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专题06 等比数列的前n 项和
教学目标
1．掌握等比数列前n 项和的两类核心公式，能根据已知量（首项、公比、末项）灵活
选用公式计算。
2．理解等比数列前n 项和的函数特征，明确q 取不同值时Sn 对应的函数类型及图象
特征。
3．知晓等比数列前n 项和的相关性质，能运用性质解决简单的数列计算与推理问题。
建立Sn 与通项an 的关联认知，理解二者间的一次函数关系及推导逻辑。
教学重难点
重点：
掌握等比数列前n 项和公式及应用，理解Sn 的函数特征与核心性质。
难点：
理解Sn 的指数型函数特征，掌握Sn 与an 的关系推导及性质灵活运用。
知识点01 等比数列的前n 项和公式
已知量
公式
首项
与公比
首项
,末项
与公比
【即学即练】
1．已知
是等比数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．1022
B．1023
C．1024
D．1025
2．设
是等比数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．4
C．8
D．16
知识点02 等比数列前n 项和的函数特征
（1）Sn与公比q的关系
等比数列前n项和的函数形式由公比q是否为1 决定，对应两种不同的函数类型，且点(n,Sn)均为对应函
数图象上的______（因n为正整数）。
1.当q=1时，等比数列所有项相等，前n项和公式为：Sn=na1
此式是关于n的______函数（a1为常数），点(n,Sn)落在直线y=a1x上。
2.当q≠1且q>0时，等比数列前n项和公式为：Sn=a1(1−q
n)
1 q
−
对公式变形可得：Sn=a1
1 q
−
−a1
1 q
−
⋅q
n，令A=a1
1 q
−
，则Sn= A
−q
n+A。
此时Sn是关于n的______函数，点(n,Sn)落在指数型函数y= A
−q
x+A的图象上。
（2）Sn与通项an的关系
该关系仅在公比q≠1时成立，核心结论为：Sn与an成______关系（即Sn=kan+b，k、b为常数）。
推导依据
1.等比数列通项公式：an=a1q
n 1
−
2.前n项和变形公式：Sn= A
−q
n+A（A=a1
1 q
−
）
将q
n=q⋅q
n 1
−代入Sn公式，可得：
Sn= A
q
−⋅
⋅
q
n 1
−+A= q
A
−⋅
⋅
a1
1
−⋅an+A，令常数k= q
A
−⋅
a1
1
−，b=A，则Sn=kan+b，即Sn是an的一次函
数。
【即学即练】
3．若数列
是等比数列，其前
项和
，
为正整数，则实数
的值为 .
4．记
为数列
的前
项和.若
，则
.
知识点03 等比数列前项和的性质
（1）等比数列
中,若项数为
,则
______;若项数为
,则
.______
（2）若等比数列
的前
项和为
,则
成______数列(其中
均不为
,公比为______.
【即学即练】
5．等比数列
中，
是其前
项和，若
，则
（ ）
A．4
B．5
C．7
D．
或
6．已知等比数列
的前6 项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则
．
题型01 等比数列前n 项和基本量的计算
【例1】记
为正项等比数列
的前
项和，已知
，则该数列的公比为（ ）
A．4
B．
C．1
D．2
【例2】记两个等比数列
的前
项和分别为
，公比分别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】设
是等比数列
的前
项之和，
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【变式1-2】已知各项均为正数的等比数列
的前
项和
满足
，则
．
【变式1-3】记
是等比数列
的前
项和，
，
，则正整数
的值为（ ）
A．18
B．9
C．6
D．2
（1）在等比数列
的五个量
中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量；
（2）在解决与前n 项和有关的问题时,首先要对公比
或
进行判断,若两种情况都有可能,则要分类
题型02 等比数列片段和问题
【例3】若数列
的前n 项和为
，则下列选项正确的是（ ）
A．若数列
为等差数列，则
，
，
为等差数列
B．若数列
为等比数列，则
，
，
为等比数列
C．若数列
为等差数列，则
，
，
为等差数列
D．若数列
为等比数列，则
，
，
为等比数列
【例4】已知等比数列
的前n 项和为
，若
，且
，则
（ ）
A．17
B．18
C．
D．
【变式2-1】已知等比数列
的前n 项和为
且
，若
，
，
，则下列等式恒成立
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知
为正项等比数列
的前
项和，且
，
，则
的值为 .
【变式2-3】已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为 ．
（1 ）等比数列
的前
项和
, 满足
成等比数列( 其中
均不为
,这一性质可直接应用.讨论.
题型03 等比数列奇偶项和的性质
【例5】已知等比数列
中，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【例6】已知等比数列
共有
项，其和为
，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式3-1】若等比数列
共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列
的公比为 ，项数为 ．
【变式3-2】已知等比数列
共有2n 项，其和为
，且
，则
公比
．
【变式3-3】等比数列
中，
，项数为奇数，所有奇数项和为
，所有偶数项和为
，则数列的
公比
.
等比数列的项数是偶数时,
；等比数列的项数是奇数时,
.
题型04 等比数列中Sn 与an 的关系
【例7】已知数列
的前
项和记为
，若
，则
（ ）
A．15
B．31
C．63
D．127
【例8】（多选）已知
是数列
的前n 项和，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
是递增数列
C．
D．
【变式4-1】已知数列
的前n 项和
满足
，（
），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知数列
的前
项和是
，且
，若
，则称项
为“和谐项”，那
么数列
的所有“和谐项”的和为 .
【变式4-3】已知数列
中，前n 项的和为
，且
(1)求数列
的通项公式；
若公比q≠1，则Sn与an成一次函数关系（即Sn=kan+b，k、b为常数）
题型05 等比数列中Sn 与n 的关系
【例9】已知数列
的前
项和
，下列结论正确的是（ ）
A．当且仅当
时，
是等比数列
B．当且仅当
时，
是等比数列
C．当且仅当
时，
是等比数列
D．当且仅当
时，
是等比数列
【例10】已知
是等比数列
的前n 项和，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】记
为等比数列
的前
项和，若
（
为常数），则
．
【变式5-2】已知等比数列
的前
项和为
，若
，
为实数，则
.
【变式5-3】设公比不为1 的等比数列
的前n 项和为
，已知
，则
=（ ）
A．55
B．65
C．
D．
当q=1时，Sn关于n成正比例函数（a1为常数）；
当q≠1且q>0时，Sn是关于n的指数型函数
题型06 等比数列前n 项和的实际应用
【例11】一个球从32m 的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第5 次着地时，共经
过的路程是 m．
【例12】（多选）某同学暑假抽出最多15 天的时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方
案：第一种，每天支付60 元；第二种，第1 天付6 元，从第2 天起，每一天比前一天多付6 元；第三种，
第一天付0.2 元，以后每天比前一天翻一番（即增加1 倍）．假设该同学工作
天，则下列选项正确的是
（ ）
A．按第二种方案得到的劳动总报酬为
B．按第三种方案得到的劳动总报酬为
C．若
，则该同学选择第一种方案得到的劳动总报酬最多
D．若
，则该同学选择第三种方案得到的劳动总报酬最多
【变式6-1】按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以A0，A1，...来标记纸张的
幅面规格，具体规格标准为：①A0 规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为
；②将
纸张
平行幅宽方向裁开成两等份，便成为
规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0 规
格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4 规格纸张40 张，A2 规格纸张10 张，A1 规格纸张5 张.为满足上述要求，
至少提供A0 规格纸张的张数为 .
【变式6-2】（多选）在流行病学中，基本传染数
是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情
况下，一个感染者平均传染的人数.
一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过
程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数
，平均感染周期为7 天（即每个感染者7 天内感
染3 人），则下列说法正确的是（初始感染者传染
个人为第一轮传染，这
个人每人再传染
个人为
第二轮传染……）（ ）
A．第5 轮新增感染人数为243
B．由1 个初始感染者经过
轮传染后得此传染病的总人数约为
C．感染人数由1 个初始感染者增加到1000 人大约需要6 轮传染
D．感染人数由1 个初始感染者增加到2026 人大约需要49 天
【变式6-3】（多选）佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到
米．要登上皂幕山的最高峰，
一共需要走
级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前
分钟中，每分钟走
级
阶递，由于体力有限，小明每隔
分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔
分钟，其速度降低
，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：
，
，
，
）
A．小吉到达最高峰的时间比小明早
B．小明到达最高峰的时间比小吉早
C．小吉登上最高峰所需时间多于
分钟
D．两人到达最高峰的时间差距超过
分钟
题型07 分组求和法
【例13】已知数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前20 项和
.
【例14】已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
.
【变式7-1】已知数列
的前
项和为
，且
，则
的值为（ ）
A．107
B．169
C．1389
D．1409
【变式7-2】已知等差数列
的前
项和
满足：
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为1，公比为2 的等比数列，求数列
的前
项和
.
【变式7-3】已知等比数列
的前
项和
．
(1)求
的值及数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
题型08 错位相减法
【例15】已知数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求
及数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【例16】已知数列
的前
项和
.
(1)证明：
；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【变式8-1】已知等比数列
中，
，
，数列
满足
.
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【变式8-2】已知数列
满足
，且
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前n 项和
.
【变式8-3】已知等差数列
的公差
，前
项和为
，若
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的前
项和
.
一、单选题
1．已知数列
是等比数列，若
，
，则
（ ）
A．51
B．
C．-13
D．85
2．已知等比数列
的前
项和为
，满足
，公比
，若
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．等比数列
的前n 项和为
，已知
，且
与
的等差中项为
，则
（ ）
A．28
B．29
C．30
D．31
4．已知正项数列
满足
，则数列
的前4 项和
（ ）
A．102
B．96
C．120
D．140
5．已知
是递增的等比数列，其前
项和为
．若
，则（ ）
A．
B．
C．数列
的前
项和为
D．
6．已知等比数列
中各项均为正数，且
，记
的前
项积为
，且
，则
取最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设
，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知数列
满足
，若数列
是公比为3 的等比数列，则数列
的前20 项
和为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．记公比大于0 的等比数列
的前
项和为
.若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知数列
的前
项和为
，
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．设等比数列
的公比
，且
，
，则
.
12．已知
，
，记
，则数列
的前
项和
.
13．某地遵循节能减排的环保理念，计划从2025 年1 月开始逐步将本地1000 辆燃油公交车替换为新能源
公交车.记第
个月投入使用的新能源公交车数量和弃置的燃油公交车数量分别为
（单位：辆），其中
.从2025 年2 月起，计划每个月投入使用的新能源公交车数量比前一个月多10 辆，每月弃置
的燃油公交车数量为上一个月的2 倍，但实际弃置量不超过剩余燃油车数量，若剩余为0 则不再弃置.则该
地区截止3 月底公交车总数量为 辆；到第 月月底时，公交车总数量超过1000 台，且
全部为新能源公交车.
四、解答题
14．设数列
的前
项的和为
.
(1)若
是等比数列，且
，
，求
；
(2)若
是公差不为0 的等差数列，且
，
，
成等比数列，求
的值.
15．已知等差数列
和等比数列
满足：
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前10 项和
．
16．已知数列
是各项均为正数的等比数列，其前
项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
的前
项和为
，求满足
的最大整数
．
