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专题07 空间中的距离
题型一：点到平面距离的向量求法
题型二：平行平面距离的向量求法
题型三：点到直线距离的向量求法
题型四：异面直线间距离的向量求法
题型五：空间线段点的存在性问题
题型一：点到平面距离的向量求法
1．已知三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两垂直，且
，
，
.顶点
到平面
的距离是 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面BCD 的法向量，利用点到平面的距离公式求解.
【详解】因为AB、AC、AD 两两垂直，以点A 为坐标原点，AC，AB，AD 所在直线分别为x，y，z 轴，建
立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
设平面BCD 的一个法向量为
，
，
令
，则
，
则顶点A 到平面BCD 的距离
，
即顶点A 到平面BCD 的距离为
．
故答案为：
2．如图，在直三棱柱
中，
，
，
，M、N、P 分别是
、
、
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以
为原点建立空间直角坐标系
，求出
坐标，利用向量证明
，
，根据线面垂直的判定定理证明；
（2）求出平面
的一个法向量，利用向量法求线面角；
（3）由（1）平面
的一个法向量为
，利用向量法求解.
【详解】（1）在直三棱柱中，
，则
，
，
两两垂直，
如图，以
为原点建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
由
，则
，
由
，则
，
由
，且
都在平面
内，则
平面
.
（2）设平面
的一个法向量
，
，
，
所以
，取
，则
，
所以
，
故
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）由（1）知平面
的一个法向量为
，由（2）知
，
所以点
到平面
的距离
.
3．如图，在棱长为2 的正方体
中，
，
，
分别是棱
，
，
的中点.
(1)证明：
；
(2)求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建系，利用空间向量证明线线垂直.
（2）求平面
的一个法向量，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则
，
，
，
，
，
，
故
，因此
，故
（2）因
，
，设平面
的一个法向量
，
则
，则满足条件的一个
，
因为
，故点
到平面
的距离
.
4．设正方体
的棱长为2，
，
的中点分别为
，
.
(1)求直线
与
所成角的余弦值；
(2)求点
到面
的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，根据异面直线夹角
的向量求法即可求解；
（2）求出平面
的一个法向量，利用点
到面
的距离向量求法即可求解.
【详解】（1）
在正方体
中，以
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系如图
所示，
则由题可得：
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（2）由（1）知
.设平面
的一个法向量为
，
则
，即
.
令
，则
，∴平面
的一个法向量为
.
∵
，∴点
到面
的距离为
.
5．如图，在梯形
中，
，
，
，现将
所在平面沿对角线
翻折，
使点
翻折至点
，且成直二面角
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若异面直线
与
所成角的余弦值为
，求平面
与平面
所成角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取
的中点E，连接
，利用平面几何知识证明
，再利用面面垂直的性质定理
证明
平面
，即可得证；
（2）取
的中点O，连接
，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设
，
利用向量求异面直线
与
所成角，列方程求出
，进而通过向量法求出平面
与平面
夹角的
余弦值；
（3）根据点
到平面
的距离
计算可得.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
因为
，
，
，
则
，
，
故四边形
为平行四边形，
所以
，
则
，所以
，
又
，故
，
故
，即
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
故
平面
，又
平面
，
故平面
平面
；
（2）取
的中点
，连接
，则
，
所以
，且
，则
两两互相垂直，
故以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设
，则
，
，
，
故
，
所以
，
因为异面直线
与
所成角的余弦值为
，
所以
，解得
（负值已舍去），
故
，
设平面
的法向量为
，
，
，令
，则
，可得
，
由（1）可知平面
的一个法向量为
，
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值
.
（3）因为
，平面
的法向量为
，
所以点
到平面
的距离
.
题型二：平行平面距离的向量求法
6．正方体
的棱长为2，
，
，
，
分别是棱
，
，
，
的中点，则平面
和平面
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将问题转化为点
到平面
的距离，以
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，并均以1 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即
可.
【详解】以
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，并均以1 为单位
长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
，因为
四点不共线，所以
∥
，
由
面
，
面
，则
面
，
因为
，
，分别是棱
，
的中点，所以
∥
，
同理，
∥平面
，而
，
面
，
所以平面
∥平面
面
，故
平面
，
所以平面
和平面
之间的距离，就是
到平面
的距离，也就是点
到平面
的距
离．
设平面
的法向量为
，则
，不妨取
，则
，
所以点
到平面
的距离
，
即平面
和平面
之间的距离是
．
故选：B
7．如图，在平行六面体
中，
，
，
，
，
．则
；该平行六面体的体积为 ．
【答案】
【分析】利用空间向量的数量积求向量模长可得第一空，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算
点面距离求体积即可.
【详解】由题意易知
，
；
如图所示，建立空间直角坐标系，则
，设
，
由题意可知
，
不妨取
，则
，
易知
是底面
的一个法向量，
所以
到底面
的距离为
.
8．已知
是棱长为1 的正方体，则平面
与平面
的距离为 ．
【答案】
/
【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面
平面
，从而平面
与平面
的距离等于
点
到平面
的距离．求得平面
的法向量
和
，结合点到平面的距离的向量公式，即可得
解．
【详解】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
可得
，
因为
，则
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
，
所以平面
与平面
的距离等于点
到平面
的距离
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
，所以
，
又因为
，所以
．
所以平面
与平面
的距离为
．
故答案为：
．
9．在棱长为
的正方体
中，求
(1)直线
与平面
所成的角；
(2)求平面
与平面
的距离；
(3)求三棱锥
外接球的表面积；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角；
（2）先证平面
平面
，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空
间向量的方法求出点到面的距离即可；
（3）根据补形法确定三棱锥
的外接球即为正方体
的外接球，求出正方体外接球
半径，即可求得结果.
【详解】（1）
建立如图所示，以
为坐标原点，
、
、
分别为
轴、
轴、
轴的空间直角坐标系，
根据题意有：
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
所以
，即
，令
，则有
，
所以
为平面
的一个法向量，
设直线
与平面
所成角为
，
则有
，又因为
，
所以
（2）
连接
、
、
、
、
、
，
因为
，
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
；同理可证
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
；
因为
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
，
令
，可得
，
则
为平面
的一个法向量，
所以平面
与平面
的距离
.
（3）根据补形法可知三棱锥
的外接球就是正方体
的外接球，
设三棱锥
的外接球半径为
，则
，
所以
，所以三棱锥
的外接球的表面积为
.
10．已知正方体
的棱长为1，求平面
与平面
间的距离．
【答案】
【分析】先证明平面
平面
，再建立空间直角坐标系，求出
以及平面
的
法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案.
【详解】正方体
中，
,故四边形
,
所以
，同理
，
所以平面
平面
，
以D 为原点，分别以
所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，所以
，
令
，则
，
则
为平面
的一个法向量，
所以点
到平面
的距离d
，
则平面
与平面
的距离等于点
到平面
的距离，
所以平面
与平面
间的距离为
．
题型三：点到直线距离的向量求法
11．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点
，且以向量
为方向向量，则
这条直线可以用方程
来表示．已知直线的方程为
，则点
到直线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直线方程，求出直线经过点
，且
为一个方向向量，再利用向量法求解
即可．
【详解】由题意可得直线的方向向量
，
直线经过点
，又
，
则
，
所以
，
则点
到直线的距离为
.
故选：B.
12．已知空间中的三点
，
，
，则点
到直线AB 的距离为 .
【答案】
【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可.
【详解】因为空间中的三点
，
，
，所以
，
，
所以
，
，
点
到直线AB 的距离为
．
故答案为：
.
13．已知
平面
，
是直角三角形，且
，
，则点P 到直线BC 的距离是
.
【答案】
【分析】取
中点为
，连接
，通过证明
，从而证明点
到
的距离为
，再结合
已知条件求出
即可.
【详解】取
中点为
，连接
，如下所示：
因为
为等腰三角形，又
为
中点，故
；
因为
平面
，
面
，故
；
又
面
，故
面
，又
面
，故
，
故点
到直线
的距离，即为
；
在△
中，
；
因为
平面
，
面
，故
，则△
为直角三角形；
在△
中，
，故
,
故点
到直线
的距离为
.
故答案为：
.
14．已知空间中有三点
，则A 到直线
的距离为 ．
【答案】
【分析】应用向量法求点线距离即可.
【详解】由题设
，则A 到直线
的距离
.
故答案为：
15．空间内有三点
，
，
，则点
到直线
的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出
，再求出直线
的一个单位方向向量,利用点到直线的距离的向量公式计算即
得.
【详解】由题意，
,则与
同方向的单位向量为
，又
,
则点
到直线
的距离为
.
故答案为：
.
16．已知直线过定点
，向量
为其一个方向向量，则点
到直线的距离为
．
【答案】
【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果.
【详解】
，故
，
所以
，
设直线
与直线所成的角为
，
则
，可得
，
因此点
到直线的距离为
．
故答案为：3
题型四：异面直线间距离的向量求法
17．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若
，则直线BD1与CD 之间的距离为 .
【答案】
【分析】求得与
，
都垂直的一个向量
，利用
可求直线
与
之间的距离.
【详解】以
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直线坐标系
，
则
，
，
，
设与
，
都垂直的一个向量
，
则
，取
，则
，
，
所以与BD1，CD 都垂直的一个向量
，
所以直线
与
之间的距离为
.
故答案为：
18．已知正方体
的棱长为1，
是异面直线AC 与
的公垂线段，点
在AC 上且点
在
上，则
.
【答案】
【分析】以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，利用
，可求出
两点的坐标，从而可求出答案.
【详解】以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
因为点M 在
上，点N 在
上，所以设
，
，
所以
,
，
因为MN 是异面直线AC 与
的公垂线段，
所以
，即
，解得
，
所以
，
，
所以点M 是线段
上靠近点
的一个三等分点，
点N 是线段
上靠近点
的一个三等分点，
且异面直线
与
间的距离为
.
故答案为：
.
19．将边长为2 的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得△ACD 垂直于底面ABC，则异面直线AD 与BC 的距
离为 ．
【答案】
/
【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离.
【详解】取
的中点
，连结
，
，
由条件可知，平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
如图，以点
为原点，
为
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
,
设与
垂直的向量为
，则
，令
，则
，所以
，
则异面直线AD 与BC 的距离为
.
故答案为：
20．三棱锥
中，
，
，
，
，点M，N 分别在线段
，
上运动.若二面角
的大小为
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】观察三棱锥
，将其补形成直三棱柱
，再推得
是正三角形，从而建立空
间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解.
【详解】依题意，将三棱锥
补形成直三棱柱
，
此时易知
，
，满足题意，
又
，所以
为二面角
的平面角，即
，
在
中，
，
，则
，
在
中，
，则
，
又
，所以
是正三角形，
要求
的最小值，即求异面直线
，
的距离，
以
点为原点，建立空间直角坐标系如图，
则
，
故
，
设
同时垂直于
，则
，
取
，则
，故
，
所以
的最小值为
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，通过分析三棱锥
的图形，将其补形成直三棱柱
，从而得解.
21．已知正方体
的棱长为2，M 为棱
的中点，P，Q 分别为线段
，
上的动点，
则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
,
则
，
设
，
故
，
由于直线
，
为异面直线，要使
的最小，则
是
，
的公垂线，
故
解得
，
所以
故
，
故答案为：
22．在棱长是
的正方体
中，
为
的中点，则异面直线
和
间的距离是
【答案】
/
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】以D 为坐标原点，以
为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
则
，
设与异面直线
和
都垂直的向量为
，
则
，令
，则
，
又
，故异面直线
和
间的距离是
，
故答案为：
题型五：空间线段点的存在性问题
23．如图，在四棱锥
中，平面
平面
.
是等腰三角形，且
.在梯
形
中，
.
(1)求证:
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值;
(3)棱
上是否存在点
到平面
的距离为
，若存在，求出
的值;若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)存在，
.
【分析】（1）由
即可得出
平面
；
（2）建立空间坐标系，求出平面
和平面
的法向量，利用面面夹角的向量公式计算即可；
（3）设
，结合点面距离的向量公式建立方程，求解可得
的值．
【详解】（1）
，
平面
，
平面
，
平面
．
（2）
∵底面
是直角梯形，
，
，
又
，
到
的距离为
，
平面
平面
，
到平面
的距离为2．以
为原点，以
，及平面
过
的
垂线为坐标轴，
建立空间坐标系，如图所示：
，
，设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
则
，
，
，
，令
，
，则
，
可得
，
设平面
与平面
夹角为
，
．
∴平面
与平面
夹角的余弦值为
；
（3）假设棱
上存在点
到面
的距离为
，
设
，其中
，
点
到平面
的距离
，
，（
舍去），
棱
上存在点
到面
的距离为
，
．
24．如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，PB 与底面ABCD 所成角为
，底面ABCD 为直角
梯形，
.
(1)求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
(2)求平面PCD 与平面PBA 所成角的余弦值；
(3)N 为AD 中点，线段PC 上是否存在动点M（不包括端点），使得点P 到平面BMN 距离为
.
【答案】(1)
(2)
(3)存在.
【分析】（1）证明出
，
，
，建立的空间直角坐标系
，求得向量
，平面
的一个法向量为
，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）由平面PBA 的一个法向量
，和平面
的一个法向量为
，结合向量的夹
角公式，即可求解；
（3）设
，则
，则可得平面
的一个法向量
，通
过点到平面距离的公式，得到参数
表示的一个代数式，结合题意即可求解.
【详解】（1）因为
平面
，且
平面
，所以
，
，
又因为
，所以
，
因为
与底面所成的角为
，所以
，故
，
以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立的空间直角坐标系
，如图
所示，
因为
，
，可得
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，可得
，
取
，则
，可得
，
设PB 与平面PCD 所成的角为
，
则
，
所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为
.
（2）根据题意，平面PBA 的一个法向量
，
由（1）知，平面
的一个法向量为
，
则
，
所以平面PBA 与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
（3）因为N 为AD 中点，所以
，
设
，
，则
，
解得
，故
，
∴
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，则
，即
，
∵
，
∴点
到平面
距离为
，
所以
，
综上，存在点
到平面
距离为
.
25．图①是直角梯形
，四边形
是边长为
的菱形，并且
，以
为折痕将
折起，使点
到达
的位置，且
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
?若存在，求出
的位置；若不存在，请
说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点
在棱
的中点位置
【分析】（1）取
的中点
，连接
，根据题中条件可得
由勾股定理逆定理
得：
，利用线面垂直的判定定理证
平面
，再利用面面垂直的判定定理证平面
平面
；
（2）建立空间直角坐标系，设
，利用空间向量求解
的值，即可确定点
的位置.
【详解】（1）
取
的中点
，连接
，
因为四边形
是边长为
的菱形，并且
，
所以
均为等边三角形，故
且
，
因为
，所以
，由勾股定理逆定理得：
，
又因为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
；
（2）
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
则
，
设
，故
，
解得：
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则
，
故
，即
，
令
，则
，故
，
其中
则
，解得：
，
即点
在棱
的中点位置时，使得点
到平面
的距离为
.
26．如图，在正三棱柱
中，
分别是
的中点.
(1)求点
到平面
的距离.
(2)在线段
上是否存在一点
，使
平面
？若存在，确定点
的位置；若不存在，也请说明理
由.
【答案】(1)
(2)存在，点
与点
重合
【分析】（1）使用空间向量法求解点到平面的距离即可；
（2）设在线段
上存在一点
，使
平面
，
，再根据线面垂直，从而线线垂
直，使用向量法求解即可.
【详解】（1）取
的中点
，过
作
的平行线为
轴，则
轴两两垂直，
以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
所以
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
令
，则
，
，
所以平面
的法向量为
.
点
到平面
的距离为
.
（2）假设在线段
上存在一点
，使
平面
.
设
，则
，
，
，
.
平面
，
平面
，
，
，
，解得
，
在线段
上存在一点
，使
平面
，此时点
与点
重合.
27．如图，在长方体
中，
，
，
分别是棱
，
，
的
中点.
(1)判断直线
与平面
的位置关系，并证明你的结论；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)在线段
上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离是
，若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
【答案】(1)相交但不垂直，证明见解析；
(2)
；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；
（3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可.
【详解】（1）
如图建立空间直角坐标系，则
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，即
，
则
，
连接
与
交于N 点，即直线
与平面
相交于N 点，
则直线
与平面
的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值
；
（2）由上知
，设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，即
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
；
（3）设存在
满足题意，不妨设
，
则
，
易知
，设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，即
，
而
，
所以点
到平面
的距离是
，所以不存在.
