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专题06 一元二次不等式的解法
题型一：一元二次不等式（不含参）的解
题型二：一元二次不等式（含参）的解
题型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
题型四：分式不等式的解法
题型五：一元二次方程的实根分布问题
题型一：一元二次不等式（不含参）的解
1．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】先整理不等式为二次项系数为正的情况，然后结合二次函数图像与判别式
【详解】不等式
等价于
，
二次函数
图象开口向上，
，
所以不等式的解集为全体实数，
故选：D.
2．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】不等式即：
分解因式可得：
，所以解集为
.
故选：C
3．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】A
【分析】分
、
两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】当
时，原不等式等价于
，解得
，所以
，
当
时，原不等式等价于
，解得
，所以
，
综上，原不等式的解为
.
故选：A．
4．不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】解不含参的一元二次不等式即可求解.
【详解】由
，可得解集为
或
．
故选：B．
5．解下列一元二次不等式．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)无解．
【分析】（1）（2）分解因式后可解不等式；（3）由二次不等式对应二次函数图象与x 轴的交点情况可解
不等式.
【详解】（1）原不等式可化为
，所以不等式的解为
；
（2）原不等式可化为
，所以原不等式的解为
；
（3）原不等式可化为
，
，则
图象恒在x 轴上方，则原不等式
无解．
题型二：一元二次不等式（含参）的解
6．“
”是“关于
的不等式
有解”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】应用一元二次不等式的解的情况计算求参结合充分不必要条件定义判断即可.
【详解】若关于
的不等式
有解，则
，得
．
由“
”可以推出“
”，由“
”不能推出“
”，
所以“
”是“关于
的不等式
有解”的充分不必要条件．
故选：D.
7．已知关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则正整数
的值为 ．
【答案】5
【分析】根据给定条件，按
分类求出解集，进而求出
的值.
【详解】不等式
，
显然
，否则原不等式解集为空集，
当
时，解得
，要原不等式的解集中恰有两个整数，
必小于0，与
为正整数矛盾，
因此
，解得
，要原不等式的解集中恰有两个整数，则
，
所以正整数
的值为5.
故答案为：5
8．若关于
的不等式
恰有两个整数解，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】不等式化为
，讨论
与的大小解出不等式，依题意判断
的取值范围即可得
出.
【详解】关于
的不等式
可化为
，
当
时，解得
，要使解集中恰有两个整数，则
，得
；
当
时，不等式化为
，此时无解；
当
时，解得
，要使解集中恰有两个整数，则
，得
.
综上，实数的取值范围是
.
故答案为：
.
9．（1）函数
若
的解集是
或
，求实数a，b 的值；
（2）解关于
的不等式
【答案】（1）
；（2）答案见解析；
【分析】（1）由不等式解集与方程根的关系计算可得结果；
（2）对参数
的取值进行分类讨论，再由一元二次不等式解法求得结果.
【详解】（1）根据题意可知方程
的两根为1 和2；
因此可得
，解得
；
（2）不等式
可分解为
，
当
时，不等式
的解集为
；
当
时，不等式
的解集为
；
当
时，不等式
的解集为
；
10．已知关于
的不等式：
.
(1)当
时，求不等式的解集；
(2)当
时，求关于的方程
的解集；
(3)当
时，求不等式的解集.
【答案】(1)
或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）
时不等式为
，求解即可；
（2）
时方程为
，讨论未知数的系数是否为0，求解即可；
（3）讨论
的取值范围，即可求出不等式的解集.
【详解】（1）
时，不等式为
，即
，
解得
或
，
所以不等式的解集为
或
；
（2）
时，方程为
，即
，
当
时，方程的解不存在，解集为
；
当
时，方程的解为
，解集为
；
（3）当
时，不等式可化为
，即
，
若
，则不等式为
，不等式的解集为
；
若
，则
，解不等式得
，不等式的解集为
；
若
，则
，解不等式得
，不等式的解集为
.
11．设
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)解关于
的不等式
（
）.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案.
（2）对
进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【详解】（1）若
，则由
，
解得
或
，所以不等式
的解集为
.
（2）不等式
，
即
，
当
时，
，解得
，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
题型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
12．若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由关于
的不等式
的解集是
，分析得到
且
即可求解.
【详解】因为关于
的不等式
的解集是
，所以可知
，
所以原不等式可化为
显然
是方程
的两根，
所以只须
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：A
13．若关于
的不等式
的解集为
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理用
表示
，代入所求不等式得到关于
的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】由不等式
的解集为
，
则
，即
，
所以不等式
，即为
，又
，
所以
，解得
或
.
所以不等式
的解集为
.
故选：B.
14．关于x 的一元二次方程
的解集为
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由方程的解集和根与系数关系得
的关系，并由
得a 的正负，代入不等式
后即可求解.
【详解】∵关于x 的一元二次方程
的解集为
，
，即
，
，即
.
，
即
，即
，解得
.
故选：A.
15．若不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【分析】利用三个二次的关系推得方程
有两根为
和4，由韦达定理求出
，代入所求不
等式，求解即得.
【详解】由题意，方程
有两根为
和4，
故由韦达定理，
，解得
，
则不等式
即
，解得
或
.
故选：D.
16．已知不等式
的解集为
或
，则
，
．
【答案】 1 2
【分析】根据不等式
的解集为
,可知
是方程
的两个根，利用韦
达定理可求
的值，进而可求答案．
【详解】根据不等式
的解集为
,
可知
是一元二次方程
的两个根，
利用韦达定理可得
,解得
故答案为：；
.
17．若不等式
的解集为
，则
的值是 .
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集，可得一元二次方程的根，利用韦达定理建立方程组，可得答案.
【详解】由题意可得方程
的两个根分别为
与
，且
，
则
，解得
，所以
.
故答案为：
.
题型四：分式不等式的解法
18．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即一元二次不等式求解.
【详解】由
等价于
，解得
，
所以不等式的解集为
.
故选：C.
19．不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】先化简再根据分式转化为一元一次不等式求解即可.
【详解】不等式
，化简为
，
即得
，所以
，所以解集为
.
故答案为：
.
20．不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由
，得到
，等价于
，且
，
即
，且
，所以
，得到不等式
的解集为
，
故答案为：
.
21．不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】等价转化为一元二次不等式求解即可.
【详解】由
，得
，化简得
，
则
，解得
，
所以原不等式的解集是
．
故答案为：
22．不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】移项，通分后可化简为简单分式不等式求解，需要注意分母不为零.
【详解】移项得：
，通分化简得到分式不等式：
；
两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组：
解得
.原不等式解集为
.
故答案为：
题型五：一元二次方程的实根分布问题
23．“一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可.
【详解】由一元二次方程
的两个根为
，
又方程有一个正实数根和一个负实数根，
，
，
即“一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为
，
则其充分不必要条件
的范围应为
的真子集，
结合选项可得选项C 符合题意，
故选：C.
24．已知关于
的方程
有一正一负两个实数根，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数
的取值范围.
【详解】设方程的两根为
，
则
,
∴
∴
，
故答案为：
25．已知关于
的方程
的两根一个比2 大，另一个比2 小，则实数
的范围是
.
【答案】
【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可.
【详解】设
，显然函数
的图象开口向上，
又
的两根一个比2 大，另一个比2 小，则
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
26．“一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条
件的是 ；
【答案】
（答案不唯一，
即可）
【分析】根据题意分析可得
，结合充分、必要条件可得结果.
【详解】由
解得
或
，
若一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根，
则
，解得
，
所以“一元二次方程
有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条
件的是
.
故答案为：
（答案不唯一，
即可）.
27．已知方程
有且仅有两个不相等的正实数根，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据
的正负以及
的正负分类讨论，结合图象确定
的取值范围.
【详解】（1）当
时，方程
化为：
，此时无解，舍去；
（2）当
时，考虑方程正实数根情况，只需研究当
时方程
解的情况，
即此时方程化为
，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（3）当
时，因为
，
所以方程
化为
，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（4）当
时，函数
与
轴有两个零点
函数
与
轴有两个零点
因为
，所以
即
作出函数
与函数
图象，
由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程
有两个不相等
的正实数根，
综上，满足条件
的取值范围为
或
，即
故答案为：
28．已知方程
，且方程有两个大于1 的实数根，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，结合韦达定理求得正确答案.
【详解】方程
有两个大于的实数根
，
则
，
由题意可得
，可得
，
代入可得
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
29．关于
的方程
有两个不相等的实数根
，且
，那么
的取值范围是
．
【答案】
【分析】由一元二次方程根的分布可得
，解不等式组可求得结果.
【详解】由题意可知
，
由
，可得
，
设
，
则
，解得：
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
