限时跟踪检测(四十五) 二面角
一、单项选择题
1．四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的
等腰三角形，则二面角VABC的余弦值的大小为( )
A. B. C. D.
2．在正方体ABCDABC D 中，点E为BB 的中点，则平面AED与平面ABCD夹角
1 1 1 1 1 1
的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．如图，棱长都相等的平行六面体 ABCDA′B′C′D′中，∠DAB＝∠A′AD＝∠A′AB＝
60°，则二面角A′BDA的余弦值为( )
A. B．－ C. D．－
4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且
都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
二、多项选择题
5．如图，在四面体PABC中，下列说法正确的是( )
A．若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，则AC⊥PB
B．若四面体各棱长均为4，M，N分别是PA，BC的中点，则|MN|＝2
C．若在平面ABC上存在一点D，使CB＝CD＋CA，则BD＝2AB
D．若该四面体为正四面体，则二面角PABC的大小为60°
三、填空题与解答题
6．已知点E，F分别在正方体ABCDABC D 的棱BB ，CC 上，且BE＝2EB，CF＝
1 1 1 1 1 1 1
2FC ，则平面AEF与平面ABC夹角的正切值为________．
1
7．(2024·河北张家口模拟)如图，在三棱柱ABCABC 中，平面ABC⊥平面ACC A ，
1 1 1 1 1
∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ACC A 是菱形，∠AAC＝60°，O是AC的中点．
1 1 1(1)证明：BC⊥平面BOA；
1 1
(2)求平面AOB 与平面C OB 夹角的余弦值．
1 1 1
8. 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱
的母线，E是AC与BD的交点，AB＝AD，∠BAD＝60°.
(1)记圆柱的体积为V，四棱锥PABCD的体积为V，求；
1 2
(2)设点F在线段AP上，PA＝4PF，PC＝4CE，求二面角FCDP的余弦值．
9．如图，多面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为4，AF⊥平面ABCD，AF＝2，
AF∥DE，DE<AF.
(1)求证：CE∥平面ABF；
(2)若二面角BCFE的大小为α，且|cos α|＝，求DE的长．高分推荐题
10．如图，在三棱柱ABCABC 中，平面ACC A⊥平面BCC B ，侧面ACC A 是边长
1 1 1 1 1 1 1 1 1
为2的正方形，C B＝2，BC ⊥AC，E，F分别为BC，AB 的中点．
1 1 1 1 1
(1)求证：BC ⊥EF；
1
(2)求二面角BFC B的余弦值．
1 1
解析版
一、单项选择题
1．四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的
等腰三角形，则二面角VABC的余弦值的大小为( )
A. B. C. D.
解析： 如图所示，取 AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为 O，易知O为底面
ABCD的中心，连接OE，VE，根据题意可知，∠VEO是二面角VABC的平面角．因为OE
＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝.故选B.答案：B
2．在正方体ABCDABC D 中，点E为BB 的中点，则平面AED与平面ABCD夹角
1 1 1 1 1 1
的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析： 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方体的棱长为1，
则A(0,0,1)，E，D(0,1,0)，
1
∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝，设平面AED的一个法向量为n＝(1，y，z)，则即∴
1 1
∴n ＝(1,2,2)．又平面ABCD的一个法向量为n ＝(0,0,1)，∴cos〈n ，n 〉＝＝，即平
1 2 1 2
面AED与平面ABCD夹角的余弦值为.故选B.
1
答案：B
3．如图，棱长都相等的平行六面体 ABCDA′B′C′D′中，∠DAB＝∠A′AD＝∠A′AB＝
60°，则二面角A′BDA的余弦值为( )
A. B．－ C. D．－
解析： 棱长都相等的平行六面体ABCDA′B′C′D′中，∠DAB＝∠A′AD＝∠A′AB＝60°，
则四面体A′BDA为正四面体，如图，取BD的中点E，连接AE，A′E.设正四面体的棱长为
2，则 AE＝A′E＝，且 AE⊥BD，A′E⊥BD，则∠AEA′即为二面角 A′BDA的平面角，在
△AA′E中，cos∠AEA′＝＝.故二面角A′BDA的余弦值为.
答案：A4．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且
都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
解析： 如图所示，二面角的大小就是〈AC，BD〉．
∵CD＝CA＋AB＋BD，∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝CA2
＋AB2＋BD2＋2CA·BD，∴CA·BD＝[(2)2－62－42－82]＝－24.
∵AC·BD＝24，∴cos〈AC，BD〉＝＝，又〈AC，BD〉∈[0°，180°]，∴〈AC，
BD〉＝60°，故二面角为60°.
答案：C
二、多项选择题
5．如图，在四面体PABC中，下列说法正确的是( )
A．若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，则AC⊥PB
B．若四面体各棱长均为4，M，N分别是PA，BC的中点，则|MN|＝2
C．若在平面ABC上存在一点D，使CB＝CD＋CA，则BD＝2AB
D．若该四面体为正四面体，则二面角PABC的大小为60°
解析： 因为PA⊥PB，PB⊥PC，PA∩PC＝P，所以PB⊥平面PAC，
因为AC 平面PAC，所以PB⊥AC，A正确；连接PN，AN，因为四面体各棱长均为4，
M，N分别是PA，BC的中点，则由勾股定理得PN＝AN＝＝2，所以△PAN是等腰三角形，
⊂
由三线合一可知MN⊥AP，由勾股定理得|MN|＝＝＝2，B错误；CB＝CD＋CA，即(CB－
CD)＝(CA－CB)，所以DB＝2BA，所以BD＝2AB，C正确；取AB的中点G，连接PG，
CG，因为该四面体为正四面体，所以 PG⊥AB，CG⊥AB，则∠PGC为二面角PABC的平
面角，设正四面体的棱长为2a，则PG＝CG＝a，则cos∠PGC＝＝，所以二面角PABC的
大小不是60°，D错误．故选AC.答案：AC
三、填空题与解答题
6．已知点E，F分别在正方体ABCDABC D 的棱BB ，CC 上，且BE＝2EB，CF＝
1 1 1 1 1 1 1
2FC ，则平面AEF与平面ABC夹角的正切值为________．
1
解析：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，
设DA＝1，由已知条件得A(1,0,0)，E，F，所以AE＝，AF＝，设平面AEF的法向量为
n＝(x，y，z)，平面AEF与平面ABC的夹角为θ，由得
令y＝1，则z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，平面ABC的一个法向量为m＝
(0,0，－1)，所以cos θ＝|cos〈n，m〉|＝，tan θ＝.
答案：
7．(2024·河北张家口模拟)如图，在三棱柱ABCABC 中，平面ABC⊥平面ACC A ，
1 1 1 1 1
∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ACC A 是菱形，∠AAC＝60°，O是AC的中点．
1 1 1
(1)证明：BC⊥平面BOA；
1 1
(2)求平面AOB 与平面C OB 夹角的余弦值．
1 1 1
(1)证明：∵四边形ACC A 是菱形，∠AAC＝60°，O是AC的中点，
1 1 1
∴AO⊥AC，
1
∵平面ABC⊥平面ACC A，平面ABC∩平面ACC A＝AC，
1 1 1 1
∴AO⊥平面ABC，
1
∵BC 平面ABC，∴AO⊥BC，
1
∵BC ∥BC，∴BC ⊥AO，
1 ⊂1 1 1 1
又BC ⊥AB，且AO∩AB＝A，AO，AB 平面BOA，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊂∴BC ⊥平面BOA，
1 1 1 1
∴BC⊥平面BOA.
1 1
(2)解：如图，连接BO，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，O是AC的中点，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC A ，
1 1
平面ABC∩平面ACC A＝AC，
1 1
∴BO⊥平面ACC A，
1 1
设AC＝2，以O为坐标原点，OA，OA ，OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立
1
如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(－1，，1)，C (－2，，0)，
1 1
∴OA＝(1,0,0)，OB1＝(－1，，1)，OC1＝(－2，，0)，
设平面AOB 的法向量为m＝(x，y，z)，
1
则
取z＝，可得m＝(0，－1，)，
设平面C OB 的法向量为n＝(a，b，c)，
1 1
则
取a＝，可得n＝(，2，－)，
设平面AOB 与平面C OB 的夹角为θ，
1 1 1
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，
∴平面AOB 与平面C OB 夹角的余弦值为.
1 1 1
8. 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱
的母线，E是AC与BD的交点，AB＝AD，∠BAD＝60°.
(1)记圆柱的体积为V，四棱锥PABCD的体积为V，求；
1 2
(2)设点F在线段AP上，PA＝4PF，PC＝4CE，求二面角FCDP的余弦值．
解：(1)∵∠ABD与∠ACD是底面圆弧所对的圆周角，
∴∠ABD＝∠ACD.
∵AB＝AD，∴在等腰三角形ABD中，∠ABD＝∠ADE.
∴∠ADE＝∠ACD.∵AC是圆柱的底面直径，
∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，
∴∠CAD＋∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°，∴AC⊥BD.
∴在等腰三角形ABD中，BE＝DE，AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝30°.
∴在Rt△CED中，CD＝2EC，DE＝EC，
则BD＝2DE＝2EC.
在Rt△ACD中，AC＝2CD＝4EC.
∵PC是圆柱的母线，∴PC⊥平面ABCD，
∴V＝π·2·PC＝π·(2EC)2·PC＝4π·EC2·PC，
1
V＝××AC×BD×PC＝×4EC×2EC×PC＝×EC2×PC.
2
∴＝π.
(2)以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，过C作平面APC的垂线为y轴，CP所在直
线为z轴，建立空间直角坐标系．
设CE＝1，则AC＝4EC＝4，DE＝EC＝，PC＝4CE＝4.
∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，D(1，，0)，P(0,0,4)．
∴CD＝(1，，0)，CP＝(0,0,4)，PA＝(4,0，－4)．
∵PA＝4PF，∴PF＝PA＝(1,0，－1)，
∴CF＝CP＋PF＝(0,0,4)＋(1,0，－1)＝(1,0,3)．
设平面PCD的法向量为m＝(p，q，r)，
则∴r＝0.
取p＝－3，得q＝，则m＝(－3，，0)．
设平面FCD的法向量为n＝(a，b，c)，
则
取c＝1，则a＝－3，b＝，则n＝(－3，，1)．
设二面角FCDP的平面角为θ.
由题意得0<θ<，
∴cos θ＝|cos〈n，m〉|＝＝＝.
∴二面角FCDP的余弦值为.
9．如图，多面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为4，AF⊥平面ABCD，AF＝2，
AF∥DE，DE<AF.(1)求证：CE∥平面ABF；
(2)若二面角BCFE的大小为α，且|cos α|＝，求DE的长．
(1)证明：∵AF∥DE，AB∥CD，DE⊄平面ABF，CD⊄平面ABF，AF 平面ABF，AB
平面ABF，
⊂ ⊂
∴DE∥平面ABF，CD∥平面ABF.
∵CD∩DE＝D，CD，DE 平面CDE，
∴平面CDE∥平面ABF.
⊂
∵CE 平面CDE，∴CE∥平面ABF.
(2)解：以A为原点，AB，AD，AF的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所
⊂
示的空间直角坐标系．
设DE＝t(0<t<2)，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，F(0,0,2)，E(0，4，t)，
∴BC＝(0,4,0)，CF＝(－4，－4,2)，CE＝(－4,0，t)．
设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，解得y＝0，z＝2，∴可取n＝(1，0,2)．
设平面CEF的法向量为m＝(a，b，c)，
则
令c＝4，解得a＝t，b＝2－t，∴可取m＝(t,2－t,4)．
∴|cos α|＝|cos〈m，n〉|＝
＝＝，
解得t＝1或t＝(舍去)．∴DE＝1.
高分推荐题
10．如图，在三棱柱ABCABC 中，平面ACC A⊥平面BCC B ，侧面ACC A 是边长
1 1 1 1 1 1 1 1 1
为2的正方形，C B＝2，BC ⊥AC，E，F分别为BC，AB 的中点．
1 1 1 1 1
(1)求证：BC ⊥EF；
1(2)求二面角BFC B的余弦值．
1 1
(1)证明：因为平面 ACC A⊥平面 BCC B ，平面 ACC A∩平面 BCC B ＝CC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
AC ⊥CC ，AC 平面ACC A，
1 1 1 1 1 1 1
所以AC ⊥平面BCC B.
1 1 ⊂ 1 1
因为BC 平面BCC B，
1 1 1
所以AC ⊥BC .
1 ⊂1 1
又因为BC ⊥AC，AC ∩AC＝A，AC ，AC 平面ACC A，所以BC ⊥平面ACC A.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
如图1，取AC 的中点G，连接FG，CG.
1 1 ⊂
因为CG 平面ACC A，所以BC ⊥CG.
1 1 1
又因为E，F，G均为中点，所以FG∥BC ∥EC，FG＝EC＝BC ，所以四边形EFGC
⊂ 1 1 1 1
为平行四边形，
所以EF∥CG，所以BC ⊥EF.
1
图1 图2
(2)解：方法一：由(1)知，BC ⊥平面ACC A，CC 平面ACC A，所以BC ⊥CC .
1 1 1 1 1 1 1 1
如图2，以C 为坐标原点，C1B，C1C，C1A1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向
1 ⊂
建立空间直角坐标系，
则C (0,0,0)，B(2,0,0)，B(2，－2,0)，F(1，－1,1)，
1 1
所以C1B1＝(2，－2,0)，C1F＝(1，－1,1)，C1B＝(2,0,0)．
设平面BFC 的法向量为m＝(x，y，z)，则
1 1 1 1 1
令x＝1，则y＝1，z＝0，故m＝(1,1,0)．
1 1 1
设平面FC B的法向量为n＝(x，y，z)，
1 2 2 2
则解得x＝0.
2
取y＝1，则z＝1，所以n＝(0,1,1)．
2 2
设二面角BFC B为θ，由图可知θ为锐角，则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，
1 1
所以二面角BFC B的余弦值为.
1 1
图3
方法二：如图3，取BC 的中点H，过点H作HP⊥FC 于点P，连接BH，BP.
1 1 1因为BB＝BC ＝2，H为BC 的中点，所以BH⊥BC .
1 1 1 1 1 1
由(1)可知，AC ⊥平面BCC B.
1 1 1 1
因为BH 平面BCC B，
1 1
所以AC ⊥BH.
1 ⊂1
又BC ∩AC ＝C ，BC ，AC 平面ABC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BH⊥平面ABC .
1 1 1 ⊂
因为FC 平面ABC ，所以BH⊥FC .
1 1 1 1 1
又因为HP⊥FC ，BH∩HP＝H，BH，HP 平面BHP，
⊂ 1
所以FC ⊥平面BHP.
1 ⊂
因为BP 平面BHP，所以FC ⊥BP，
1
所以∠BPH即为二面角BFC B的平面角．
⊂ 1 1
因为在Rt△AC B 中，C F为斜边中线，
1 1 1 1
所以C F＝BF，故∠FBC ＝∠FC B.
1 1 1 1 1 1
又因为sin∠FBC ＝，sin∠FC B＝，
1 1 1 1
所以＝，
因为C H＝，AC ＝2，AB＝2，所以HP＝.
1 1 1 1 1
而BH＝，所以BP＝＝，
所以cos∠BPH＝＝，
所以二面角BFC B的余弦值为.
1 1
