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山西省太原市第五中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．数列 的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．过圆 上的点 作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等差数列 ， ， ，则 （ ）
A． B．3 C．4 D．
5．已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系 中，已知点 ，且动点 满足 ，则动点 的轨迹与圆
的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内切
7．已知双曲线 ，斜率为2的直线与双曲线 相交于点 、 ，且弦 中点坐标
为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．38．已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，若直线 交 于 ， 两点，且 ，点
关于 的对称点为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若点 和点 关于直线 对称，则（ ）
A． 的中点坐标为 B．
C．直线 的斜率为1 D．
10．已知 是椭圆 的左､右焦点， 是 上一点，若 是直角三角形，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是 的右支上一点，过点 作 的切线
与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为8
B．存在点 ，使得
C．点 ， 的纵坐标之积为定值
D．
三、填空题
12．过点 且与直线 垂直的直线方程是 .
13．已知 ，点P是抛物线 上的一点，点 是圆 上的一点，则 的
最小值为 .14．已知点 是椭圆 的下顶点， 是 的右焦点，延长 交 于点 ，若
，则 的离心率为 .
四、解答题
15．已知圆 ，过点 且斜率为1的直线 交圆 于 ， 两点.
(1)求线段 的中垂线方程；
(2)求弦 的长.
16．已知抛物线 的焦点为F，点 （其中 ）在抛物线C上， ．
(1)求 和 的值；
(2) 为坐标原点，过点 的直线 与抛物线 交于另一点 ， ，求直线 的方程．
17．在平面四边形 中， ， ， （如图1），将 沿
着 翻折到 的位置（如图2），且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18．已知双曲线 的渐近线上一点与右焦点 的最短距离为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2) 为坐标原点，直线 与双曲线的右支交于 、 两点，与渐近线交于 、 两点， 与 在
轴的上方， 与 在 轴的下方．
（ⅰ）求实数 的取值范围．
（ⅱ）设 、 分别为 的面积和 的面积，求 的最大值．19．已知点 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点，若 上的点与点 距离的最大值
为3，最小值为1，过点 作 的两条互相垂直的弦 ， .
(1)求 的方程；
(2)求证： 的值为定值；
(3)设 ， 的中点分别为 ， ，求证：直线 过定点.1．C
将抛物线方程化为标准方程，即可求解.
人教版（2024）>八年级上册由题意，抛物线 的标准方程为 ，
所以抛物线 的准线方程为 .
故选：C.
2．C
根据数列的定义和规律求解即可.
将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ，
故该数列的一个通项公式为 .
故选：C.
3．D
由题知，点 在圆 上，且 ，由此可得出所求切线的方程
圆 的圆心为 ，因为点 在圆 上，且 ，
易知所求切线与 轴垂直，故所求切线的方程为 ，即 .
故选：D.
4．A
等差中项的性质可转化可求解
为等差数列， ，
故选：A
5．A
根据离心率求出 即可求渐近线方程.
由双曲线的离心率为 ，得 ，
所以 ，又双曲线 的渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，即．
故选:A．
6．C
首先根据已知条件得到 的轨迹表示圆心为 ，半径为 的圆，再根据两圆的位置关系求解即可.
，得 ，
则 ，整理得 ，
表示圆心为 ，半径为 的圆，
圆 的圆心为 ，半径 ，
两圆的圆心距为 ，满足 ，
所以两个圆外离.
故选：C.
7．B
设 ， ， ， ，根据 的中点 的坐标，利用点差法表示出斜率，从而得到关于 、 的关系
式，再求离心率.
斜率为2的直线与双曲线 ，相交于 ， 两点，
设 ， ， ， ，
则 ，①；
，②，
① ②得 ，
则 ，弦 中点坐标为 ，
， ，
直线 的斜率为2，
，
，
.
则 .
故选： .
8．C
由 ， 两点在抛物线 上，所以可以设点 ， ，
则 ，
由直线 交 于 ， 两点，故直线 不与 轴平行或重合，
故可设直线 解析式为 ，
联立 ，得 ， ，
所以 ，解得 ，
所以直线 与 轴的交点为 ，由 ， 关于直线 对称，
所以 ，且 点不与 点重合，
故可知 的轨迹方程为： （不经过原点），
所以 ， ，即 .故选：C.
9．ABD
根据题意可知直线 为 的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论.
易知 的中点坐标为 ，则点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以直线 的斜率为 .
又因为 ，所以 ，
解得 .
故选：ABD
10．ABD
根据 是直角三角形，分类讨论得出 即可求解.
由题意知 ，
若 ，令 ，得 ，所以 ，故A正确；
若 ，则 ，又 ，所以 ，故D正确；
当点 为 的上顶点或下顶点时， ，又 ，所以 ，故B正确.
故选:ABD.
11．ACD设 ，由 ，可判定A正确；假设存在点 ， ，可判断B；设直
线 的方程为 ，求得切点 的纵坐标，与渐近线联立方程组求得交点 的坐标，计算可判断
C，利用中点坐标公式可判断D.
由题意，双曲线 ，可得 ， ，则 ，
所以焦点 ， ，设 ，则 ，且 ，即 ，
由 ，故A正确；
假设存在点 ，设 ，则 ，且 ，即 ，
所以 ，
所以不存在点 ，使得 ，故B错误；
显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
由 ,得 ，
又直线 与 相切，所以 ，整理得 ，
所以 ，即 0，解得 ，
即点 的纵坐标为 .不妨设直线 与 的交点为 ，与 的交点为 ，
由 ，解得 ，即点 的纵坐标为 ，
由 ，解得 ，即点 的纵坐标为 ，
则点 ， 的纵坐标之积为 ，故C正确；
因为 ，
所以点 是线段 的中点，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
12．
设出直线，利用待定系数法进行求解.
设与直线 垂直的直线方程是 ，
代入点 ，得 ，解得 ，
所以所求的直线方程是 .
故答案为：
13．
首先根据圆上的点到定点的最值问题可得： ，再根据抛物线的定义结合三角不等式即可求得
最小值.如图，由题意知 是抛物线 的焦点，
过点 作准线的垂线，垂足为 ，记点 到抛物线 的准线的距离为 ，
所以 ，
当且仅当直线 与抛物线的准线垂直，点 在线段 上时，等号成立，
所以 的最小值为6.
故答案为：
14．
根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率.
设椭圆 的焦距为 ，设 ，所以 ，因为 ，所
以 ，即 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，所以 ，所以 的离心率为 .
故答案为： .
15．(1)(2)
（1）求出线段 的中垂线 的斜率，结合 过圆心 ，待定系数法进行求解；
（2）求出圆心到直线 的距离，利用垂径定理求出答案.
（1）由直线 的斜率为1，得线段 的中垂线 的斜率为 ，
又 过圆心 ，则 的方程为 ，
所以线段 的中垂线方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，将 代入得 ，
解得 ，可得直线 的方程为 ，
的圆心为 ，半径为4，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以 .
16．(1)p的值为2，t的值为4．
(2) ．
（1）由抛物线的定义结合点在抛物线上即可求解；
（2）法一：设B点的坐标为 ，通过 ，列出等式求解即可；
法二：设直线方程为 ，联立抛物线方程，由 ，结合韦达定理求解；
（1）由抛物线的定义及 ，知 ，解得 ．
将点 的坐标代入抛物线C的方程 ，得 ，
又 ，所以 ，故p的值为2，t的值为4．
（2）法一：设B点的坐标为 ，因为 ，A点的坐标为（4，4），所以 ，
解得 或 （舍去）．
所以B点的坐标为（4，－4），所以直线 的方程为 ．
法二：由题知 的斜率不为零，设直线 的方程为 ，整理得 ．
设点A，B的坐标分别为 ，
联立方程 ，得 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，解得 或 ．
当 时，直线 的方程为 ，经过原点O不合题意；
当 时，直线 的方程为 ，满足题意，
故直线 的方程为 ．
17．(1)证明见解析
(2) .
（1）连接 ，与 交于点 ，通过等腰三角形的三线合一证明 ，再根据勾股定理证明
，根据线面垂直的性质定理即可得证 平面 ，最后根据面面垂直的性质进行证明即可.
（2）以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，分别求解
平面 及平面 的法向量，最后根据面与面的夹角公式进行求解即可.
（1）如图，连接 ，与 交于点 ，因为在平面四边形 中， ，
所以 垂直平分线段 是 的中点，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
翻折后，因为 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 两两垂直，故以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 .
设 为平面 的一个法向量，则 ，
令 ，得 ，所以 .
，设 为平面 的一个法向量，
则 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
（1）根据焦点到渐近线距离求出 ，再求出 即可得解；
（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；
（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最
值即可.
（1）设双曲线 的焦距为 ，且 ，
因为 到直线 的距离为 ，故 ，
则 ，故双曲线的方程为： ．（2）如图，
（ⅰ）设 ， ，联立直线与双曲线的方程 ，
消元得 ，则 ，
因为直线与双曲线右支交于两点，故 ，则 ，故 的取值范围为 ．
（ⅱ）由（ⅰ）知， ，
原点 到直线 的距离 ，
设 ， ，联立 ，则 ，
， ， ，
则 ，
而 ，
令 ，则 ，当 即 时取到等号．
综上所述， 的最大值为 ．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）设椭圆 的焦距为 ，则由题意得 ，解得 .
所以 ，
所以 的方程为 .
（2）由（1）得 ，若直线 与直线 的斜率一个为0，另一个不存在时，
， （或 ， ），此时 .
若直线 与直线 的斜率都存在时，如图：
设直线 的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
所以 ， .所以
因为 ，将 换成 ，得 ，
所以 .
综上所述， 的值为定值.
（3）由（2）得 ， ，
因为 是 的中点，所以 ，
将 换成 ，得 ，即
若直线 的斜率存在，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 过定点
若直线 的斜率不存在，则 ，解得 ，此时直线 的方程为 ，直线 也过定点 .
综上，直线 过定点 .
