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2.3 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式
1. 一元二次不等式的解法；2. “三个二次”关系的应用；3. 含参数的一元二次不等式的解法；4. 一元
二次不等式恒成立问题；5. 含参数的一元二次不等式恒成立；6. 一元二次不等式的实际应用
一、单选题
1．（2021·湖南怀化·高二期末）设集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得， ，
，
则 ，
故选：A．
2．（2021·陕西西安·高三三模（文））已知集合 ， ，则
的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
由 得 ，故 ，其子集个数为 .
故选B.
3．（2021·山东济宁·高一月考）已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集为（ ）
A． ，或 B．
C． ，或 D．
【答案】B
【解析】
依题意 可化为 ，由于 ，故不等式的解集为 .
故选B.
4．（2021·唐山市第十二高级中学高一期末）不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是
（ ）
A．［－4，4］
B．（－4，4）
C．（－∞，－4］∪［4，＋∞）
D．（－∞，－4）∪（4，＋∞）
【答案】D
【解析】
不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，
故选D.
5．（2021·浙江高一课时练习）“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是（ ）
1 1
A．m> B．m< C．m<1 D．m>1
4 4
【答案】A
【解析】
∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，
1
∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m＞ ，
4
1
又∵m＞ ⇒△＝1﹣4m＜0，
41
所以m＞ 是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件，
4
故选：A．
6．（2021·全国高三课时练习（理））关于x的不等式 的解集为 ，且：
，则a=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为关于x的不等式 的解集为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
解得 ，因为 ，所以 .
故选：A.
7．（2021·浙江高三专题练习）若不等式 对于一切 恒成立，则 的最小值是 （
）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】
不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0， ]成立，等价于a≥-x- 对于一切 成立，∵y=-x- 在区间 上是增函数
∴
∴a≥-
∴a的最小值为- 故答案为C．
8．（2021·安徽金安·六安一中高一期末（文））若不等式组 的解集非空，则实数a的取值
范围是（ ）．
A． B． 或 C． D． 或
【答案】A
【解析】
原不等式组等价于 ,由题意不等式组解集非空可得
，
故选：A．
9．（2021·浙江高一单元测试）对任意实数x，不等式 恒成立，则a的取
值范围是（ ）．
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】
由已知得 即 解得 ．
又当 时，原不等式可化为 ，显然恒成立．
故a的取值范围是 ．
故选：A．10．（2021·浙江高一课时练习）定义在 上的运算： .若不等式 对
任意实数 都成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
不等式 可化为 ，即 对任意实数 都成立，
，解得 .故选B.
二、多选题
11．（2021·山东济宁·高一月考）已知集合 ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
由 解得 ，故 , .
故选AD.
12．（2021·山东滕州市第一中学新校高二月考）下列四个不等式中，解集为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A， 对应函数 开口向下，显然解集不为 ；
对于B， ，对应的函数开口向上， ，其解集为 ；
对于C， ，对应的函数开口向上 ，其解集为 ；
对于D， 对应的函数开口向下 ，其
解集为 ；
故选：BCD.
13．（2021·山东文登·高一期末）已知函数 有且只有一个零点，则( )
A．
B．
C．若不等式 的解集为 ，则
D．若不等式 的解集为 ，且 ，则
【答案】ABD
【解析】
因为 有且只有一个零点，
故可得 ，即可 .
对 ： 等价于 ，显然 ，故 正确；
对 ： ，故 正确；
对 ：因为不等式 的解集为 ，
故可得 ，故 错误；对 ：因为不等式 的解集为 ，且 ，
则方程 的两根为 ，
故可得 ，
故可得 ，故 正确.
故选：ABD.
14．（2021·山东聊城·高二期末）若“ ”是“ ”的充分不必
要条件，则实数 可以是（ ）
A．-8 B．-5 C．1 D．4
【答案】ACD
【解析】
，解得 ，
即 ，解得 或 ，
由题意知 ⫋ ，所以 或 ，
即 .
故选：ACD
三、填空题
15．（2021·宁夏原州·固原一中高三其他（理））已知命题“ ， ”是假命题，则
实数m的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
若命题“ ， ”是假命题，则“ ， ”为真命题，则只需满足 ，解得 .
故答案为： .
16．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）不等式x2-kx+1>0对任意实数x都成立，则实数k的取值
范围是__________．
【答案】(-2,2)
【解析】
∵不等式x2-kx+1>0对任意实数x都成立，
∴△=k2-4＜0
∴-2＜k＜2
故答案为：(-2,2)
17．（2021·山东济宁·高一月考）若关于 的不等式 的解集 ，则 的
值为______．
【答案】-3
【解析】
显然t<0，且 是方程 的两根，由韦达定理得 ，解得 ．
四、双空题
18．（2021·上海高一课时练习）若不等式 的解集为 ，则 ________．
________．
【答案】
【解析】
由题意不等式 的解集为 ，故 ， 是方程 的两个根
，，
故答案为： ； ．
19．（2021·凤城市第一中学） 则 的范围是___;
则 的范围是_______
【答案】
【解析】
令 ，
对 ， ， ，
， 即 ；
， 即 ．
故答案为： ；
20．（2017·浙江南湖·嘉兴一中高一期中）已知不等式 .
（1）若不等式在 上有解，则实数 的取值范围是__________；
（2）若不等式在 上恒成立，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
（1）原不等式变为
当 时，解集为
当 时，解集为当 时，解集为
若不等式在 上有解，则
（2）若不等式在 上恒成立，则由(1)可知 ，所以
故答案为：（1） ；（2）
21．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）已知集合 ， ，若
，则实数 的取值范围是______，若 ，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
， ，
若 则 ，
若 ，则 ,所以 .
故答案为： ， .
五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）解下列不等式：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3） 或 .
【解析】（1）不等式 即为 ，解得 或 ，
因此，不等式 的解集为 或 ；
（2）不等式 即为 ，解得 ，
因此，不等式 的解集为 ；
（3）不等式 即为 ，即 ，解得 或 .
因此，不等式 的解集为 或 .
23．（2021·全国高一课时练习）已知不等式 的解集为 ，求不等式
的解集.
【答案】 .
【解析】
由题意不等式 的解集为 ，
则 ，解得 ，
代入不等式 ，可得 ，
即 ，解得 ，所以所求不等式的解集为 .
24．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）记不等式 的解集为A，关于x的不等式
的解集为B．
（1）求A；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以 ，
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以因为 ，
所以 或 ，
解得 或 .
25．（2021·荆州市北门中学高一期末）已知关于x的不等式
（1）若不等式的解集是 ，求k的值；
（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；
（3）若不等式的解集为 ，求k的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
(1)∵不等式 的解集是 ,
∴ 且-3和-2是方程 的实数根,
由根与系数的关系,得 ,所以 ；
(2)不等式的解集是R,所以 ,解得
(3)不等式的解集为 ,得 ,解得
26．（2021·浙江高一课时练习）命题 ；命题
（1）若 时， 在 上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值【答案】（1） ；（2） ， 。
【解析】
（1）若 在 上恒成立，
则 ，
所以有 ，
所以实数 的范围为 ；
（2） 或 ，
根据条件 的解集是 ，
即方程 的二根为2和3，
根据韦达定理有 ，
所以 ， 。
27．（2021·朝阳·吉林省实验高一期末）解关于 的不等式
【答案】当0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x }；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为{x|x 或x＞1}．
【解析】
由不等式得：
（1）当 时，原不等式为：
∴不等式的解集为：
（2）当 时，
原不等式为：
∵
∴不等式的解集为：{x|x＜1或x }；
（3）当 时，
原不等式为：
∵ ，
∴不等式的解集为：{x|x 或x＞1}，
综上所述，得原不等式的解集为：
当0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x }；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为{x|x 或x＞1}．
