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2025-2026学年（下）高二中期质量评估数学试题
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知 ，则 等于（ ）
A．1 B．4 C．1 或 3 D．3 或4
3．记 为数列 的前 项和，已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知随机变量 取所有值 、 、 、 是等可能的，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．6．已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是公差为 的等差数列
B．数列 是公差为2的等差数列
C．数列 是公比为 的等比数列
D．数列 是公比为2的等比数列
7．已知函数 的图象在点 处的切线也是函数 的图象的切线，则实数
（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知不经过点 的直线 ： 与双曲线 ： 交于 ， 两点，若
的角平分线与 轴垂直，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ，则事件 相互独立与事件 互斥不能同时成立
B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4
C．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1
次的得分均值为0.7D．若随机变量X的数学期望 ，则 .
10．已知m，n为正整数，且 ，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记 表示事件“第n次分类正
确”， 表示第n次分类正确的概率．已知 ，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第
次分类正确的概率为 ；若第n次分类错误，则第 次分类正确的概率为 ．记 ，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B．若第n次分类正确，则第 次分类正确的概率为
C．数列 是等比数列
D．数列 的前n项和为
三、填空题
12．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为______.
13．某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位
引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________.
14．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函
数 ， ______．
四、解答题
15．已知 的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是 .
(1)求 的值；
(2)求展开式的常数项；
(3)求展开式中系数绝对值最大的项.
16．甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，
2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会．
(1)求甲、乙面试都合格的概率；
(2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列．
17．已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，函数 有两个零点，求a的取值范围.
18．如图，矩形 中，点 ， ， 分别在 ， ， 上， ，
，将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得平面 平面 .
(1)证明： 平面 .
(2)若存在点 ，使得点 到 ， ， ， 的距离相等.
（ⅰ）求点 到平面 的距离；（ⅱ）若点 满足 ，当 取得最小值时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19．已知函数 ，其中 .
(1)当 时，判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由；
(2)若函数 在定义域内存在极值点，求实数 的取值范围；
(3)若 有两个不同的零点 ， ，证明： .参考答案
1．C
【详解】 ，∴ ，∴ ，
∴ ．
2．C
【详解】因为 ，所以 或 ，
解得 或 ，经检验符合题意.
故选：C
3．D
【详解】当 时， ，
当 时， ，不满足上式，所以
4．C
【详解】由题意，得 .
所以 对应 ，共 个取值，
则 ，即3(n-6)=2n，解得 .
5．D
【详解】由题意得，函数 的定义域为 ， ，
所以当 或 时 ，当 或 时 ，
所以 在 和 上单调递增，在 和 上单调递减，故排除A、C；当 时， ，所以 ，故排除B.
故选：D.
6．C
【详解】∵ ，
∴ ，
既不是等比数列也不是等差数列；
∴ ，
∴数列 是公比为 的等比数列．
故选：C
7．D
【详解】解：由题知， ， ，∴ ，
∴曲线 在 处的切线方程为 ，即 ．
∵ ，∴ ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
则 ，得 ，∴ ，
又 ，∴ ．
8．A
【详解】设 ， ，由整理得 ，
则 ，且 ，
2a2m a2m2+a2
x +x = ，x x = .
1 2 a2-1 1 2 a2-1
因为 的角平分线与 轴始终垂直，所以 ，恒有 ，
即 ，所以 ，
则 ，
整理得 ，
则 ，
所以 ，
又∀m≠1，所以 ，
因此双曲线 的离心率为 .
9．AC
【详解】对于A，若 相互独立，则 不互斥，若 互斥，则 不相互独立，故A正确；
对于B，数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和第4个数的平均数，是 ，故B错误；
对于C，在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，依据两点分布可得 ，故C正确；
对于D，由 得 ，D错误.
10．CD
【详解】 ，故A错误； ，
，则 ，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：CD.
11．ABD
【详解】由已知得第 次分类正确的概率为
对于A， ，A正确；
对于B，
，B正确；
对于C，由 ，得 ，又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 不是等比数列，C错误；
对于D，由C项知， ， ，
所以数列 的前n项和为 ，D正确．
12．
【详解】 ，又 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
13．28
【详解】若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口.
①两个路口为
人分配，共有C1C3A2=8种安排方案.
4 3 2
②两个路口为 人分配，共有 种安排方案，此时共有 种安排方案.
同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有 种安排方案.
所以共有 种不同的安排方案.
14．2025
【详解】解：因为 ，所以 ， ，
令 ，得 ，又 ，
所以 的对称中心是 ，所以 ，
所以．
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为 ，第3项的二项式系数为 ，
所以 ，即 ，则 ， 或 （舍去）；
（2） 展开式的通项为 （ ， ），
令 ，解得 ，所以 ，所以常数项为第5项60.
（3）系数的绝对值为
，则
所以 ，即 ， ，所以，
因此，系数绝对值最大的项是 .
16．(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格，
由题知，A，B相互独立， ，C2
3
∵ ，P(B)= 4 = ，
C2 5
5
3 3 9
∴P(C)=P(AB)=P(A)P(B)= × = ，
10 5 50
∴甲、乙面试都合格的概率为 ．
（2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，
C2C1C1
1
C1C1C1C1+C2C2
3
P(X=1)= 2 4 1 = ，P(X=2)= 3 2 4 1 2 4 = ，
C2C2 25 C2C2 10
5 5 5 5
C2C1C1+C1C1C2
12
C2C2
9
P(X=3)= 3 4 1 3 2 4 = ，P(X=4)= 3 4 = ，
C2C2 25 C2C2 50
5 5 5 5
∴X的分布列为
X 1 2 3 4
P
17．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
易知 ，
令 ，解得 .
当 时， .
的单调递增区间为 和 ， 的单调递减区间为 ；
当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
当 时， ，的单调递增区间为 和 ， 的单调递减区间为
（2） .
当 时， ，则 在 上单调递增，
，即 ，函数 在 上没有零点.
当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
因此要使得 在 上有两个零点，只需 ，
，解得 .
综上，a的取值范围为 .
18．(1)证明见解析
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） .
【详解】（1）证明：在矩形 中，因为 ∥ ，AF=BE=AB=1，
所以四边形 为正方形，
则 ， ，即 ，又B'E∩EC=E，
所以 平面 ，则 是平面 的一个法向量，
同理证得 平面 ，又 平面 ，
所以 ，即⃗EF⊥ ⃗ A'M，
又 平面 ，所以 ∥平面 .
（2）连接 ， ，由（1）知， ∥ ，且 平面 ，
所以 平面 ，则A'B' ⊥A'M，因为平面 平面 ，且 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，则B'E⊥ME，
在 ， 中，当 为 的中点时，点 到 ， ， ， 的距离相等.
（ⅰ）由上知， ， ， 两两垂直，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴
建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ，
， .
设平面 的法向量为 ，
，令 ，则
所以点 到平面 的距离为 .
1 √3
（ⅱ）由PQ=MQ=QA'=QB'=QE可知，点 在以 为球心，以 B'M= 为半径的球的球面上，
2 2
当 ， ， 共线，且 位于线段 上时， 取得最小值.
由坐标系可知， ，
，所以 ，
则 ，又 ，设平面 的法向量为 ，
，令 ，则 ，
由（1）知 是平面 的一个法向量，记为⃗q=⃗EF，
于是 ，故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
19．(1) 在 上单调递增，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知，当 时，函数 的定义域为 ，
求导得 .当 时， ，且 ，因此 恒成立，
所以 在 上单调递增.
（2）由题意知，函数 的定义域为 ，求导得 ，
函数 在定义域内存在极值点，则其导函数 定义域内存在变号零点，
即 ，所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ，且 ，所以 ，即 在 上单调递增，
又 ，当 时， ，因此当 时，方程 有唯一解，
即存在唯一的极值点；当 时，方程无解，无极值点，
故实数a的取值范围为 .（3）设 ，则 ，
则
即
两式相乘得：
要证 ，即证：
由题意，函数 有两个不同零点，
①若 ，则 ，求导得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
又 ，故 恒成立，无零点，与题设矛盾，
②若 ，令 ，
则
当 时， ， ，故 恒成立，
在 上严格单调递增，至多有一个零点，与题设矛盾，
综上，函数有两个不同零点时，必有 ，且 ， .
现证 ，假设 ：
若 ，则 ，代入 得 ，矛盾，
首先证明不等式 ， ，设 ，
则 ，则 在 上单调递增，则 ，则 在 上恒成立，
若 ，则 ，由 ，
及不等式 可得：
即 .因为 ，所以 ，与 矛盾，
故 ，同理可得 .
因为 ， ，所以 ， ，结合 ，
有：
两式相乘得：
即 ，原不等式得证.
