
的长为
．
19．(1)
(2)方案B 的补助额更高
(3)
的分布列为
X
0
300
1000
1100
2600
P
的期望为
.
【详解】（1）记事件
“补贴方案
中，一家庭的补助不低于1100 元/月”，事件
“一家庭共生育
2 个婴儿”，
则
，
所以选取的该家庭的补助不低于1100 元/月条件下该家庭共生育2 个婴儿的概率为
；
（2）设采用补贴方案
每月获得的补助额为
，则
，
故由题可得
，
采用补贴方案
每月获得的补助额为
，则
，
因为
，所以方案B 的补助额更高；
（3）由题可得
，
且
，
，
，
，
，
所以
的分布列为
X
0
300
1000
1100
2600
P
