文档内容
二十 功能关系 能量守恒定律
(40分钟 80分)
【基础巩固练】
1. (6分)(生活实践情境)(2024·白银模拟)高空“蹦极”是勇敢者的游戏。蹦极运动员将专用
弹性橡皮绳(质量忽略不计)的一端系在双脚上,另一端固定在高处的跳台上,运动员无初速度地
从跳台上落下。若不计空气阻力,则( )
A.弹性绳刚伸直时,运动员开始减速
B.整个下落过程中,运动员的机械能保持不变
C.整个下落过程中,重力对运动员所做的功大于运动员克服弹性绳弹力所做的功
D.弹性绳从伸直到最低点的过程中,运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减小后增
大
2.(6分) “探究加速度与力的关系”的实验装置示意图如图所示。实验中平衡了摩擦力,如果砂
桶(含砂)的质量m不满足比小车质量M小得多的条件,那么,若保持M不变,将m增大为原来的
2倍,不计绳的质量和滑轮摩擦,在砂桶下落相同高度的过程中,下列说法正确的是 ( )A.小车的加速度增大到原来的2倍
B.绳上的拉力增大到原来的2倍
C.砂桶机械能的减少量小于原来的2倍
D.砂桶和小车组成的系统损失的机械能比原来多
【加固训练】
(多选)如图所示,轻弹簧左端固定,右端连接物体A,物体A置于光滑水平桌面上,物体A和
B通过细绳绕过定滑轮连接。已知物体A和B的质量分别为m和2m,弹簧的劲度系数为k,不
计滑轮摩擦。物体A位于O点时,系统处于静止状态,物体A在P点时弹簧处于原长。现将物
体A由P点静止释放,物体A不会和定滑轮相碰,当物体B向下运动到最低点时,绳子恰好被拉
断且弹簧未超过弹性限度,则( )
A.由P点释放物体A瞬间,物体A的加速度为零
10
B.绳子能承受的最大拉力为 mg
3
C.从P点到O点,物体A动能的增加量小于重力对物体B所做功与弹簧弹力对A做的功之和D.从P点到O点,物体A与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于物体 B所受重力对B做的
功
3.(6分) (2023·沧州模拟)如图所示,一个半径为r、质量均匀的圆盘套在光滑固定的水平转轴
上,一根轻绳绕过圆盘,两端分别连接着物块A和B,A放在地面上,B用手托着(手未画出),A、B
均处于静止状态,此时B离地面的高度为7r,圆盘两边的轻绳沿竖直方向伸直,A和圆盘的质量
均为m,B的质量为2m,快速撤去手,在物块B向下运动的过程中,绳子始终与圆盘没有相对滑动。
1
已知圆盘转动的动能为E = mr2ω2,其中ω为圆盘转动的角速度,则物块A上升到最高点时离
kC 4
地面的高度为(A上升过程中未与圆盘相碰) ( )
A.7r B.8r
C.9r D.10r
4. (6分)(生活实践情境)滑沙是一项人们喜爱的游乐活动,如图是滑沙场地的一段斜面,其倾角
为30°,设参加活动的人和滑车总质量为m,人和滑车从距底端高为h处的顶端A沿滑道由静止
开始匀加速下滑,加速度为0.3g,人和滑车可视为质点,不计空气阻力,则从顶端向下滑到底端B
的过程,下列说法正确的是 ( )A.人和滑车减少的重力势能全部转化为其动能
B.人和滑车获得的动能为0.6mgh
C.人和滑车增加的机械能为0.4mgh
D.人和滑车克服摩擦力做功为0.2mgh
【加固训练】
高速公路部分路段旁建有如图所示的避险车道,车辆可驶入避险。若质量为 m的货车刹
车后以初速度v 经A点冲上避险车道,前进距离l到B点时速度减为0,货车所受阻力恒定,A、
0
B两点高度差为h,C为A、B中点,已知重力加速度为g,关于该货车从A运动到B的过程,下列
说法正确的是( )
1
A.克服阻力做的功为 mv2
2 0
1
B.产生的热量为 mv2-mgh
2 0
C.在AC段克服阻力做的功小于在CB段克服阻力做的功
D.在AC段的运动时间等于在CB段的运动时间
5.(6分) (2023·苏州模拟)如图所示,水平桌面上的轻质弹簧一端固定,另一端与小物块相连。弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)。物块的质量为m=1 kg,弹簧劲度系数为k=100
N/m,物块与桌面间的动摩擦因数为μ=0.1。现用水平向右的力将物块从O点拉至A点,弹簧伸
长量l =11 cm,撤去拉力后物块由静止向左运动经 O点最远到达B点。重力加速度g=10 m/s2,
0
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则从A点释放后,下列说法正确的是( )
A.物块可能停在B点
B.刚释放时物块所受的合力为11 N
C.从释放到最终停止过程中物块和弹簧组成的系统损失的机械能为0.605 J
D.从释放到最终停止过程中因摩擦产生的内能为0.6 J
6.(10分)(体育运动情境)北京冬奥会的标准U形池场地于赛前在河北省张家口市建成并投入
使用。如图1所示为某单板滑雪U形池场地,图2为该U形池场地的横截面图,AB段、CD段
为半径均为R=4 m的四分之一光滑圆弧雪道,BC段为粗糙的水平雪道且与圆弧雪道相切,质量
为60 kg的运动员(含滑板)开始时以3 m/s的速度从A点沿切线滑下,之后始终保持在一个竖直
平面内运动,刚好运动到D点。已知运动员与 BC段水平雪道间的动摩擦因数为 0.15,忽略空
气阻力,运动员可视为质点,g取10 m/s2。求:(1)运动员第一次运动到圆弧最低点B点时的动能;
(2)水平雪道BC段的长度;
(3)运动员从开始运动到第二次到达B点的过程中减小的机械能。
【加固训练】
如图,半径R=0.25 m 的光滑圆弧轨道的左端A与圆心O等高,B为圆弧轨道的最低点,圆
弧轨道的右端C与一倾角θ=37°的粗糙斜面相切。一质量m=1 kg的小滑块从A点正上方h=1
m 处的 P 点由静止自由下落。已知滑块与粗糙斜面间的动摩擦因数 μ=0.75,不计空气阻力,sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取
10 m/s2。求:
(1)滑块运动到B点时的速度和向心加速度;
(2)滑块在粗糙斜面上向上滑行的最大距离;
(3)分析说明滑块能否再次通过B点。
【综合应用练】
7.(6 分)(多选)(2023·长沙模拟)如图,某地区地铁 3 号线使用了节能坡。某次列车以 64.8km/h(18 m/s)的速度冲上高度为4 m的坡顶车站时,速度减为7.2 km/h
(2 m/s),设该过程节能坡的转化率为η(列车重力势能的增加量与其动能减小量之比),则 (
)
A.该过程列车的机械能守恒
B.该过程列车的机械能减少
C.η约为10%
D.η约为25%
8.(6分) (多选)(2023·鞍山模拟)如图所示,竖直轻弹簧下端固定在水平地面上,将轻弹簧正上方
质量m=1 kg的小球由静止释放,小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落
的位置为原点,竖直向下为y轴正方向,取地面为参考平面,在小球第一次下落到最低点的过程
中,弹簧的弹性势能E 、小球的重力势能E 、小球的动能E 、小球的机械能E随小球位移变
p1 p2 k
化的关系图像分别如图甲、乙、丙、丁所示,弹簧始终在弹性限度范围内,取重力加速度g=10
m/s2,下列说法正确的是 ( )A.图乙中a=3
B.图丙中b=4
C.图丙中y 处的弹簧弹力为8 N
0
D.图丁中c=9,d=4
9.(6分)(多选)(2023·长沙模拟)如图,圆心为O 的竖直光滑半圆轨道ab、圆心为O 的竖直光滑
1 2
半圆管道cd与水平粗糙平面bc连接,轨道ab半径与管道cd半径均为R,bc距离也为R。一小
滑块以某一速度从半圆轨道最高点a水平向左进入半圆轨道做圆周运动,最终从半圆管道最高
点d水平向左飞出。若小滑块在轨道 ab最高点a和管道cd最高点d受到的弹力大小均为
0.6mg。重力加速度为g,小滑块可视为质点,管道内径较小,则 ( )A.滑块从a点到d点机械能守恒
√2gR
B.滑块从a点水平飞出的速度为
5
C.水平粗糙平面bc的动摩擦因数为0.6
D.滑块对轨道ab最低点和对管道cd最低点的压力大小之比为11∶9
10.(10分)(2023·唐山模拟)如图所示,倾角θ=30°的斜面体固定在水平面上,一轻弹簧的下端固
定在斜面底端的挡板上,轻弹簧处于原长时其上端位于C点,一根不可伸长的轻质细绳跨过轻
质滑轮连接物体A和B,A、B的质量分别为4 kg和2 kg,均可视为质点。物体A与滑轮间的轻
√3
绳平行于斜面,与斜面间的动摩擦因数μ= 。现使物体A从距离C点L=1 m处以v =3 m/s的
0
4
初速度沿斜面向下运动。物体A向下运动将弹簧压缩到最短后,恰能回到C点。弹簧始终在
弹性限度内,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,整个过程中轻绳处于拉伸状态且物体B未
与滑轮接触,不计滑轮摩擦。求:
(1)A沿斜面向下运动到C点时轻绳的拉力;(2)整个运动过程中弹簧的最大弹性势能;
(3)物体A沿斜面向上运动过程中的最大速度。
【情境创新练】
11.(12分)(2023·齐齐哈尔模拟)如图所示,半径为r的光滑圆轨道固定在水平地面上,O为圆心,
AB、CD分别为竖直、水平直径,一质量为m的小球(视为质点)从轨道上的P点获得一个沿轨
√gr
道向下的速度v = ,下滑到Q点时刚好与轨道分离,小球在Q点的速度的延长线与地面的交
0
5
点为J,小球从Q点离开轨道时,立即给小球施加一个恒定的作用力F(F为未知量),使小球沿着
QJ做匀加速直线运动,已知∠BOP=37°,sin37°=0.6、cos37°=0.8,重力加速度为g,求:
(1)OQ与OD间的夹角θ的大小;(2)当F取最小值时,小球从Q到J的加速度大小以及小球刚到达J点时的动能。
【加固训练】
儿童乐园里的弹珠游戏不仅具有娱乐性还可以锻炼儿童的眼手合一能力。某弹珠游戏可
简化成如图所示的竖直平面内OABCD透明玻璃管道,管道的半径较小。为研究方便建立平面
5
直角坐标系,O点为抛物口,下方接一满足方程y= x2的光滑抛物线形状管道OA;AB、BC是半
9
径相同的光滑圆弧管道,CD是动摩擦因数μ=0.8的粗糙直管道;各部分管道在连接处均相切。
A、B、C、D的横坐标分别为x =1.20 m、x =2.00 m、x =2.65 m、x =3.40 m。已知弹珠质量
A B C D
m=100 g,直径略小于管道内径。E为BC管道的最高点,在D处有一反弹膜能在无能量损失的
情况下反弹弹珠,sin37°=0.6,sin53°=0.8,g取10 m/s2,求:
(1)若要使弹珠不与管道OA触碰,在O点抛射速度v 应该多大;
0
(2)若要使弹珠第一次到达E点时对管道压力等于弹珠重力的3倍,在O点抛射速度v '应该多
0大;
(3)游戏设置3次通过E点获得最高分,若要获得最高分,则在O点抛射速度v ″的范围为多少。
0
解析版
1. (6分)(生活实践情境)(2024·白银模拟)高空“蹦极”是勇敢者的游戏。蹦极运动员将专用
弹性橡皮绳(质量忽略不计)的一端系在双脚上,另一端固定在高处的跳台上,运动员无初速度地
从跳台上落下。若不计空气阻力,则( )
A.弹性绳刚伸直时,运动员开始减速
B.整个下落过程中,运动员的机械能保持不变
C.整个下落过程中,重力对运动员所做的功大于运动员克服弹性绳弹力所做的功
D.弹性绳从伸直到最低点的过程中,运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减小后增大
【解析】选D。弹性绳刚伸直时,运动员的重力大于弹性绳的弹力,加速度向下,运动员仍加速
运动,故A错误;整个下落过程中,运动员连同弹性绳的机械能总和不变,但是整个下落过程中随
着弹性绳的弹性势能增大,运动员的机械能在减小,故B错误;整个下落过程中,初、末状态运动
员的速度均为零,重力对运动员所做的功为W ,运动员克服弹性绳弹力所做的功为 W ,由动能
G 弹
定理有W -W =0,可知W =W ,故C错误;根据前面分析可知运动员连同弹性绳的机械能总和
G 弹 G 弹
不变,弹性绳从伸直到最低点的过程中,运动员的速度先增大后减小,动能先增大后减小,故运动
员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减小后增大,故D正确。
2.(6分) “探究加速度与力的关系”的实验装置示意图如图所示。实验中平衡了摩擦力,如果砂
桶(含砂)的质量m不满足比小车质量M小得多的条件,那么,若保持M不变,将m增大为原来的
2倍,不计绳的质量和滑轮摩擦,在砂桶下落相同高度的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.小车的加速度增大到原来的2倍
B.绳上的拉力增大到原来的2倍
C.砂桶机械能的减少量小于原来的2倍
D.砂桶和小车组成的系统损失的机械能比原来多【解析】选C。以小车为研究对象,根据牛顿第二定律可得T=Ma,以砂桶(含砂)为对象,根据牛
mg Mmg
顿第二定律可得mg-T=ma,联立可得a= ,T= ,若保持M不变,将m增大为原来的2倍,
M+m M+m
2mg 2mg M·2mg M·2mg
则有a'= < =2a,T'= < =2T,故A、B错误;绳子拉力对砂桶做负功,
M+2m M+m M+2m M+m
砂桶机械能的减少量为ΔE =Th,ΔE' =T'h,由于T'<2T,可得ΔE' <2ΔE ,即砂桶机械能的减少
损 损 损 损
量小于原来的2倍,故C正确;砂桶和小车组成的系统损失的机械能等于小车克服摩擦力做的
功,由于摩擦力大小保持不变,则砂桶和小车组成的系统损失的机械能与原来相等,故D错误。
【加固训练】
(多选)如图所示,轻弹簧左端固定,右端连接物体A,物体A置于光滑水平桌面上,物体A和
B通过细绳绕过定滑轮连接。已知物体A和B的质量分别为m和2m,弹簧的劲度系数为k,不
计滑轮摩擦。物体A位于O点时,系统处于静止状态,物体A在P点时弹簧处于原长。现将物
体A由P点静止释放,物体A不会和定滑轮相碰,当物体B向下运动到最低点时,绳子恰好被拉
断且弹簧未超过弹性限度,则( )
A.由P点释放物体A瞬间,物体A的加速度为零
10
B.绳子能承受的最大拉力为 mg
3C.从P点到O点,物体A动能的增加量小于重力对物体B所做功与弹簧弹力对A做的功之和
D.从P点到O点,物体A与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于物体 B所受重力对B做的
功
【解析】选B、C。在P点释放物体A瞬间,弹簧弹力为零,以A、B为整体,根据牛顿第二定律
可得m g=(m +m )a,解得a= m g =2g,可知初始时刻物体A的加速度为2g,故A错误;当物体
B A B B
m +m 3 3
A B
2
B向下运动到最低点时,根据对称性可知,此时B的加速度大小为 g,方向向上,根据牛顿第二定
3
10
律可得T -m g=m a,解得绳子能承受的最大拉力为 T = mg,故B正确;根据能量守恒可知,物
m B B m
3
体B减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和 A、B的动能之和,所以重力对B做的功与弹簧
弹力对A做的功之和等于物体A、B的动能之和,则物体A动能的增加量小于重力对B做的功
与弹簧弹力对A做的功之和,故C正确;物体B所受重力对B做的功等于物体B减少的重力势
能,根据能量守恒可知,物体B减少的重力势能等于物体 A与弹簧所组成的系统机械能的增加
量与物体B动能的增加量之和,故D错误。
3.(6分) (2023·沧州模拟)如图所示,一个半径为r、质量均匀的圆盘套在光滑固定的水平转轴
上,一根轻绳绕过圆盘,两端分别连接着物块A和B,A放在地面上,B用手托着(手未画出),A、B
均处于静止状态,此时B离地面的高度为7r,圆盘两边的轻绳沿竖直方向伸直,A和圆盘的质量均为m,B的质量为2m,快速撤去手,在物块B向下运动的过程中,绳子始终与圆盘没有相对滑动。
1
已知圆盘转动的动能为E = mr2ω2,其中ω为圆盘转动的角速度,则物块A上升到最高点时离
kC
4
地面的高度为(A上升过程中未与圆盘相碰) ( )
A.7r B.8r
C.9r D.10r
1 1
【解析】选C。设B刚落地时速度为v,则根据机械能守恒有2mg×7r=mg×7r+ ×3mv2+ mv2,解
2 4
v2
得v=2√gr,当物块B落地后,A还能上升的高度h= =2r,因此A上升到最高点离地面的高度为
2g
9r,故选C。
4. (6分)(生活实践情境)滑沙是一项人们喜爱的游乐活动,如图是滑沙场地的一段斜面,其倾角
为30°,设参加活动的人和滑车总质量为m,人和滑车从距底端高为h处的顶端A沿滑道由静止
开始匀加速下滑,加速度为0.3g,人和滑车可视为质点,不计空气阻力,则从顶端向下滑到底端B
的过程,下列说法正确的是 ( )
A.人和滑车减少的重力势能全部转化为其动能B.人和滑车获得的动能为0.6mgh
C.人和滑车增加的机械能为0.4mgh
D.人和滑车克服摩擦力做功为0.2mgh
【解析】选B。根据题意,设人和滑车受到的摩擦力为 f,由牛顿第二定律有mgsin30°-f=ma,可
ℎ
得f=0.2mg,从顶端向下滑到底端B的位移为x= =2h。通过上述分析可知,人和滑车下
sin30°
滑的过程中,有摩擦力做功,根据能量守恒可得,人和滑车减少的重力势能转化为摩擦产生的内
能与人和滑车的动能,A错误;人和滑车下滑的过程中,根据动能定理有mgxsin30°-fx=E -0,解得
k
E =0.6mgh,B正确;根据题意可知,摩擦力做功为W=-fx=-0.4mgh,即人和滑车克服摩擦力做功为
k f
0.4mgh,根据功能关系可得ΔE=W=-0.4mgh,即人和滑车的机械能减少了0.4mgh,C、D错误。
f
【加固训练】
高速公路部分路段旁建有如图所示的避险车道,车辆可驶入避险。若质量为 m的货车刹
车后以初速度v 经A点冲上避险车道,前进距离l到B点时速度减为0,货车所受阻力恒定,A、
0
B两点高度差为h,C为A、B中点,已知重力加速度为g,关于该货车从A运动到B的过程,下列
说法正确的是( )
1
A.克服阻力做的功为 mv2
2 01
B.产生的热量为 mv2-mgh
2 0
C.在AC段克服阻力做的功小于在CB段克服阻力做的功
D.在AC段的运动时间等于在CB段的运动时间
1
【解析】选B。货车从A运动到B,根据动能定理有-mgh-W=0- mv 2,所以克服阻力做的功为
f 2 0
1 1
W= mv2-mgh,故A错误;克服阻力做的功等于系统产生的内能,则该过程产生的热量为 mv2-
f 2 0 2 0
mgh,故B正确;因为货车所受阻力恒定,则阻力做的功与路程成正比,故在AC段克服阻力做的
功等于在CB段克服阻力做的功,故C错误;从A到B做匀减速运动,AC段的平均速度大于CB
段的平均速度,且AC段的位移等于CB段的位移,故在AC段的运动时间小于在CB段的运动
时间,故D错误。
5.(6分) (2023·苏州模拟)如图所示,水平桌面上的轻质弹簧一端固定,另一端与小物块相连。弹
簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)。物块的质量为m=1 kg,弹簧劲度系数为k=100
N/m,物块与桌面间的动摩擦因数为μ=0.1。现用水平向右的力将物块从O点拉至A点,弹簧伸
长量l =11 cm,撤去拉力后物块由静止向左运动经 O点最远到达B点。重力加速度g=10 m/s2,
0
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则从A点释放后,下列说法正确的是( )
A.物块可能停在B点B.刚释放时物块所受的合力为11 N
C.从释放到最终停止过程中物块和弹簧组成的系统损失的机械能为0.605 J
D.从释放到最终停止过程中因摩擦产生的内能为0.6 J
【解析】选D。物块最终停止的位置应满足 kx≤μmg,解得x≤0.01 m=1 cm,物块若在O点左右
1
两侧1 cm 的范围内的速度为 0,就会停止运动。物块从 A到B的过程中,由能量守恒得 kl2
2 0
1
=μmg(x +l )+ kx2,解得OB距离为x =0.09 m=9 cm>1 cm,则物块不会停在B点,故A错误;刚释
1 0 2 1 1
放时物块所受的合力为F =kl -μmg=100×
合 0
0.11 N-0.1×1×10 N=10 N,故B错误;物块从B往右运动到O点右侧x 处时速度为零,由能量守
2
1 1
恒得 kx2=μmg(x +x )+ kx2,解得 x =0.07 m=7 cm,以此类推,物块再次往左运动到 O 点左侧
2 1 1 2 2 2 2
x =5 cm处停止,再往右运动到O点右侧x =3 cm处停止,接着再往左运动到O点左侧x =1 cm
3 4 5
处停止,此位置弹力等于最大静摩擦力,物块最终停止。物块运动的总路程为 x
总
=l +2x +2x +2x +2x +x =60 cm,产生的内能Q=μmgx =0.6 J,故从释放到最终停止过程中物块和
0 1 2 3 4 5 总
弹簧组成的系统损失的机械能为0.6 J,故C错误,D正确。
6.(10分)(体育运动情境)北京冬奥会的标准U形池场地于赛前在河北省张家口市建成并投入
使用。如图1所示为某单板滑雪U形池场地,图2为该U形池场地的横截面图,AB段、CD段
为半径均为R=4 m的四分之一光滑圆弧雪道,BC段为粗糙的水平雪道且与圆弧雪道相切,质量为60 kg的运动员(含滑板)开始时以3 m/s的速度从A点沿切线滑下,之后始终保持在一个竖直
平面内运动,刚好运动到D点。已知运动员与 BC段水平雪道间的动摩擦因数为 0.15,忽略空
气阻力,运动员可视为质点,g取10 m/s2。求:
(1)运动员第一次运动到圆弧最低点B点时的动能;
答案:(1)2 670 J
【解析】(1)运动员第一次运动到圆弧最低点B点的过程中只受到重力做功,则根据动能定理
1
可得mgR=E - mv2
kB 2 0
1
则运动员第一次运动到圆弧最低点B点时的动能为E = mv2+mgR
kB 2 0
解得:E =2 670 J
kB
(2)水平雪道BC段的长度;
答案:(2)3 m
【解析】(2)运动员从A点滑到D点,重力势能不变,速度变为零,运动过程中只受到摩擦力做负
功,则根据动能定理可得
1 1
mv2- mv2=-fL=-mgμL
2 D 2 0
则水平雪道BC段的长度L=3 m(3)运动员从开始运动到第二次到达B点的过程中减小的机械能。
答案:(3)540 J
【解析】(3)运动员从开始运动到第二次到达B点的过程中因为2次摩擦力做负功导致机械能
损失,则其减小的机械能为ΔE =2mgμL
k
解得:ΔE =540 J
k
【加固训练】
如图,半径R=0.25 m 的光滑圆弧轨道的左端A与圆心O等高,B为圆弧轨道的最低点,圆
弧轨道的右端C与一倾角θ=37°的粗糙斜面相切。一质量m=1 kg的小滑块从A点正上方h=1
m 处的 P 点由静止自由下落。已知滑块与粗糙斜面间的动摩擦因数 μ=0.75,不计空气阻
力,sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取
10 m/s2。求:
(1)滑块运动到B点时的速度和向心加速度;
答案:(1)5 m/s,方向过B点的切线向右
100 m/s2,方向由B指向O
1
【解析】(1)滑块由P到B过程中,根据机械能守恒定律有mg(h+R)= mv2
2 B解得v B =√2g( ℎ +R)=5 m/s
方向过B点的切线向右
滑块在B点的向心加速度为
a =v2= 52 m/s2=100 m/s2
B B
R 0.25
方向由B指向O
(2)滑块在粗糙斜面上向上滑行的最大距离;
答案:(2)1 m
【解析】(2)方法一:滑块由B到C过程中,根据机械能守恒定律有
1 1
mv2=mg(R-Rcosθ)+ mv2
2 B 2 C
v =2√6 m/s
C
滑块沿斜面上滑的加速度为a,则
mgsinθ+μmgcosθ=ma
a=12 m/s2
滑块在斜面上向上滑行的最大距离为
x=v2 =1 m
C
2a
方法二:设滑块在斜面上向上滑行的最大距离为x,滑块由B滑到斜面上最高点的过程中,根据
1
动能定理有-mg(R-Rcosθ)-mgxsinθ-μmgcosθx=0- mv2,解得x=1 m
2 B
(3)分析说明滑块能否再次通过B点。答案:(3)不能,分析过程见解析
【解析】(3)滑块滑至最高点时,重力沿斜面方向的分力为mgsinθ=6 N
在斜面上滑块受到的滑动摩擦力为
f=μmgcosθ=6 N
又最大静摩擦力略大于滑动摩擦力,即f >f,所以f >mgsinθ,因此滑块将停在斜面上,不能再次
静 静
通过B点。
【综合应用练】
7.(6 分)(多选)(2023·长沙模拟)如图,某地区地铁 3 号线使用了节能坡。某次列车以 64.8
km/h(18 m/s)的速度冲上高度为4 m的坡顶车站时,速度减为7.2 km/h
(2 m/s),设该过程节能坡的转化率为η(列车重力势能的增加量与其动能减小量之比),则 (
)
A.该过程列车的机械能守恒
B.该过程列车的机械能减少
C.η约为10%
D.η约为25%
【解析】选B、D。列车在冲上坡顶车站时,需要克服阻力做功,减小的动能一部分转化成了列
车的重力势能,一部分克服了阻力做功,该过程中列车增加的重力势能与减小的动能之间的关1 1
系为ΔE =mgh<ΔE = mv2 - mv2 ,因此该过程列车的机械能减少,故A错误,B正确;该过程重
p k 2 初 2 末
1 1
力势能的增加量为ΔE =mgh,动能的减少量为ΔE = mv2 - mv2 ,则该过程节能坡的转化率为
p k 2 初 2 末
mgℎ
ΔE
η= p=1 ×100%≈25%,故C错误,D正确。
ΔE m(v2 -v2 )
k 2 初 末
8.(6分) (多选)(2023·鞍山模拟)如图所示,竖直轻弹簧下端固定在水平地面上,将轻弹簧正上方
质量m=1 kg的小球由静止释放,小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落
的位置为原点,竖直向下为y轴正方向,取地面为参考平面,在小球第一次下落到最低点的过程
中,弹簧的弹性势能E 、小球的重力势能E 、小球的动能E 、小球的机械能E随小球位移变
p1 p2 k
化的关系图像分别如图甲、乙、丙、丁所示,弹簧始终在弹性限度范围内,取重力加速度g=10
m/s2,下列说法正确的是 ( )A.图乙中a=3
B.图丙中b=4
C.图丙中y 处的弹簧弹力为8 N
0
D.图丁中c=9,d=4
【解析】选B、C、D。由图甲、乙可知,小球到最低点时,高度下降0.6 m,则重力势能减少
ΔE =mgy =6 J,重力势能转化为内能和弹簧的弹性势能,根据Q=fy =ΔE -ΔE ,解得f=2 N,
p2 max max p2 p1
则图乙中 a=4,故 A 错误;结合图甲和图丙,可知小球高度下降 0.5 m 内,只有重力做功,根据
mgy-fy=E 解得y=0.5 m时的动能E =4 J,故B正确;当小球动能最大时,小球加速度为零,根据平
k k
衡条件F +f=mg,解得F =8 N,故C正确;根据功能关系可知,小球高度下降0.5 m时,机械能的
弹 弹
减少量等于克服阻力所做的功为 ΔE=10-c=fy,解得c=9,根据能量守恒定律可知,小球高度下降
0.6 m时,动能为零,则小球减少的重力势能等于减少的机械能为6 J,则d=4,故D正确。
9.(6分)(多选)(2023·长沙模拟)如图,圆心为O 的竖直光滑半圆轨道ab、圆心为O 的竖直光滑
1 2
半圆管道cd与水平粗糙平面bc连接,轨道ab半径与管道cd半径均为R,bc距离也为R。一小滑块以某一速度从半圆轨道最高点a水平向左进入半圆轨道做圆周运动,最终从半圆管道最高
点d水平向左飞出。若小滑块在轨道 ab最高点a和管道cd最高点d受到的弹力大小均为
0.6mg。重力加速度为g,小滑块可视为质点,管道内径较小,则 ( )
A.滑块从a点到d点机械能守恒
√2gR
B.滑块从a点水平飞出的速度为
5
C.水平粗糙平面bc的动摩擦因数为0.6
D.滑块对轨道ab最低点和对管道cd最低点的压力大小之比为11∶9
【解析】选C、D。由于水平平面粗糙,滑块受到摩擦力对其做负功,所以滑块从a点到d点机
械能不守恒,故A错误;由于a点和d点受到的弹力大小均为 0.6mg,所以a点小滑块受到弹力
竖直向下,d点小滑块受到弹力方向竖直向上;在a点mg+0.6mg=mv2 ,在d点mg-0.6mg=mv2
,解
a d
R R
√8gR √2gR 1 1
得v = ,v = ,故B错误;从a点到d点根据动能定理-μmgR= mv2- mv2,解得μ=0.6,故
a 5 d 5 2 d 2 a
C正确;从a点到b点,根据动能定理2mgR=1m -1m ,在b点N -mg=mv2 ,解得N =6.6mg,从c
v2 v2 b b b
2 b 2 a R点到d点根据动能定理2mgR=1m -1m ,在c点N -mg=mv2,解得N =5.4mg,故滑块对轨道ab
v2 v2 c c c
2 c 2 d R
最低点和对管道cd最低点的压力大小之比为11∶9,故D正确。
10.(10分)(2023·唐山模拟)如图所示,倾角θ=30°的斜面体固定在水平面上,一轻弹簧的下端固
定在斜面底端的挡板上,轻弹簧处于原长时其上端位于C点,一根不可伸长的轻质细绳跨过轻
质滑轮连接物体A和B,A、B的质量分别为4 kg和2 kg,均可视为质点。物体A与滑轮间的轻
√3
绳平行于斜面,与斜面间的动摩擦因数μ= 。现使物体A从距离C点L=1 m处以v =3 m/s的
0
4
初速度沿斜面向下运动。物体A向下运动将弹簧压缩到最短后,恰能回到C点。弹簧始终在
弹性限度内,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,整个过程中轻绳处于拉伸状态且物体B未
与滑轮接触,不计滑轮摩擦。求:
(1)A沿斜面向下运动到C点时轻绳的拉力;
答案:(1)15 N
【解析】(1)以物体B为研究对象,根据牛顿第二定律有m g-F=m a
B B
以物体A为研究对象,根据牛顿第二定律有
F+μm gcosθ-m gsinθ=m a
A A A解得F=15 N
(2)整个运动过程中弹簧的最大弹性势能;
答案: (2)6 J
【解析】(2)设弹簧最大形变量为x,此时弹簧弹性势能为E 。由初始位置至物体A运动到最低
p
点过程中,选弹簧、物体A、物体B及其轻绳组成的系统为研究对象,根据能量守恒有
1
(m +m )v2+m g(L+x)sinθ=E +μm gcosθ(L+x)+m g(L+x)
A B A p A B
2 0
物体A从最低点运动到C点过程中,选弹簧、物体A、物体B及其轻绳组成的系统为研究对象,
根据能量守恒有m gxsinθ+μm gxcosθ=m gx+E
A A B p
解得E =6 J,x=0.4 m
p
(3)物体A沿斜面向上运动过程中的最大速度。
√2
答案: (3) m/s
2
【解析】(3)设物体A向上运动速度达最大时弹簧的形变量为 x ,轻绳拉力为F ,选A为研究对
1 1
象,根据平衡条件有
kx +F =μm gcosθ+m gsinθ
1 1 A A
选B为研究对象,根据平衡条件有F =m g
1 B
解得kx =15 N
1
物体A由最低点返回到C点过程中,物体A、物体B及轻绳组成的系统做简谐运动,由简谐运
动规律有x=2x
1物体A由速度最大位置返回到 C点过程中,选物体A、物体B、轻绳和弹簧组成的系统,根据
1
能量守恒有m gx sinθ+μm gcosθx =m gx +ΔE + (m +m )v2,根据功能关系,弹簧弹性势能减小
A 1 A 1 B 1 p 2 A B m
1
的大小为ΔE = (0+kx )x
p 1 1
2
√2
解得v = m/s
m
2
【解题指南】解答本题需注意以下三点
(1)物体A向下运动到C点的过程中,对A和B受力分析,根据牛顿第二定律列等式,求解轻绳的
拉力;
(2)物体A向下运动到C点的过程中,根据功能关系,求出到达C点的速度;从物体A接触弹簧,
将弹簧压缩到最短后又恰回到C点,对系统应用能量守恒定律,求出弹簧压缩的最大距离和弹
簧的最大弹性势能;
(3)当物体加速度为零时,速度达到最大,物体A由速度最大位置到C点过程中,根据功能关系,
求物体A沿斜面向上运动过程中的最大速度。
【情境创新练】
11.(12分)(2023·齐齐哈尔模拟)如图所示,半径为r的光滑圆轨道固定在水平地面上,O为圆心,
AB、CD分别为竖直、水平直径,一质量为m的小球(视为质点)从轨道上的P点获得一个沿轨
√gr
道向下的速度v = ,下滑到Q点时刚好与轨道分离,小球在Q点的速度的延长线与地面的交
0
5点为J,小球从Q点离开轨道时,立即给小球施加一个恒定的作用力F(F为未知量),使小球沿着
QJ做匀加速直线运动,已知∠BOP=37°,sin37°=0.6、cos37°=0.8,重力加速度为g,求:
(1)OQ与OD间的夹角θ的大小;
答案:(1)37°
【解析】(1)设Q、D两点的高度差为h,则有
ℎ
sinθ=
r
小球从P到Q由机械能守恒定律可得
1 1
mg(rcos37°-h)= mv2- mv2
2 Q 2 0
当小球刚运动到Q点,轨道对小球的支持力刚好为 0,把重力分别沿着OQ和垂直OQ分解,由
牛顿第二定律可得mgsinθ=mv2
Q
r
√gr
结合v = ,解得θ=37°
0
5
(2)当F取最小值时,小球从Q到J的加速度大小以及小球刚到达J点时的动能。
答案:(2)0.8g 1.9mgr
【解析】(2)小球沿着QJ做匀加速度直线运动,F与mg的合力沿着QJ方向,根据二力合成的矢量三角形分析可得,当F与QJ垂直即沿着OQ斜向右上方向时,F取最小值;当F取最小值时,
小球的合力为F =mgcosθ
合
由牛顿第二定律可得F =ma
合
小球从Q到J,由动能定理可得
1
mg(h+r)=E - mv2
kJ 2 Q
1 3
由(1)可知 mv2= mgr
2 Q 10
综合解得a=0.8g
E =1.9mgr
kJ
【加固训练】
儿童乐园里的弹珠游戏不仅具有娱乐性还可以锻炼儿童的眼手合一能力。某弹珠游戏可
简化成如图所示的竖直平面内OABCD透明玻璃管道,管道的半径较小。为研究方便建立平面
5
直角坐标系,O点为抛物口,下方接一满足方程y= x2的光滑抛物线形状管道OA;AB、BC是半
9
径相同的光滑圆弧管道,CD是动摩擦因数μ=0.8的粗糙直管道;各部分管道在连接处均相切。
A、B、C、D的横坐标分别为x =1.20 m、x =2.00 m、x =2.65 m、x =3.40 m。已知弹珠质量
A B C D
m=100 g,直径略小于管道内径。E为BC管道的最高点,在D处有一反弹膜能在无能量损失的
情况下反弹弹珠,sin37°=0.6,sin53°=0.8,g取10 m/s2,求:(1)若要使弹珠不与管道OA触碰,在O点抛射速度v 应该多大;
0
答案:(1)3 m/s
5
【解析】(1)由y= x2得A点坐标(1.20 m,0.80 m)
9
1
由平抛运动规律得:x =v t,y = gt2
A 0 A
2
代入数据,求得t=0.4 s,v =3 m/s
0
(2)若要使弹珠第一次到达E点时对管道压力等于弹珠重力的3倍,在O点抛射速度v '应该多
0
大;
答案:(2)2√2 m/s
【解析】(2)由速度关系,可得θ=53°
求得AB、BC圆弧的半径R=0.5 m
1 1
OE过程由动能定理得:mgy -mgR(1-cos53°)= mv2- mv'2
A 2 E 2 0
当弹珠第一次到达E点时,F =3mg
N
3mg+mg=mv2
E
R
解得 v '=2√2 m/s;
0
(3)游戏设置3次通过E点获得最高分,若要获得最高分,则在O点抛射速度v ″的范围为多少。
0答案:(3)2√3 m/s
