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专题06 二面角
题型一：定义法求二面角
题型二：利用向量法求二面角
题型三：根据二面角求参数
题型四：二面角中的最值（范围）问题
题型五：二面角中的探索性问题
题型一：定义法求二面角
1．如图，在正方体
中，
是
的中点，二面角
的平面角是 ，其正
切值为 ．
【答案】
【分析】连接
，得到
，结合二面角平面角的定义即可求解.
【详解】在正方体中易知
，连接
，
所以
，
又二面角
的棱为
,
分别在两个办平面内，
所以二面角
的平面角是
；
设正方体棱长为1，则
,
所以
故正切值为
.
故答案为：
；
2．如图，长方体
中，
是边长为1 的正方形，
与平面
所成的角为
，则
棱
的长为 ：二面角
的大小为 .
【答案】
【分析】由已知条件，根据线面角，面面角的定义求解即可.
【详解】由题意，在长方体
中，
四边形
是边长为的正方形，且
与平面
所成角为
，
所以
平面
，
因为
平面
,
所以
,
故
与平面
所成角为
,
所以
为等腰直角三角形，且
,
所以
.
又因为
,且平面
平面
,
所以二面角
为
.
故答案为：①
；②
.
3．三棱锥
中，
，且
，则当该三棱锥的体积最大时二面角
的正切值为 .
【答案】
【分析】先利用
，可计算得到底面面积，当
恰好为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，此时
两两互相垂直，取
的中点
,连接
利用二面角的平面角的定义算出二面角
的正切值.
【详解】
依题意可得三棱锥
体积为
因为
所以当
面
时，即
时三棱锥体积最大，此时
两两互相垂直.
取
的中点为
，连接
因为
所以
又因为
所以，所以
为二面角的平面角，又因为
所以二面角
的正切值为
故答案为:
.
4．如图，在正三棱柱
中，
．若二面角
的大小为
，则侧棱长为
．
【答案】
/
【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求
.
【详解】由多面体
为正三棱柱可知，
为正三角形，且
,
取
的中点为
，连接
，
，则
，
，
所以
即为二面角
的平面角，所以
，
在
中，
，
，所以
，
所以正三棱柱
侧棱长为
.
故答案为：
.
5．已知正三棱锥
侧棱与底面边长都相等，则二面角
的正弦值为 .
【答案】
【分析】设棱长均为2，取
的中点
，分析可知二面角
的平面角为
，结合余弦定理运
算求解即可.
【详解】设正三棱锥
的棱长均为2，
取
的中点
，连接
，
则
，且
，
可知二面角
的平面角为
，
由余弦定理可得
，
则
，
所以二面角
的正弦值为
.
故答案为：
.
题型二：利用向量法求二面角
6．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
平面
为棱
上的动点．
(1)当
为棱
的中点时，证明：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行；
（2）建系后，写出相关点的坐标，出平面
和平面
的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）
取
的中点
，连接
，
，
因为
为
的中点，
所以
，
因为
，
所以
，
所以四边形
为平行四边形，所以
．
又
平面
平面
，
所以
平面
．
（2）
因为
平面
，即
两两垂直，
故可以
为原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则
，
因为
，所以
，
所以
．
设平面
的法向量为
，
则
取
，得
，
所以
．
因为
平面
，
所以
平面
．
所以
为平面
的一个法向量．
设平面
与平面
的夹角为
，
则
．
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
．
7．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形，
，
，点E，F 分别是棱
PA，PC 的中点．
(1)证明：
．
(2)求平面EFD 与平面ABCD 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量
，再根据向量平行关系判断直线与平
面的垂直关系.
（2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两
个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为四棱锥
的底面
是正方形，
平面
，
所以以点D 为坐标原点，
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
所以
，
．
设平面EFD 的法向量为
，
则
令
，则
．
又因为
，所以
，即
，
由
平面
，得
平面
．
（2）设平面
与平面
的夹角为θ，
平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
，
所以
，
则平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
故答案为：
.
8．如图，在长方体
中，点
分别在棱
上，
，
.
(1)证明：
.
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，根据线段长度将点
的坐标表示出来，从而得到向量
的坐标，最后求出两向量的数量积是否为0 即可证明
是否垂直.
（2）根据建立的空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦
公式进行求解.
【详解】（1）以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则
，
所以
.
证明：因为
，
所以
（2）设平面
的法向量为
，
则
即
取
，则
.
易得平面
的一个法向量为
.
因为
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
9．如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E 在AB 上，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二
面角为
．
(1)证明:
平面
；
(2)求面
与面
所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出
平面
及
平面
，
再应用面面平行判定定理得出平面
平面
，进而得出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点
的坐标表示出来，然后将平面
及平面
的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正
弦值.
【详解】（1）设
，所以
，因为
为
中点，所以
，因为
，
，所以
是平行四边形， 所以
，所以
，
因为
平面
平面
，所以
平面
，
因为
平面
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
．
（2）
因为
，所以
，又因为
，所以
，
以
为原点，
以及垂直于平面
的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系.
因为
，平面
与平面
所成二面角为60° ，
所以
.
则
，
，
，
，
，.
所以
.
设平面
的法向量为
，则
，所以
，令
，则
，则
.
设平面
的法向量为
，
则
，所以
，
令
，则
，所以
.
所以
.
所以平面
与平面
夹角的正弦值为
.
10．如图，在三棱锥
中，
.
(1)证明：
平面
.
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）应用勾股定理得出
，再结合线面垂直判定定理证明即可；
（2）应用线面垂直判定定理得出
平面
，再分别求出平面
与平面
的法向量，最后应用
二面角余弦公式计算求解.
【详解】（1）证明：因为
，
所以
，所以
.
又
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的中点
，连接
，则易得
.
因为
平面
平面
，所以
，
又
，
平面
，
所以
平面
.
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴､
轴，平行于
的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐
标系.
根据题意易得
，则
.
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
.
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
.
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
.
题型三：根据二面角求参数
11．如图，在四棱锥
中，已知：
平面ABCD，
，
，
，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角
的平面角大小为
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点
位置，即可求解.
【详解】以
为坐标原点，建系如图，
因为二面角
的平面角大小为
，
所以
的轨迹是过点
的一条直线，
又因为Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），
所以
的轨迹是过点
的一条线段，
设以
的轨迹与
轴的交点坐标为
，
由题意可得
,
所以
,
因为
平面
，所以平面
的一个法向量为
,
设平面
的法向量为
，
所以
令
则
所以
，
因为二面角
的平面角大小为
，
所以
，解得
，
所以当
在线段BC 上时，
面积最大，最大值为
，
所以
面积的取值范围是
，
故选:D.
12．已知梯形
如图（1）所示，其中
，
为线段
的中点，四边形
为正方
形，现沿
进行折叠，使得平面
平面
，得到如图（2）所示的几何体．已知当
上一点
满足
时，平面
平面
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构建以A 为原点，射线AB、AD、AP 为x、y、z 轴正方向的空间直角坐标系，由题设标注相关点
的坐标，进而求平面
、平面
的法向量，根据空间向量垂直的坐标表示求参数
.
【详解】由题意，可构建以A 为原点，射线AB、AD、AP 为x、y、z 轴正方向的空间直角坐标系，
所以
，
则
，
，
若
是面
一个法向量，
则
，
可得
，
若
是面
一个法向量，
则
，
可得
，
由面
面
，
所以有
，
解得
，
故选：C.
13．已知二面角
的大小为
，点B、C 在棱l 上，
，
，
，
，则AD 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的数量积运算及二面角的概念求解.
【详解】如图所示，
由题意知
，
又二面角
的大小为
，故
，
，
又
，
，
,
即AD 的长为
，
故选：D
14．如图，将两个相同的四棱锥
与
对称摆放组成一个多面体，已知
平面
，四边形
是边长为2 的正方形，若平面
与平面
的夹角为
，则该多面体的体积为
.
【答案】
【分析】由题中条件可得
平面
，以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建
立空间直角坐标系，设
，求出平面
与平面
的法向量，根据题中条件和向量夹角公式
求出
，然后利用棱锥的体积公式求解.
【详解】∵
平面
，
平面
，∴
，
，
又
，
，
平面
，∴
平面
，
以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设
，则
,
，
设平面
的法向量为
，
由
，令
，则
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，令
，则
，
，
若平面
与平面
的夹角为
，
则
，解得
，
所以该多面体的体积为
.
故答案为：
.
15．如图，在四棱锥
中，
底面
，
为直角，
，
，E，F
分别为PC，CD 的中点，
，且二面角
的平面角大于
，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设
，向量法表示出二面角
的平面角的余弦值，
结合题意建立关于k 的不等式，解之即可得到实数k 的取值范围．
【详解】以A 为原点，以
为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
设
，则
，
，
，且平面
的一个法向量为
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，有
，可得
，
设二面角
的大小为
，则
，
化简得
，所以
，
所以实数k 的取值范围
.
故答案为：
题型四：二面角中的最值（范围）问题
16．在平面五边形
中，如图1 所示，
，
，
．
将平面四边形
沿
翻折成空间图形，使D，E 分别至点
，
，连接
，
，如图2 所示，
其中
，
都为动点．
(1)若
，证明：平面
平面
；
(2)若平面四边形
沿
旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积；
(3)求二面角
的余弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）利用菱形的性质及勾股定理逆定理可得
，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理
得证.
（2）利用圆锥、圆柱的侧面积公式求出表面积.
（3）设二面角
的大小为
，以点
为原点建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的
法向量，利用面面角的向量求法建立函数关系，进而求出最小值.
【详解】（1）连接
，在平面四边形
中，
，则四边形
为菱
形，
由
，得
为正三角形，
，而
，
则
，
，由
，得
，
而
平面
，因此
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由（1）知，四边形
是菱形，
，作
于
，
交
延长线于
，
菱形
沿
旋转一周所得几何体，是
绕直角边
所在直线一周得的圆锥，
矩形
绕直线
一周得的圆柱并挖去
绕直线
一周得的圆锥的组合体，
，该几何体的表面积为
.
（3）在平面
内过
作
，而
，则
是二面角
的平面角，
在平面
内过
作
，则
，直线
两两垂直，
以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，设
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
则
，令
，得
，
，令
，得
，
设二面角
的平面角为
，由几何图形及
可得
为锐角，
则
，令
，
，
，当且仅当
时取等号，
所以二面角
的余弦值的最小值为
.
17．如图，在平面四边形
中，
，
，将
沿
翻折至
，
形成三棱锥
，其中为动点．
(1)设
，点
在棱
上．
（i）证明：
；
（ii）当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正弦值．
(2)求平面
与平面
夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）取
的中点
，连接
，
，即证
，
，利用线面垂直的判断定
理即可证
平面
，再由线面垂直的性质定理即可得证；
（ii）连接
，由（i）知，
平面
，当
时，
最小时，
的面积最小，过
作
，垂足为
，即
平面
，即
为直线
与平面
所成的角，在
计算即
可求解；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【详解】（1）（i）取
的中点
，连接
，
，如图，
因为
，
，且
的中点为
，
所以
，
，
又
，
，
平面
，故
平面
，
由于
平面
，故
．
（ii）连接
，由（i）知，
平面
，
平面
,
则
，
，
时，
最小时，
的面积最小．
又
，
，
平面
，又
平面
，
平面
平面
，过
作
，垂足为
，则
平面
，
故
为直线
与平面
所成的角，由
，且
，
，又
，
，
，所以
，
，
，
在
中，由余弦定理得
，故
,
．
故
与平面
所成的角的正弦值为
．
（2）以
为坐标原点，
的方向为
轴正反向，建立如图所示的空间直角坐标系
．
则
，
，
，设
，则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，设平面
与平面
夹角为
，易知
，
，
令
，则
，
，
当
，即
时，
取得最小值
，
平面
与平面
夹角余弦值的最小值为
．
18．如图，四棱锥
中，
．
(1)当
为正三角形时，
（i）若
，证明：直线
平面PBC；
（ii）若A，B，D，P 四点在以
为半径的球面上，则四棱锥
的体积是多少？
(2)当
为等腰直角三角形时，且
，求二面角
的余弦值的最小值．
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)
【分析】（1）（i）根据勾股定理得
，结合
，再利用线面垂直的判定定理证明即可.
（ii）建立空间直角坐标系，求出球心
，设点P 的坐标为
，由
和
，求
出
，代入锥体体积公式即可求解.
（2）设
，求出平面BPD 和平面PDC 的法向量，利用向量法求得二面角
的余弦值为
，然后根据二次函数性质求解最值即可.
【详解】（1）（i）因为
，且
，所以
，
又
为正三角形，所以
，
因为
，所以
，进而
．
因为
，所以
，
又因为
，PB，
平面PBC，
所以直线
平面PBC.
（ii）延长BC 至E，使得
，进而
，连结DE，
又有
，可知，四边形ABED 为正方形，
连结AE 交BD 于O，过点O 作
平面ABED，
以O 为坐标原点，分别以OE，OD，Oz 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
因为A，B，D，P 四点在以
为半径的球面上，由球的性质可知球心M 在z 轴上，设点M 的坐标为
，
所以
，解得
，即
.
又
为正三角形，连结OP，可知
，又
平面
，
进而可得
平面AOP，所以点P 在坐标平面
内，
设点P 的坐标为
，又有
，
则
，
，解得
，
所以四棱锥
的高
，
直角梯形ABCD 的面积
，
所以四棱锥
的体积
.
（2）因为
为等腰直角三角形，且
，连结OP，则
．
建系方法如（ii）问，
，
设点
，
设平面BPD 的一个法向量
，则
，
令
，则
，所以
.
设平面PDC 的一个法向量为
，则
，
令
，则
，所以
.
.
令
，则
，
所以
.
当且仅当
即
时等号成立，
所以二面角
的余弦值的最小值
．
题型五：二面角中的探索性问题
19．如图所示，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE，CDEF 为两个全等的等腰梯形，
，
，
，
，点N 为线段AD 上的点（包含端点）.
(1)当点N 为线段AD 的中点时，求证：
平面
；
(2)线段AD 上是否存在点N，使得平面BFN 和平面ADE 的夹角为
．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理分别证明
平面
及
平面
即可；
（2）先应用面面垂直性质定理得出
平面
，再建立空间直角坐标系求出平面
及平面ADE
的一个法向量，再应用二面角余弦值公式计算求参.
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，
，
因为点
为线段
的中点，且
，所以
.
因为
，
，
由
，所以
为等腰直角三角形，
所以
，同理，
，
故在等腰梯形
中，
.
由
，所以
.
又
，而
平面
，
故
平面
.
又
平面
，所以
.
因为
，
，
平面
，
故
平面
.
（2）解：设正方形
的中心为
，分别取
的中点为
.
设点
为线段
的中点，由（1）知
四点共面，且
平面
，
连接
，
平面
，故
.
又
平面
，故平面
平面
，
且平面
平面
.
由题意可知四边形
为等腰梯形，故
，
平面
，故
平面
.
故以
为坐标原点，
为
轴建立空间直角坐标系，如图，
因为
，则
.
又
，故
，设
到底面
的距离为，
四边形
，
为两个全等的等腰梯形，且
，故
.
又
，
故
则
.
设
设平面
的一个法向量为
，
则
令
，
.
设平面
的一个法向量为
，
则
令
，
.
故
，
解得
，即存在点
，且
是线段AD 上靠近点A 的四等分点，
使得平面
和平面
的夹角为
．
20．如图，四棱锥
的底面是边长为
的菱形，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若点
在平面
内的投影为
的重心，且直线CP 与平面ABCD 所成角为
.
（i）求四棱锥
的体积；
（ii）若点M 为棱CP 上的动点（不包括端点），当平面
和平面
所成角的正弦值为
时，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）作出辅助线，得到
，由三线合一得到
，从而
平面
，得到面面
垂直；
（2）（i）由面面垂直得到线面垂直，
为直线
与平面
所成角，即
，求出棱锥
的高
，求出底面积，利用锥体体积公式进行求解；
（ii）建立空间直角坐标系，设
，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公
式得到方程，求出
，所以
.
【详解】（1）证明：连接
交
与点
，连接
.因为
为菱形，所以
.
为
中点，且
，所以
.
又因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
.
因为
平面
，
所以平面
平面
.
（2）（i）过P 作
于点H，
因为平面
平面ABCD，平面
平面
，
平面PAC，
所以
平面ABCD，
因为点
在平面
内的投影为
的重心，所以
即为
的重心，且
，
为直线
与平面
所成角，即
，故
，
底面是边长为
的菱形，
，故
均为等边三角形，
故
，所以
，所以
.
故菱形
的面积为
，
所以四棱锥
的体积
.
（ii）以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过O 点作平面ABCD 的垂线作为z 轴，建立如图所示的
空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
.
设
，故
.
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，则
.
设平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，取
，则
，
设平面
和平面
所成角为
，
则
，
因为
，所以
.所以
，
化简得
，解得
，所以
.
21．在四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
．动点
在
线段
上满足
，动点
在线段
上满足
，其中
．
(1)当
时，证明：
平面
；
(2)是否存在
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，说明理
由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在
【分析】（1）先利用三角形中位线和菱形的性质证得
；再根据线面平行的判定定理即可证得
平面
.
（2）先根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点和向量的坐标；再求出
平面
的一个法向量
及平面
的一个法向量
；最后根据面面所成
角的向量计算方法列出等式求解即可.
【详解】（1）证明：
动点
在线段
上满足
，动点
在线段
上满足
，
当
时，
分别为
的中点.
取
的中点
，连接
.
则
为
的中位线，
，
.
又
底面
为菱形，
，
则
，
.
四边形
是平行四边形，
.
又
平面
，
平面
，
∴
平面
；
（2）解：存在．
以点
为原点，以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴，以平面
内过点
且垂直于
的直
线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
．
则
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
得
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
得
，
.
，
化简得：
，即
，所以
或
.
存在
使得平面
与平面
夹角的余弦值为
．
22．在四棱锥
中，已知
，
，
，
，平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
.
(2)若
，在棱
上是否存在一点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
？若存在，求
出
的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）分别取
，
的中点
和
，连接
，
，
，证
平面
，进而根据面面
垂直的判定定理得到答案.
（2）建立空间直角坐标系，假设存在，设出
坐标，用空间向量法表示平面
与平面
的夹角，求
出
的长度.
【详解】（1）分别取
，
的中点
和
，连接
，
，
.
则
，
.
又
，
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，
，
因为
，所以
，又
,则
平面
，
所以
平面
，
因为
面
，所以
.
因为
，
，
,所以
平面
，
又
,所以平面
平面
.
（2）由（1）可知，
为
的中点，
，所以
.
又
，所以
是等边三角形.
取
的中点
，连接
，由（1）可知
，所以
平面
.
如图，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
所以
即
取
，得
.
假设存在一点
满足条件，设
（
），
所以
，
.
设平面
的法向量为
，
所以
即
取
，得
.
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
即
，解得
或
（舍去），此时
，
所以在棱
上存在中点
，使得平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
23．已知平行四边形
如图甲，
，沿
将
折起，使点
到达点
位
置，且
，连接
得三棱锥
，如图乙.
(1)证明：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使二面角
的余弦值为
，若存在，求出
的值，若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据折叠前后的几何性质结合余弦定理、勾股定理得
，
，再根据线面
垂直的判定定理得
平面
，
平面
，从而可得结论；
（2）以点
为坐标原点，
的方向分别为
､
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设
，其中
，根据空间向量坐标运算求解平面
与平面
的一个法向量，由二面角的余弦值求解
的值，从而得所求.
【详解】（1）
翻折前四边形
为平行四边形，
，
在
中，由余弦定理可得：
，
，则
，同理
，
翻折后有
，
又
平面
平面
，
又
平面
，
平面
平面
，
平面
（2）
平面
，以点
为坐标原点，
的方向分别为
､
轴的正方向建立如
下图所示的空间直角坐标系，
设
，其中
，
则
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
，则
，
又
平面
的一个法向量为
，
，
整理可得
，解得
，
线段
上存在点
，使二面角
的余弦值为
，此时
.
