文档内容
经全国中小学教材审定委员会 2005 年初审通过
普通高中课程标准实验教科书
数数 学学
选
修
坐
标
系
与
参
数
方
程
湖
南
教
育
出
版
社 湖南教育出版社
－
普
通
高
中
课
程
标
准
实
数 学
验
教
科
书
(cid:13523)(cid:14406)(cid:2372)(cid:2059)(cid:1147)(cid:2709)
数
学
4
4普通高中课程标准实验教科书
数 学
选 修 4-4
坐标系与参数方程主 编张景中黄楚芳
!! ! !
执行主编李尚志
!
本册主编王树禾
!
编 委郑志明查建国
!! ! !
蒋星耀
书书书前言
!
坐标系种种和美丽曲线的数学描述
大自然恩赐我们众多漂亮的图形人类在生活生产与科学研
!! ! "
究当中又创造了不少美妙的曲线 世纪以前数学家们梦寐以求
#!" !
用代数的方法来描述与定量研讨形形色色的曲线人真不愧为万物
#
之灵我们的前人如笛卡儿费马等杰出数学家创立解析几何
! " ! !
建立平面与空间的直角坐标系使得几何学代数化的理想得以实现
! #
坐标系是现代数学活动的舞台但有的曲线在直角坐标系中不便于
!
解析表达另类坐标系应运而生主要有平面极坐标系和空间
! ! ! " ! "
柱坐标系与球坐标系对于给定的几何对象选择适合于它的坐标
# #
系是至关重要的事选得不好会使研究工作别扭繁琐选得好
# # $ #
则使研究工作简洁顺利
#
我们已经知道在直角坐标系当中用有序的两个实数表示平
# #
面上点的位置用有序的三个实数表示空间点的位置进而有平面
# #
曲线的方程和空间曲线的方程
#
除平面直角坐标系与空间直角坐标系之外是否还有其他坐标
#
系呢有本书重点讲授极坐标系也讲到空间的柱坐标系和球坐
% # #
标系采用不同几何意义的参照物可以建立各种坐标系不同的
# # $
坐标系有各自的优缺点极坐标可以把一些曲线表达得十分简洁
# #
给某些曲线的表达与研究带来诸多方便
#
有些平面曲线的方程可以在平面直角坐标系中写成动点的纵坐
标是动点横坐标的函数或称曲线的普通方程但也存在大量的
! " #
美丽而有用的曲线它们的方程不便于甚至不可能写成普通方程
# #
可以通过一种叫作参数的中介而写成方程组如果把这种参数记成
#
则曲线的方程组形如
##
#"$! !#"#
"
$!$" !#"#
!!!!!
书书书前言
! 这种方程组就是曲线的参数方程
#
参数方程是描述曲线的重要工具之一参数方程描写曲线有许
#
多方便之处我们将采用参数方程来讨论许多有用又有趣的重要
#
曲线
#
本课程的重点是极坐标和曲线的参数方程
#
通过本课程的学习不仅使我们尽情感受数学的艺术性欣赏
# #
那些奇妙的曲线及其方程而且还会强化我们在实践中应用数学的
#
意识和解决问题的能力希望同学们从各种坐标系与参数方程的建
#
立当中领会发散思维与创新思维的重要性提高数形结合的观念和
#
技巧在数学园地上不仅是欣赏者而且努力使自己成为耕耘者
# # #
和收获者
#
!!!!%目录
!
第!章
!
坐标系
"!
坐标系的作用
!!!"!!
"#
平面直角坐标系中的伸缩变换
!!!"#!
"$
极坐标系
!!!"%!
"&
极坐标与平面直角坐标的互化
!!!"$!
"!!
阅读与思考一些重要平面曲线的极坐标方程
! ! "!’
柱坐标系
!!!"’!
"!(
球坐标系
!!!")!
"#*
习题
!! !!
"#$
数学文化数学家阿基米德和他的螺线
! "#)
第"章
!
参数方程
"#(
从抛物运动谈起
!!#"!!
"%*
直线的参数方程
!!#"#!
"%%
圆锥曲线的参数方程
!!#"%!
"%’
平摆线及其参数方程
!!#"$!
"%&
渐开线及其参数方程
!!#"’!
"%(
习题
!! !"
"$!
阅读与思考美丽曲线种种
! ! "$%
数学实验用计算机和教具绘制展现各种曲线
! ! "’$
数学文化数学家卡丹和帕斯卡
! ")#
课程总结报告参考题
")’
数学词汇中英文对照表
附 ! 录 ! "))
书书书１
第 章
坐标系
笛卡儿企图通过坐标系给几何引进新方
法， 他的成就远远超出他的期望． 坐标系是数
学中的双刃剑， 使得几何的目的可以通过代
数达到， 反过来， 给代数以几何解释． 坐标系
使代数同几何结成伴侣， 它们互相吸取新鲜
的活力， 以快速的步伐走向完善．
———拉格朗日坐标系与参数方程
!"!!坐标系的作用
在广袤无垠的平面上你可以把圆规张开使其两脚相距
如何刻画一个图形
! !
!!
的位置和形状是几何学
画一个圆但若问这个圆在哪里你可以指着它说就在这
的重要内容 !$%&! # !
# 里 这里是哪里呢很不精确如果我们在此平面上取定以圆规
!" # $ #
固定的一脚为原点的平面直角坐标系
%’()*+,-)./%00.123)*/+4+5
则可用方程
*/&&!
!"6""7!$$ !
精确地代数地表达出它是一个圆心在坐标原点半径为 的圆
! !$%& !
见图
! !#
有了坐标系不仅使几何图形的位置得以精确描绘而且可以
! !
使曲线的形象用代数方程来表达
#
图
! !
有了坐标系我们可以把单位圆内的点组成的集合 简洁地写成
! $
!
$7 ’%!!"&"!"6""#!()
!
把由半径为与的两个圆心在原点的同心圆围成的环形内部的点组
! "
成的点集 简洁地写成
$
"
$7 ’%!!"&"!#!"6""#8(#
"
有了坐标系才能写出曲线等几何图形的代数表达式进而通
! !
过对这个代数方程的研究得出该曲线的几何性质例如我们写一
! #
个方程
"7!"68!69! "
正因为有了坐标系我们说这个方程代表一条抛物线见图
! " % ! "&!
!!!!"第章坐标系
! !
图 有了坐标系实现
! " !! !
而且由代数的恒等变形得 了几何代数化和代数几
! 何化使代数与几何双
!
双受益
"7!"68!69 #
7%!6"&"6!!
从而知 时 最小最小值是 即此抛物线最低点在
!7;" !" ! "7!!
$ $
对称轴为 抛物线开口向上等几何性质上述几
%;"!!&! !7;"! #
何性质是有了坐标系之后借助代数的方法得到的反过来这
! ! ! !
种在坐标系中代数地对几何的研究又反馈给代数使我们凭借图
! !
这种坐标系中的图象与轴无交点推断方程
! " ! !
!"68!697$
无实数根等代数结论
#
坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物我们知道一条直
# !
线上的点的位置可以用一个实数来标志例如在轴上我们容易
! ! !
指出 这个点在何处在平面上的点的位置要用两个有序实数
!7! ) !!
组成的有序数组 来确定空间中的点则需用三个有序实数
"
%!!
"
& )
组成的有序数组 来确定
!! " !# %!! " !#& #
例如问一架直升机的位置现在在哪里我们发现它在东经
! !"$/3)31+>0.*/3)(*/.5
当 时是拉伸过程 时是压缩过程所以名符其
3)*/&# )’! !$#)#! !
实称为伸缩变换
#
相似地变换公式
!
%!(7*!%*’$&!
$ %
&"(7"!
!!!!9坐标系与参数方程
把 平面上的点 变换成 平面上的一点
!%" %!!"& !%" %!(!"(&!
这种变换称为平行于轴的伸缩变换当 时是拉伸过程
! ! *’! !$#*
时是压缩过程
有时称伸缩变换为 #! #
!!
压缩变换 把拉伸视 在伸缩变换过程中原点是不动点即原点 变成原点
" #! ! ! %$!$&
为广义的压缩 也称
当 时公式与表达的伸缩变换下每点都是
#$
为向着轴压缩变换 %$!$&) )7!!*7! ! $ %
! !
也称为向着轴的压 不动点即每点变成自身除此之外即 或 时除原点
% " ! ) ! )(!! *(! !
缩变换
# 外每点都移动了位置图形发生了伸缩
! ! #
伸缩变换把直线变成直线事实上设已知直线
$ ! !
"7)!6+
$
伸缩变换把平行直 在变换之下此直线变成直线
线 !! 变成平行直线 $ !
#
!
"(7)!(6+!!!"(7))!(6+)#
) $ $
截距与斜率都扩大了倍同理伸缩变换把直线变成直线
) # % #
例 已知正方形 的坐标分别是
!! ,-.$!,!-!.!$ %"!"&!
%!(7!!
问在伸缩变换 与
%;"!"&!%;"!;"&!%"!;"&!
$
!
"(7 "
& "
% !(7 ! !!的作用下正方形 分别变成什么图形
$ " ! ,-.$ $
&"(7"
解按变换
!
%!(7!!
$
!
"(7 "
& "
计算 变成
!,%!!"&7 %"!"& ,(%!(!"(&7 %"!!&!-%!!"&7
变成
%;"!"& -( %!(!"(&7 %;"!!&!
变成
.%!!"&7.%;"!;"& .(%!(!"(&7
变成
%;"!;!&!$ %!!"&7 %"!;"&
由于直线变成直线
$(%!(!"(&7%"!;!&! !
正方形 变成矩形 见图
,-.$ ,(-(.($(!
图
! 9# ! 9
!!!!?第章坐标系
同理在变换 ! !
!
% !(7 ! !!
"
$
&"(7"
作用下正方形 变成矩形 见图 所得图形是
! ,-.$ ,/-/./$/# ! 9#
正方形压扁了一半形成的面积是原来正方形的一半
" # ! #
例 在伸缩变换
#!
%!(7"!!
$
&"(7"
与伸缩变换
伸缩变换把圆变成
%!(7!! 圆 !! 或椭圆
$ #
&"(7""
作用下单位圆变成什么图形
! $
解在伸缩变换%!(7"!!的作用下单位圆 变成
! $ ! !"6""7!
&"(7"
%! &"
!( 6%"(&"7!!
"
!(" "("
6 7!#
"" !
变成的图形是长半轴为 短半轴为
"!
的椭圆见图 图
! ! ! ?# ! ? 由于伸缩变换是可
!!
逆的其逆变换也是伸
在伸缩变换%!(7!!的作用下单位圆变成椭圆 !
缩变换所以伸缩变换
$ ! !
把椭圆变成圆或椭圆
&"(7""
#
%"(&"
%!(&"6 7!#
""
见图
! @#
因为伸缩变换把直线变成直线所以伸缩变换
!
把多边形变成边数一致的多边形伸缩变换不能实
) 图
! @
现曲线段与直线段的互变例如它不能把圆变成正方形
! #
!!!!@坐标系与参数方程
!"$!极坐标系
为确定平面上点的位置平面直角坐标系不是唯一的平面坐标
!
系有时用一种叫作极坐标 的平面坐标来描
! ! %B0().%00.123)*/&
述点的位置和某种轨迹更为方便例如甲问乙张庄在哪里乙
# * $
答在从我们站的这里向东北 的地方乙回答的就是张庄的
* 9C& #
极坐标
#
在平面内取一定点 点叫作极点从 起引一条射线
%!% ) % %!!
这条从极点起的射线 叫作极轴选定长度单位例如 再选
%! ) % C&&!
定角度的正方向逆时针转角为正向 这种取定了极点极轴长
% &! + +
度单位与角度正向的坐标系统叫作极坐标系对于平面上的一个点
#
连接极点与 线段 之长叫作 点的极径或矢径
’! % ’! %’ $ ’ % +
或向径 极轴 为始边按逆时针转到 的角叫作 点的极角
&! %! %’ % ’ !
有序数对 叫作 点的极坐标例如上面的张庄其极坐标为
% $ !%& ’ #
见图
% #&
9! ! ! A#
8
图
! A
当 在极点时它的极径 极角可以取任何实数
’ % ! $7$! % #
在极坐标中若无特殊声明 是非负实数
! !
$
! $),$!6D&!
%)%;D!6D&#
当 时平面上的点与极坐标一一对应
$’$!%),$!"#& ! #
!!!!A第章坐标系
极坐标有诸多长处下面我们会重点来讨论但它也有它的缺 ! !
! !
点例如它并不像平面直角坐标系那样能建立与平面上的点的一
! !
一对应事实上对给定的与 由极坐标 可以唯一地确
# ! $ %! % $ !%&
定一个点 但是反过来平面上给定一点却可以写出这个点的
’! ! !
无数多个极坐标根据点的极坐标 的定义对于给定的点
# % $ !%& ! !
它的极径是唯一确定的但极角却可以有无穷多种如果我们写出
! !
$
一些环绕一点旋转
了它的极坐标 则 也是这个点的极坐标其中
!!
%
$
!%&! %
$
!%6"0#& ! 的点的轨迹用极坐标方
是任意整数当 时 表示从该点起绕极点逆时针转 程来表示一般会比较
0 # 0’$ !%6"0# %
简便
动了圈又回到原处 时 表示从该点起绕极点顺时 #
0 !0#$ !%6"0# %
针转动了圈又回到原处
0 #
在极坐标系中许多曲线的方程变得十分简洁而且几何形象
! !
也表达得十分明确所谓曲线的极坐标方程是指上的动点的极
# 1 1
坐标的极径与极角满足的方程 或
$72%%& 3%
$
!%&7$#
过极点直线的极坐标方程
%!& #
在平面直角坐标系中当直线斜率存在时过原点的直线方
! ! %
程形如
"7)!!
其中是实数叫作斜率 是此直线与 轴的夹角这
) ! #)7*)3%!% %! !
个角是多大一般从上不易看出来需要计算 但在极坐
! ) ! ).%*)3)#
标中我们取 轴正半轴为极轴则过极点的射线方程写成
! %! ! %
%7% %%),$!"#&&#
$ $
如果我们允许极径取负值约定 关于极点对称点 的
! ’% $ !%& ’(
极坐标写成 于是过原点与轴夹角为 的直线的极
’(%;$ !%&# ! %
$
*
坐标方程为
**%7%# !
$
图
! E
!!!!E坐标系与参数方程
如图 中与轴夹角为 过原点的直线的极坐标方程为
%#&
! E ! ?$<
:
#
%7 #
:
圆心在极点的圆的极坐标方程是
%"&
是 !! 动
方
点
程
的 $ 向 7 径 4 $恒
的
为
含义
其中 是圆的半径
$74
$
! "
4! 4 #
是个常数而方程中$ $
) 圆心在极轴过极点的圆的极坐标方程
$
无极角 表示 %:& ! #
74 %! %
可以$任意变化当向径 在图 中画的是过极点其中心在极
! ! !$ !
是常数极角任意时
! ! 轴的圆设其半径为
$
即动点保持与点等距 ! 4#
% $
地转动这正是圆规在 设此圆上任取的一点 的极坐标为
画圆 ! ’ % $ !
# 由于 是直径所以
%&! %, ! *%’,7E$%"# ! 上 表示 点
种坐标系称为柱坐标系见图 给 距 ) #+ 平 $ 面 + 的距离 ) 高
# ! )#! 图 ’$( !
! )# 低度 表示 点
了柱坐标 则可唯一地确定一个点 在柱坐标中 ! " "#" )
! ! #"#+"# )’ # 与轴确定的平面与
+ "
平面 的夹角 点
!#(&#*?"#"#!(?#*?"#+#!(?#*?"’
是柱
’
面
$+
平面
#)
与平
由平面直角坐标与极坐标的互化公式得空间直角坐标与柱坐 *# "
# 行于 平面高度为
’$( +
标的互化公式 的平面的公共点因为
’
在柱面上所以名
) * #
,’$!.,-"# 曰柱坐标
’
+($!-12"#
-+$+!
当动点绕定直线旋转时用柱坐标刻画动点的位置与轨迹一般
#
比空间直角坐标系方便一些
’
例一只蚂蚁沿半径为的圆柱面螺旋式地上升设空间直角坐
! ! #
标系的轴即此圆柱的轴此蚂蚁在轴方向匀速上升的速度为
+ # +
匀速绕轴转动的角速度为 求时刻蚂蚁所在的点的
-’&# + $’&# .
直角坐标与柱坐标
’
柱面上的曲线可
解设开始时 蚂蚁在 点如图 时
!! #
! !.$&" %!!#&#&" # ! )"’. 以考虑用柱坐标方程来
刻蚂蚁爬到 点 点的空间直角坐标为 刻画
# ) #) !’!."#(!."#+!.""# ’
!!!!8坐标系与参数方程
点在 平面的投影为
) ’$(
于是
),!’!."#(!."#&"#
,’!."$%$),%.,-"#
+
-(!."$%$),%-12"’
又 故
"$$.#%$),%$!#
,’!."$.,-$.#
+
-(!."$-12$.’
于是时刻蚂蚁所处的点
. )
的空间直角坐标为 图
! )"
!’!."#(!."#+!.""$!.,-$.#-12$.#-."’
点的柱坐标为
)
!
!
#"#+"$!!#$.#-."’
对于上述例题显然采用柱坐标比空间直角坐标更简明更方便
# #
而且从柱坐标上可以看出这只蚂蚁每时每刻距轴 皆为常数
$+ !$!#
第二个坐标数据 则清楚地表明它在时刻已旋转了多大的角
"$$. .
度从第三个坐标数据 清楚地表明它在时刻的高度这些情
# +$-. . #
形表明蚂蚁是沿图 中的空间等进螺旋线爬行所谓等进是指它
! )" #
等速上升又等速转动
’
!%’!球坐标系
让我们从地球的经纬度谈起地球近似一个球体过南极北极
’ #
的直径 与英国伦敦格林威治天文台这个点确定的平面与地球表
/0 #
面相交形成的圆上含格林威治天文台的半圆叫作本初子午线 上
$ %#
述平面绕地轴 旋转所得平面与地球表面的交线在南北极间的
# /0 %
弧线叫作子午线也叫经线设本初子午线向东的子午线是平面
# ’ 1 %
形成的 与之间的不大于 的夹角为 则称是东经的子
## % !6&@ " ! # 1 " !
午线同理有西经的子午线 东西经 是同一条子
’ " #&@.".!6&@’ !6&@
) )
午线叫作国际日期变更线 它通过美俄之间的白令海峡
# $ %# ’
)!!!&第章坐标系
取定地球表面一点 过 作平面与赤道平面平行 与地 ! !
)# ) & #&
球表面的交线叫作纬线纬线上一点与地球中心所连直线与赤道
# $
平面的夹角叫作 点的纬度北半球的点的纬度叫作北纬度同
’ ) # #
理有南纬度北极是北纬 南
’ 8&@#
极是南纬
8&@’
如果一地点例如北京所在
点在以为半
! "
!!) 2
径中心在原点的球面
的经度为东经 纬度为北纬
,
"@# 上 点在 点与
!
则说此地的位置为东经 #) ) +
轴确定的平面上此平
’@
!
# ! "@
!
#
面与正方向夹角
#
为
北纬 事实上应写成 东
’ "#
’@
!
"# !2#
)
点在顶点为原点
#
半
经 北纬 其中是地球的 顶角为的以轴为轴
"@ ! # ’@ ! "# 2 的圆锥 ( 面上 + 点是上
半径见图 #)
# ! )3! 述球面平面与锥面的
,
我们看到按上述定义的东经 图 公共点有序三数组
# ! )3 #
就是 点的
度西经度南纬度北纬度取地球半径和一个经度数值一个 !2#"# ( " )
球坐标因为其第一分
, , , # ,
#
纬度数值可以刻画地球上任何指定点的位置 量表示点 在半径为
# ’ 2 的球面上 ) 所以称
数学家沿用这种经度纬度的方法创立了所谓球坐标系即把 2 #
为球坐标
, # !2#"# ( " ’
它是平面极坐标系中添
东西经度统一成 把两种纬度统一用替代
" "#!(?#*?"# ( # ( 加了一个角度分量而
在图 中空间中任取一点 连接线段 点 向空间的推广故 ( 球坐
#(&#")! ! )3 # )# $)#$ #
标也可称为空间极坐标
是空间直角坐标系的原点过 作 平面的垂线垂足是 ’
# ) ’$( # ),#
连接线段 则称 的长是 点的矢径向径 以 轴为始
$),# $) ) ! "# $’
边逆时针为正的 的大小为 点的经度 以 轴为始
"$&’$), ) $ %# $+
边 的大小为 点的纬度 称有序三数组
($&+$) ) $ %# !2#"# ( "
为点 的球坐标 它与平面极坐标系有相似之处
) !A=;;.,,+<12=>%"# #
只不过点的位置需要有序三数组来标志球坐标比平面上点的极坐
#
标多了一个角度 所以球坐标也称空间极坐标其中
( # # 2#
(&#*?"#"#!(?#*?"# (#(&#")’
若图 中 点的直角坐标为 则 是点
! )3 ) !’#(#+"# !’#("
在 平面直角坐标系中的坐标由平面上的极坐标与直角坐标
), ’$( #
的关系知
,’$%$),%.,-"$2,.,-"#
+
-($%$),%-12"$2,-12"’
)!!!!坐标系与参数方程
其中
2,$%$),%’
过 点在 所在的平面内作 在轴上
) /$)), ))30$),#)3 + #
则 而在直角三角形 中
%)3)%$%$),%$2,# /$))3
%))3%
$-12( #
%$)%
其中 故 于是
%$)%$2# 2,$%$),%$2-12( #
,’$2-12(.,-"#
+
-($2-12(-12"!
又与互余 即 球坐标
( ’ #%)),%$2-12’$2.,-( # +$2.,-(’
与直角坐标的关系如下
&
由于 ,’$2-12(.,-"#
!! 2,$2-12( #
所以中的头两个式子
! +($2-12(-12"# !
是 点的极坐标
), !2,#
与直角坐标 -+$2.,-(’
" 的 " 互化第三个 ! 式 ’# 子 ( 是 " 由式得
# !
点的高度是 在
) # $) ,’)$2)-12) (.,-)"#
轴的投影所以
+ # +$
+()$2)-12) (-12)"#
2.,-(’
-+)$2).,-) (’
’)*()*+)$2)!-12) (.,-)"*-12) (-12)"*.,-)
(
"
$2)(-12)
(
!.,-)"*-12)""*.,-)
(
)
$2)(-12) (*.,-)
(
)
$2)!
即空间直角坐标系中的点 满足 其中
) !’#(#+" ’)*()*+)$2)#
是 与原点的距离如果动点 到原点的距离是常数
2 ) # ) $ 2 2’&#
&
则此种动点 组成的曲面是以为中心以 为半径的球面所以
) $ # 2 #
&
在球坐标系中方程
#
2$2 $
&
表示半径为中心在原点的球在空间直角坐标系中此球的方程为
2 # #
&
’)*()*+)$2)’ %
&
方程的表达方式不如球坐标方程简洁而且表达的几何含义
% $ # $
动点向径不变也比较直白明显球坐标在处理含平方和
! " ’ ’)*()*
)!!!)第章坐标系
的方程或有关球的问题时是比较方便的在处理空间旋转体的有 ! !
+) #
关问题时也往往提供方便
’
例一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角的圆锥面上从顶点出发盘
"
!
3
旋着向上爬行已知它上升的速度为 盘旋的角速度为
# -’&# $’&# 这个锥面启发我们
!!
求时刻此蚂蚁的位置
考虑球坐标
. ’ # ($ " #
解取此圆锥顶点为坐标原点见图
这个盘旋告诉我们
3
在
! $ # ! "
变上升的高度是
建立球坐标系设时刻蚂蚁在点 # +’
)4’ # . ) !2#
由题意
"
"# ( "# #"$$.#+$-.# ($ ’
而 3
槡
+ " 5
$.,-($.,- $ #
2 3 )
于是
槡 槡
) 5 ) 5
2$ +$ -.!
5 5
故得知时刻蚂蚁在球坐标系中的位置为
.
槡
)$
,) 5
-.#$.#
"1
#.#(&#*?"’ 图
-5 32 ! )4
蚂蚁爬行的轨迹方程为
槡
, ) 5
2$ -.#
5
+"$$.# &
"
($ ’
- 3
如果事先告知一个动点轨迹的球坐标方程为 我们可以从这种球
&#
坐标方程解读出这条曲线的性状
$ % &
由 及球坐标中的几何意义可知此曲线在轴与其
"
!!" ($ ( # +
3
轴线重合的圆锥面上此锥顶在原点 轴与圆锥轴母线夹角为
"
# #+ +
3
由 常数及的几何意义知此轨迹在绕轴
!)" "$$.!$’&# " " +
以的角速度无穷地逆时针旋转
$ +
槡
由 是常数说明此曲线上的动点的位置越来
)5
!5" 2$ -.#-’& #
5
越高等速上升
# ’
)!!!5坐标系与参数方程
习题
!! !!
设计一个伸缩变换把椭圆 ’) () 变成面积为的圆
!’!!" # * $! " +
8 !
设计一个伸缩变换把椭圆 ’) () 变成单位圆
!)" # * $! ’
! !3
在极坐标系中作出下列各点
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! "" ! "" ! ) " ! # " ! " "
%!# #4!# #5)# " #6!)#""#75# " #85# "’
5 ) 5 5 5
下列极坐标方程表示什么曲线且画出图象
5’ # &
"
!!" !$!&+!!!!!!!!!!!!)""$ !
3
写出下列图形的极坐标方程且画出图象已知点为极坐标
#’ # ! "&
过点 且平行于极轴的直线
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!!" !&# +
#
过点 且垂直于极轴的直线
! ""
!)" !&# +
#
过点 和极轴夹角的直线
"
!5" !!#&" +
3
圆心在 半径为的圆
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画出满足下列极坐标方程的曲线的图象
"’ &
!!" !.,-"$!+ !)" !$3.,-"+
!5" !$!&-12"+ !#" !$!&!!*.,-""’
写出圆 上从极点出发的弦的中点的轨迹方程
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把下列直角坐标方程化成极坐标方程
4’ &
!!"’)*()$!+ !)"’($!+
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把下列极坐标方程化成直角坐标方程
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画出方程 的图象
8’ ! !).,-"("-12""$5 ’
)!!!#第章坐标系
! !
写出满足下列条件的轨迹的极坐标方程且画其图象
!&’ # &
极径与极角成正比例
!!" +
极径与极角成反比例
!)" ’
把下列曲线的直角坐标方程化成极坐标方程
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)
把下列极坐标方程化成直角坐标方程
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3
定点 的极坐标为 已知极点 在直角坐标系 中的坐标为
!5’ ) !!&@"# $, ’$(
极轴平行于轴且极轴正方向与轴正向一致两个坐标系的长
!)#5"# ’ # ’ #
度单位也一致求点 的直角坐标
! ) ’
在柱坐标系中下列方程代表什么曲面或曲线
!#’ # -
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!!" !$!+!!!!!!)"+$!+!!!!!!5"+
-+$!’
在球坐标系中下列方程代表什么曲面或曲线且画图
!"’ # # ’
,2$!#
"
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3 "
-($
3
’
)!!!"数学文化
数学文化
数学家阿基米德和他的螺线
阿基米德 希腊公元前 公元前
!B+.C1D%<%-# # "()! "!""
阿基米德是历史上最伟大的数学家之一是古代全世界最伟大
#
的数学家美国科学史家贝尔 在数学人物一书中写道
’ !E%;;" . / &
任何一张列出开天辟地以来三位最伟大的数学家的名单上必定写
$ #
着阿基米德的名字另两位可能是牛顿和高斯不过以他们三位的
’ !
宏伟业绩和所处的时代背景来衡量或拿他们影响同时代或后代的
#
深邃与久远而言还是首推阿基米德
# ’%
阿基米德是古希腊一位天文学家之子由于阿基米德超人的聪
#
明与勤奋叙拉古的希伦王 很宠爱阿基米德这位天
# !F12GH1%+,2"
才少年哲学家伏尔泰 也认为 阿基米德
’ !I,;>=1+%#!38#!!446" &$
头脑里的想象力比荷马头脑中的要多
’%
阿基米德是发现且证明圆面积公式与球体积公式的第一人证
’
明圆面积为 时阿基米德运用了朴素的极限思想和反证法他是
"2) # #
)!!!3数学文化
最早运用反证法的数学家之一特别是建立球体积公式时他创造
! #
性地运用了定积分的思想且把数学与力学有机地结合起来解决
# #
了球体积这一当时的世界难题阿基米德深刻指出 力学便于我们 世纪伟大数学家
’ &$ !!)&
冯诺依曼
发现结论而几何学则能帮助我们证明结论一旦这种思想方法深 " !I,2J%/K
# ’
D=22# !8&50!8"4 "
入人心有些人他们或者是我的同代人或者是我们的后代必然 说 数学来源于经
# # # & $
验 他指出 数学的
会利用它发现我尚未发现的定理 !% &$
’% 最大灵感来源于自然科
阿基米德的数学创造非常之多数学史家希斯 学数学方法又支配着
# !H%=>C#!63&!
自
#
然科学的理论分支
在希腊数学一书中说 阿基米德的著作百分之百地应视 #
自然科学被打上数学的
!8#!" . / &$
为数学论文的纪念碑解题步骤的循循善诱论证层次的合理安排 烙印
’ # #
’%
严格摈弃论证中的枝蔓得体的修饰润色等等总之给人的完美
# # #
印象是如此之深使读者油然而生敬佩之情 现代数学史家克莱因
# ’%
评价说 阿基米德的严格性比牛顿和莱布尼茨著作中的高明得多
&$ ’%
莱布尼茨则中肯地说 了解阿基米德的人对后代杰出人物的成就
&$ #
就不会那么崇拜了
’%
阿基米德专心致志不谙世俗狂而不妄谦而不虚重视理
# # # #
性热心应用例如阿基米德的科学幽默 给我一个支点我可以
# ’ &$ #
撬动地球 是他理论型思维的艺术性表述又一例是国王金冠掺假
’% ’
案的判定希伦王令工匠打造了一顶金冠国王怀疑工匠掺了银子
’ # #
问阿基米德有无判断其真伪的办法阿基米德直言承认自己对此没
#
有现成的办法久思不得其解一日盆浴一部分水被他排出盆外
# ’ # #
同时感到身子变轻他灵感涌现发现身体的变轻与排出的水之重
’ #
量是相抵的从此他发现了著名的浮力定律据说阿基米德当时忘
# ’
乎所以赤身奔向人行道狂呼 答案找到了 对科学的赤诚和忘
# & $ ’%
我可见一斑
’
阿基米德是极坐标思想的奠基人他在其名著论螺线中论
# . /
述了阿基米德螺线和空间等进螺旋线的性质体现了极坐标与柱坐
#
标的原始创意
’
公元前世纪雅典的诡辩学派提出了三大几何作图问题阿基
" # #
米德利用他的螺线给出其中三等分角与化圆为方两大难题的非规尺
作图法
’
)!!!4数学文化
阿基米德还利用他创立的等进螺
旋线发明了一架抽水机见右图 当
# ’
时用这种抽水机来灌溉农田为沼泽
,
地排水或把船舱的积水抽出这种抽
#
水设备今日埃及等地还在用 阿基米
’
德一反古希腊数学家轻视应用的陋习 阿基米德的螺旋抽水机
#
他的许多著作都有实际应用的创造性内容
’
公元前 年罗马军入侵叙拉古当夜恰逢希腊女神节阿基
)!) # # #
米德正在沙盘旁聚精会神地研究几何问题敌兵闯入阿基米德的房
’
间阿基米德不知大难临头还劝告那个目不识丁的匪兵小心不要
# #
弄乱沙盘上的几何图可恨那兵卒手起刀落一位闻名千古的大科
# #
学家阿基米德的天才头颅跌落在血泊之中给人类的科学事业造成
1
了不可估量的重大损失
’
年西西里岛开工兴起一座大旅馆挖地基时发现了阿基
!83" # #
米德的坟墓这是考古史上最重大的发现之一阿基米德的墓碑上
# ’
刻着一个球和球的外切圆柱这是他的名著球与圆柱中的代表
# . /
图示
!
)!!!6２
第 章
参数方程
设参数， 写方程， 算坐标， 表图形．
时光逝， 角度增， 点运动， 曲线成．
方向定， 走直线， 绕中心， 画圆圈．
天行健， 圆锥线， 车轮滚， 出摆线．
造齿轮， 作速降， 曲线美， 应用宽．
ｙ
ｘ坐标系与参数方程
!"#!从抛物运动谈起
炮管与地面夹角为 一发炮弹以初速度射出不计空气阻
!! !" !
#
力试写出平面直角坐标系中炮弹飞行轨迹的方程
! $
取炮口为原点 轴取水平方向建立平面直角坐标系 把
!" ! "#$!
初速度向量分解成竖直分量 与水平分量 见图
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# $ "
即 则有关系式
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图
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于是炮弹在方向以 的速度做匀速直线运动在方
" "#&!" ’()! ! $
" #
向以初速度为 做竖直上抛运动以炮弹出膛的时刻为
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$ # #
时刻在落地前的任一时刻 炮弹 的位置向量
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其中炮弹水平飞行的距离为
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" #
炮弹竖直上抛达到的高度为
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是重力加速度于是时刻炮弹的坐标为
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或写成方程组
运动问题多考虑以
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时间为参数 $"&!"
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由式知当变量取定之后炮弹的位置 就可以算出来
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"!!!#第章参数方程
而变点 描画出的正是炮弹飞行轨迹的曲线这种表达炮弹飞 ! !
""!$# $
行曲线的方式不仅方便易于建立和理解而且还可以反映出变量
! !
的运动学意义例如方程组可以用公式来反映炮弹飞行的水平
’ ! "
距离以及高度与时间的关系
$
至于变量的取值范围也不难确定它是从炮弹出膛到落地的时
% !
间段令
!
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# !
由此以为未知数的一元二次方程解得 !!"
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可知中的
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! (
方程组称为炮弹飞行曲线的参数方程
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称为此参数方程的参数参变量以前我们学过的形如 或
% " #$ $&)""#
的曲线方程称为曲线的普通方程例如抛物线的方程
*""!$#&# ! $&
与椭圆的方程 就是普通方程
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"! 8 &% $
+! ,!
一般地在取定的平面直角坐标系 中如果一条曲线上
! "#$ ! -
任意一点的坐标 的每个分量都是某个变量的函数即
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$"&# "%#!
# $
%$&$ "%#!
而且对于的每个允许值由方程组确定的点 在 上
% ! $ ""!$# - !
则称是曲线的参数方程联系 之间关系的中介变量称为
$ - $ "!$ %
参数方程的参变量简称参数
! $
参数方程中的参数可以取为某种物理量例如时间也可以取
! !
为某种几何量例如角度还可以取没有什么明显含义的参数
! ! $
参数方程与普通方程是曲线方程的不同形式许多曲线既可
! !
以写出它的普通方程也可以建立它的参数方程两种方程可以互
! !
化但是有的曲线则可以建立它的参数方程而不能或很难写出
’ ! !
它的普通方程
$
以炮弹抛射为例从它的运动曲线的参数方程中解得
! "
"!!!%坐标系与参数方程
" & ##
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!" ’()! !
#
把代入 消去得
%
% $&!" )*+!$%1 (%! %
# !
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!!" !’()!! ’()!
#
是一个开口向下的抛物线它是抛物运动的普通方程
& ! $
例一架轰炸机在距地面 的高空匀速水平飞行飞行速度为
! . !
试建立从此飞机上投下的炸弹的运动方程且从中计算出炸弹落
!! !
#
地的时间和落点
$
解以投弹时飞机所在的点为坐标原点 以飞机飞行的方向为
! #!
轴的正方向 轴向下建立平面直角坐标系 见图
" !$ ! "#$! ! !$
飞机在水平方向的速度是 则投下的
!!
#
炸弹的水平速度也是 即炸弹以 的速度
!! !
# #
沿正向运动同时它又做自由落体运动
" ! !
两种运动的合成形成一条炸弹运动的曲线
!
图
在时刻炸弹的位置向量为
! !
/! % # " &&"""%#!
则 应满足下面的方程组
$"%##! ""%#!$"%# (
$""%#&!
#
%!
用时间为参数建立
!! # % ’
的物理化学等领域的 $"%#& (%!$
) % !
参数方程不仅有易于
! 即炸弹运动的参数方程其中参数是从 开始炸弹运行的时
建立的优点而且可以 ’ ! % %&#
!
从中得出有关物理量与 间变量令 则得
$ $&.!
时间的关系以及从中求
得变化的时间长短 槡
% !.
等等 .& (%!!!!%& ’
$ ! (
槡
即炸弹从投出到落地耗时为 弹着点为
!.
$
(
槡
!.
"&! !
#
(
槡
即炸弹向前沿水平方向运行了 才落地爆炸
!.
! $
#
(
由解得 代入 消去参数得
" %
’ %& ! $& (%! %
! !
#
"!!!!第章参数方程
! !
(
$& "!’ (
!!!
#
是顶点在原点的抛物线方程
( # $
!"!!直线的参数方程 角的始边是在
!! ! "
轴上向 轴正向的射
"
线按逆时针方向转至
过 平面上定点 与轴正向夹角为的直线 !
直线
"#$ & # "" # !$ # #! " ! / 几 $ 何问题多以角度
如何用参数方程来表达
"9*+/#/ * 为参数建立参数方程
!
设 是这条直线上的动点见图 过 作与轴 也可用别的变量为参数
& ""!$# ! ! "! & $ $
平行的直线 过 作与轴平行的直线 与交于点由
/! & " /!/ / 0 ’
% # ! % !
于
" " "
!&&&#&1#&
# #
&""!$#1""!$#
# #
&""1"!$1$#$
# #
于是当 时
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#
!!!!!"1"& & " &’()!!
# #
" 图
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#
& &
#
&)*+!$
! "
取向量的长度 为参数得直线上从 向右行的射线的参数
& " & ! / &
# #
方程为
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# #
# !
"
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#
8 &
#
&)*+!’
同理可得直线上从 向左行的射线的参数方程为
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#
$"&"1 & " &’()!!
# #
#
"
%$&$
#
1 &
#
&)*+!’
向量 的长度
令 最后得直线的参数方程为 "
& " & &%! / & # &
# 随 点的变
"
&& &
化而#变化是一个变
$"&" # 8%’()!! !
# 量我们把它记成
! %’
%$&$8%)*+!$
#
"!!!"坐标系与参数方程
其中 是参数
!&&#!##!%&"1;!8;#!% $
由于
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#
#
%$1$&%)*+!$
#
所以
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"1" ’()! #
#
$1$&-5+!""1"#’
# #
令 则得直线的点斜式方程
-5+!&1!
$1$&1""1"#! "
# #
其中
1&"1;!8;#$
直线的参数方程的建立途径不是唯一的我们知道如果非零
$ !
向量 与直线平行设
"
0 "+!,# / ! ""!
#
是上任意取定的一点 是直
$# / !""!$#
#
线上的动点见图 则向量
/ ! ! :$ ""1
与向量 平行是点
"!$1$# "+!,# ""!
# #
在直线上的充要条件即
$# / !
图
"1" $1$
#& #’ ! :
+ ,
令上式的值为 则得直线的参数方程以为参数
%! " % #(
$"&"8+%!
#
!!!!!!!!!!# %&"1;!8;#’ $
%$&$8,%!
#
由得
$
"1"&+%!!!$1$&,%!
# #
于是
,""1"#&+,%&+"$1$#!
# #
,
$1$& ""1"#’ %
# + #
记 则得到的就是一条直线的点斜式方程
,
&1! $
+
"!!!:第章参数方程
! !
!"$!圆锥曲线的参数方程
圆的参数方程
#’ ’ 圆也是一种圆锥曲
设曲线是以 为中心以 为半径的圆 !!
线 是一
- & # "" # !$ # # ) 2’# "’*0’9/#! "’(+*’)/’-*(+#!
则上任取的一点 与 的距离是 见图 个正圆锥表面与水平截
- &""!$# & ""!$ # 2! ! <$ 面截得的圆锥曲线是
# # #
!
过 作直线与轴平行
一种特殊的椭圆长短
& ""!$ # / " ! "
# # # 轴等长者
连接 则 过 作
#’
&&! &&&2’ & &3(/!
# #
为垂足设 与轴正向夹角为
3 ’ && " !!
#
则由正弦函数与余弦函数定义得
& # 3 &’()!!! &3 &)*+!’ 图
2 2 ! <
又 于是
&3&"1"!&3&$1$!
# # #
"1" $1$
#&’()!!!! #&)*+!’
2 2
最后得圆的参数方程为
-
$"&"82’()!! 为参数
#
# "!&&#!!##!! # !
%$&$82)*+!’
#
由 则得
)*+!!8’()!!&%!
避免多值性是参数
!!
""1"#! "$1$#! 方程的又一优点参数
# 8 # &’()!!8)*+!!&%! ’
2 2
方程+"&# "%#中的
#
"%#
""1"#!8 "$1$#!&2!’ " $&$ "%#
# # 与 都是的单值连
得出的正是此圆的普通方程 $ "%# %
续函数
" $
$
椭圆的参数方程
!’ ’
设是一个椭圆其标准方程为
- !
"! $!
8 &%’ $
+! ,!
其中 是两个正数分别是长半轴与短半轴之长
+!, ! $
由得
$
"! $!
&%1 ’ %
+! ,!
"!!!<坐标系与参数方程
由知
%
"
)%!
一个量的绝对值不 +
超 !! 过 一定可以找到 所以我们可以假设
%!
一个角 使得此量写
!
#
成 或 以 "
’()# )*+# ! &’()# ! #&&#!!##$ &
为多用因为当 +
’()# 时 ! 取遍 # 把代入得
&&#!#’ !’()# & %
上一切值
&1%!%’ $
$! $! $
’()! #8 &%!! &)*+! # !! &)*+#$
,! ,! ,
于是得椭圆的参数方程
$"&+’()# ! 为参数
# ! " #&&#!!##! # # ’
%$&,)*+#’
当 时椭圆变成圆心在原点半径为的圆这时式
+&, ! ! + ! ’
变成
$"&+’()# !
# !#&&#!!##$ (
%$&+)*+# !
这正是圆心为 半径 时参数方程的特
""!$#& "#!##! 2&+ ! !
# #
殊情形即圆心在原点的圆的参数方程
! $
例一条动直线上取定三个点
这个例题是希腊数 ! 4!
!!
学家鲍克勒斯 其中 两点分别在一个直角
">$?0(’97)! 5!6! 4!5
提出并解决
:%#,:3<# 的两边上滑动求点的轨迹
的一个数学史上的名题
’ 6 $
$
解把直角的两边视为正半轴与
! "
正半轴直线上的两点与分别在
$ ! 5 4
轴上与 轴上滑动见图 设
" $ ! ! =!
图
46&+!56&,$
! =
设点坐标为 则
6 ""!$#!*#54&# !
$"&+’()# ! 为参数
# " # # )
%$&,)*+#’
恰为椭圆 的参数方程即点的轨迹是以与为半轴
"! $!
) 8 &% ! 6 + ,
+! ,!
的一个椭圆
$
"!!!=第章参数方程
相似地可以证明当点在 线段之外时 点的轨迹仍是 ! !
! 6 45 !6
椭圆
$
根据上述例题的结论可以如下制作一个画椭圆的所谓椭圆规
! - .(
请同学们自己证明
在十字形金属或木板上做两条互 (
" # 椭圆规上 点不
&
相垂直的槽在一条直尺上钉上两个小 在线段 上时 点
! 45 !&
的轨迹仍是椭圆
钉子与 它们可分别在纵横槽中滑 $
4 5!
动在直尺上任取定一个与 两点
! 4!5
相异的点 在 点挖一个孔孔中
&! & ! 图
插入铅笔使直尺转动一周则画出一 ! @
! !
个椭圆见图
! ! @$
双曲线的参数方程
$’ ’
从双曲线的标准方程
"! $!
1 &% *
+! ,!
可以看出 于是 故可以把写成
"! $! " "
&%8 +%! +%! 一个量绝对值不小
+! ,! + + !!
于 则可找到一个角
%!
" % 度 使得此量写成
& ! #&&#!!##’ # !
+ ’()#
代入得 %
$
*
’()#
同一曲线的参数方
程未必唯一例如双曲
$ !
&-5+#$
, 线 "! $! 的参数方
从而得出双曲线的参数方程 1 &%
+! ,!
程还有
!
$ "& + ! 为参数 $ "&+ /%8/1% &+’A%!
# ’()# !! " #&&#!!##! # # # !
/%1/1%
%$&,-5+#’ % $&, ! &,)A%!
抛物线的参数方程
!%&"1;!8;#$
%’ ’
抛物线 的标准方程为 其中 ’A%& /%8/1% ! 叫
",505B(95# !
作双曲余弦
/
$!&!7"!
/%1/1% 叫
令 作参数则得抛物线的参数方程如下 )A%& !
!
$&%!% ! ( 作双曲正弦
$
%
$ "& %!!
!7
#
%&"1;!8;#’
%$&%!
"!!!@坐标系与参数方程
!"%!平摆线及其参数方程
一个圆沿此圆所在的平面内一直线滚动圆周上某个点 运动
! &
的轨迹称为平摆线 也称为旋轮线若滚圆直径为
",/+C7974’70./#! ’
则图 中的曲线 就是平摆线的一拱
, -
8&!+! ! 3 &&&&& - .$
% ! " :
数学史上研究旋轮
!!
线 的第一人是
"’D’9(*C#
法国天才数学家帕斯卡
"?5)’59!%=!",%==!#!
他称旋轮线是几何学
-
中的美人
."-A/A/9/+(E
由于它有许
F/(4/-0D#G
多初等几何难以解决的
图
问题被 世纪数学家
! 3
! %@ 平摆线的普通方程 很难直接求得我们来推导它
戏称为争吵的祸根
- .
*""!$#&# !
的参数方程
"-A/5,,9/(EC*)’(0C#$
$
把自行车外胎上贴 在直角坐标系 中设圆与轴切于原点 这时圆上的切
上 ! 一 ! 小块黄色胶带开 "#$ ! " #!
! 点为 设此圆沿轴的正向向前滚动动点 的坐标为
始时让这块胶带在地平
&! " ! & ""!$#$
面上再慢慢沿直线推 当圆滚动过圆心角之
!
自行车前进盯住这块 !
! 后圆心移到 点圆
胶带看它在空中画出
! ! 5 !
一条什么曲线也可以
与轴切于 点见图
’
制作如图 所示的 " 4 !
! 3 这时 点已升至
教具来观察旋轮线的形
! 2$ &
成过程有条件的可以
轴上方作 图
$
用计算机软件来演示旋 " ’ &9(#"! ! 2
轮线的生成过程 为垂足连接 作 垂足为 于是线段 之长等
$ 9 / 54! &6(54! 6$ #4
于弧 之长取的单位为弧度则 点的坐标 满足
0
&4 ’ ! ! & ""!$#
" ၢ’
而 之长等于 之长 之长为 其中是圆的半径故
0 0
#4 &4 !&4 +!! + !
于是得
#4&+!!94&&6&+)*+!!
容易看出 "&+!1+)*+!$
$&9&&46&45165&+165!
"!!!3第章参数方程
而 于是得 ! !
65&+’()!!
$&+1+’()!$
最后得平摆线的参数方程为
$"&+"!1)*+!#! 为参数
#
"!&"1;!8;#!! #
%$&+"%1’()!#!
其中参数是过圆周上点 的半径与过圆与轴切点的半径的夹角
! & " $
圆滚动一周时 点由原点先是上升后是下降再落在轴上
!& ! " ! 意大利大科学家伽
点滚过的水平距离为 这时 点画出的曲线叫作平摆线的 !!
利略
& !+#! !& "H59*9/*!%<=:,
曾建议用平摆线
一拱 %=:!#
$ 的一拱来修筑拱桥的桥
当 时则产生平摆线的第二拱圆不停地滚动 洞我国古建筑赵州桥
#&&!#!:#’ ! $ !
的
$
桥洞也近似成平摆
圆心角每转过 点则描绘出一拱如果此圆从原点出发向左滚
!#!& / ! 线形
$
则会产生双向无穷多拱的整条平摆线每拱的最高点为滚圆直径
$ !+
那么高
$
!"&!渐开线及其参数方程 显然渐开线也可
!! !
以视为直线在圆上滚动
时直线上指定点的
在一个固定的圆盘的圆周上缠绕着一条无弹性的柔顺细线在 !
轨迹
!
$
此细线的外端系上一支铅笔把此线拉紧保持与此圆相切地逐渐展
!
开铅笔画出的曲线称为此圆周的渐开线
! "F05C7599D(,/+7,’70./#!
此圆称为渐开线的基圆见图
! ! %#’
下面我们建立圆的渐开线的参数方程
$
设渐开线的基圆中心为平面直角坐标系 的坐标原点 基
"#$ #!
圆半径为 细线的外端初始在点 点是正半轴与基圆交点
2! 4 !4 " !
见图
! %%$
设 是此圆渐开线上的一个动点 是基圆的切线
&""!$# !5& !
为切点连接 以 为始边 我们设定
5 ! #5!*4#5 #4 !*4#5&!! !
为圆的渐开线的参数方程的参数由圆的渐开线的定义 与 等
0
$ !5& 45
长 的长度是 以弧度为单位
0
!45 2!!! $
"!!!2坐标系与参数方程
在运动场上拿一根
!!
跳高的横杆紧贴在铅球
投掷圈上在地面上拨
!
动这一横杆看它的端
!
点画出一条什么曲线
*
或用微机软件演示渐开
图 图
线的生成过程 ! %# ! %%
$ 作 垂足分别为 三点
&:(#"!56(#"!&9(56! :!6!9 !
由于 是切线故 于是 进而可得
5& ! &5(#5! *&59&*4#5&!!
!!!!"&#:ʮ:
ʱ&
&2’()!85&)*+!’
而 故得
0
5&&45&2!!
!!!!"&2’()!82!)*+!$ !
!!!!$&:&&69&65195
&2)*+!15&’()*&59’
而 故得
0
5&&45&2!!*&59&!!
$&2)*+!12!’()!$ "
由与 我们得出圆渐开线的参数方程是
! "!
$"&2"’()!8!)*+!#! 为参数
# "! # $
%$&2")*+!1!’()!#$
只要从计算器上求得 与 的值则可通过 得
’()! )*+! ! 8)1)I
出渐开线上一点 的位置如此对不同的值可以画出此
""!$# ! ! ! !
渐开线上的许多点进而可以描绘其草图由此我们可以体会到渐
! !
开线参数方程的优越性而从已很
! $
难推导出渐开线的形如 的普
$&)""#
通方程了
$
由渐开线定义关于同一个基圆
! !
存在两条渐开线两者关于轴对称
! " !
见图
! %!$ 图
! %!
:!!!#第章参数方程
! !
习题
!! !!
把下列参数方程化成普通方程其中是参数
%$ ! % (
$"&"%8+%! $"&!7%!!
"%## !!!!!!!!!"!## "7’##’
%$&$%8,%/ %$&!7%!
把下列普通方程化成参数方程
!$ (
设 为参数写出 的参数方程
"%# "&+-5+!!! ! "$&+! /
设 为参数写出 "! $! 的参数方程
"!# $&,-5+!!! ! 1 &% /
+! ,!
设 为参数写出 的参
""# "&%8!’()!!! ! %@"!1%="$8:$!1":"8%=$8%"&#
数方程
$
把下列参数方程化成普通方程其中与是参数 并说明各表示什么曲线
"$ " % # #! (
$"&"1!%! $"&:’()# !
"%## !!!! "!##
%$&1%1:%/ %$&")*+# /
+" %#
$"& %8 !
! % $"&<’()#8!!
""## !!!":##
%$&
,
!
"
%1
%
%#
/
%$&!)*+#1"$
设弹道的参数方程为
:$
$"&!#%’()%!
为参数
!!!!!!!!!!!# "% #
%
%
$&!#%)*+%1
!
(%!$
当发射角 时写出弹道的普通方程和射程
#
"%# %& ! /
"
设 是常数 是变量证明 时射程最大
#
"!# !# !% ! %&
:
! $
已知弹道的参数方程为
<$
$"&!#%’()%!
为参数
!!!!!!!!!!!# "% #
%
%
$&!#%)*+%1
!
(%!$
求炮弹从发射到落地的时间
"%# /
求炮弹的最大高度
"!# $
画出下列参数方程的图象草图
=$ (
$"&"%1& &"$ "
2
拱动圆滚周 点又回到出发点
! " !& 4$
%
是整数时外摆线有几个拱 是既约分数
= = ? ?
>& ! * >& & ! !
2 2 7 7
当动圆绕定圆周描出个拱之后 点是否可回归到 图
7 ? !& 4 * !
%
中
= "
%3 !>& & $
2 !
图
! %3
下面推导外摆线的参数方程
$
与 外切于 由向 作垂线 是垂足由
0# 06 & ! > ! 4
2 %
回到 构成闭曲线若 是既约分数则内摆线有
= ? ? 是定圆与动圆的
4 % ! >& 2 & 7 ! 7 ! ? 半 !! 径 > 之比当是整数
! >
个拱形成由 始到 止的闭曲线若 是无理数则内摆 时内摆线是有个角
! 4 4 / >& = ! 的星 ! 形曲线它 > 们有内
% % 2 !
线构不成闭曲线动点 从 出发再也回不到 为什么 凹而对称的美好形象
$
! & 4 ! 4! *
% %
当 时内摆线有拱见图
>&: ! : ! ! !#!
此四角星称为星形线
")-50’70./#$
由参数方程 这时 即
’! >&:! =&
于是星形线的参数方
:2!/;&=12&"2!
程为
$"&"2’()%82’()"%!
# (
%$&"2)*+%12)*+"%’ 图
! !# 星形线的一个重要
由于
!!
!"’()%8’()"%&:’()"%!")*+%1)*+"%&:)*+"%! 特征是它的切线夹在坐
故星形线的参数方程可以化简为 标轴间的线段等长
$
$"&:2’()"%!
# )
%$&:2)*+"%$
由得
)
槡 槡
" "
" $
!!!!!!!’()%& !!!)*+%& !
:2 :2
! ! ! !
""#" "$#" ""#" "$#"
!!!!!!! 8 & 8 &%$
:2 :2 = =
于是得星形线的普通方程为
" ! "8$ ! "&= ! "! *
其中为定圆半径
= $
变幅外摆线和变幅内摆线
""# ’
当一个动圆与另一个定圆外切地滚动时在动圆一条指定的半
!
径上或其延长线上的一点 的轨迹叫作变幅外摆线或变幅圆外旋
& !
轮线
$
与前面推理相似地可以得到变幅外摆线的参数方程为
:!!!@坐标系与参数方程
$ "&"=82#’()%1&’() =82 %!
2
# +
=82
$&"=82#)*+%1&)*+ %!
% 2
其中是定圆半径 是动圆半径原点是定圆中心
6&
= !&& !2 ! # !6
2
是动圆中心 时 的轨迹叫作长幅外摆线 时 的
$&’% !& !#/&/% !&
轨迹叫作短幅外摆线
$
长幅外摆线如图 所示 时短幅外摆线如
=
>& &=! ! !% !>&:
2
图 所示
! !! $
= >&:
>& &=
2 图
图 ! !!
! !%
下面讨论变幅内摆线
!! $
定圆内切圆的指定半径上或半径延长线上一个指定点 的轨迹
&
叫作变幅内摆线
’
与前面相似地可以得出变幅内摆线的参数方程为
$ "&"=12#’()%8&’() =12 %!
2
# ,-.
=12
$&"=12#)*+%1&)*+ %$
% 2
其中是定圆半径 是动圆内切圆半径图 中画的是
= !2 " # $ ! !" >&
的长幅内摆线
3 $
图 是 的短幅内摆线
! !: >&< $
:!!!3第章参数方程
! !
图
图
! !"
! !:
卡丹转盘和齿轮
!’ ’
卡丹转盘 也称卡丹旋轮一个定圆半径
"J50C5+(-70+KA//9#! $
为 一个小圆半径为 小圆内切地沿定圆滚动这个动
=! 2!=&!2! !
圆即卡丹转盘
$
数学游戏与数学玩
若在动圆半径上取定一点 设定圆圆心在直角坐标系 的 !!
&! "#$ 具中都含有引人入胜的
原点则 点的轨迹是一条短幅内摆线由公式得 点轨迹的参 乃至道理深刻的数学学
! & ! ,-. & 问应该多玩玩这种游
数方程为 !
戏或玩具
$
$"&2’()%8&’()%&"28&#’()%!
#
%$&2)*+%1&)*+%&"21&#)*+%$
"! $!
8 &%$ ,-/
"28&#! "21&#!
可见卡丹转盘动圆内一点的轨迹是椭圆
" # $
我们知道九大行星的运动轨道是椭圆可见行星运动轨道是
! !
短幅内摆线
$
当 时 变成长半轴
%
&& !2&% !,-/
!
为 短半轴为的椭圆见图
" %
! ! ! !<’
! !
设定不同的与 可以得出任
2 &!
意指定的椭圆事实上由得长半
! ! ,-/
轴与短半轴应满足
+ ,
$+&28&!
# 图
%,&21&$ ! !<
:!!!2坐标系与参数方程
即由欲画出的椭圆的长短半轴可以算出卡丹转盘的半径和
! 2 &
以及点 的位置
& $
摆线的另一个重要应用是用来设计齿轮的齿廓形状圆摆线齿轮
$
如图 所示
! != $
你想当一名有重要
!!
发明的工程师吗如果
*
想就应当多学点数
!
学搞齿轮的工程技术
!
人员岂止与渐开线或摆
线打交道数学是科学
$
技术之母
$
图
! !=
图 中 与 是两个相外切定圆 与 是两
! != !0# 0# !06 06
% ! % !
个分别与 相内切的动圆 是 沿 滚动时外摆线
0
0#!0# $&< 06 0#
% ! % !
上一段弧 是 沿 滚动形成的内摆线上的一段弧
0
/&0 06 0# $
! !
是摆线齿轮上一个齿的轮廓线它是以 的一条半
0&<<;&;0; $ 0#
!
径的延长线为对称轴的对称图形齿轮上的其他齿与 是
! 0&<<;&;0;
全等形
$
摆线齿轮多在钟表中使用这种齿轮传动时两齿的啮合充分摩
$ !
擦小机件结构密切紧凑使得机构精密准确
! ! $
机械设计中更多的是采用渐开线齿
轮如图 所示这种齿轮的齿形的
! ! !@ $
一侧是图中以为直径的基圆的渐开线的
一段 每齿是关于基圆半径延长线对
0
45!
称的形状任二齿全等基圆外的所谓齿
! $
项与基圆内两齿之间的齿槽恰能吻合这
$
种齿轮具有省力耐用噪音小传动力
) ) )
图
量大等优点且两齿轮啮合时摩擦很小
! !@
! !
/0+(799*!
呢后来大数学家欧 提出如下所谓速降线 问题 在
* ! %==@,%@:3# "E5)-/)-9/+C*+F’70./# (-
拉
"L79/0!%@#@,%@3"# 连接两个给定点的无限多条曲线当中选择这样一条曲线使得用
和拉格朗日 ! !
"M5F05+F/!
由速降线 一狭槽代替这条曲线时狭槽较高点上放置的小球释放后以最短
%@"=,%3%"# ! !
问题推广研究范围而创
的时间滑到狭槽另一端点
造出一门叫作变分
-
’.
法的重要数学分支 年牛顿莱布尼茨伯努利等几位领袖级数学家都给出
. $ %=2@ ! ) )
了速降线的答案它是一条平摆线
( $
如果把平摆线一拱从最高点剪断再做成图 的结构近似故
! ! !2 !
仔细观察衣食住行 宫太和殿屋顶的曲线这种屋顶在大雨天会使雨水最快地从房顶流走
!! ! $
当中的各种小事
- .!
你也许会发现不俗的数
学概念
$
图
! !2
收割机翻土机运作中的摆线
"!# ) ’
全喂入式联合收割机前方安装平躺的一个正六有的是正
- . "
五棱柱形拨禾轮 拨禾轮的横截面是一个正六五边形考
# - .! " # !
虑此正多边形的外接圆在平行于地平面的一条直线上滚动则知拨
!
&:
一拱 与此同时左侧的那扇门亦描出星形线的一拱
#! ! $
图
! "!
?%&@:))&’5(%7@9A97@B #
伸缩变换
;@(C7D@(%(’9D)&7@(%;7@&(%7@ *
极坐标
E);%&:))&’5(%7@ <
螺线
9E5&%;:?&F@ ""
玫瑰线
&)9@:?&F@ "*
柱坐标
:A;5(’@&:))&’5(%7@ "G
球坐标
H%;;:))&’5(%7@ #"
阿基米德
I&:D5B@’@9 #!
贝尔
J@;; #!
希伦王
K5(CL5@&)( #!
伏尔泰
M);7%5&@ #!
冯诺依曼
- M)(N@?B%(( #,
希斯
L@%7D #,
位置向量
E)9575)(F@:7)& /+
参数方程
E%&%B@7&5:@>?%75)( /"
直线
;5(@ //
圆
:5&:;@ /*
圆锥曲线
:)(5:9@:75)( /*
鲍克勒斯
J-8&):;?9 /!
抛物线
E%&%H);% /,
平摆线
E@(’?;?B:?&F@ /<
!!!!!附录
旋轮线 !
:A:;)5’ /<
帕斯卡
8%9:%; /<
伽利略
O%;5;@5 /G
渐开线
C&%’?%;;A)E@(?E:?&F@ /G
外摆线
)?795’@E@(’?;?B:?&F@ 0*
内摆线
5(95’@E@(’?;?B:?&F@ 0!
星形线
97%&:?&F@ 0,
卡丹转盘
$%&’%()7?&(PD@@; 0G
叶形线
;@%=:?&F@ *"
约翰伯努利
- Q%D%BJ@&()?;;5 *#
速降线
=%97@97;@(’5(C:?&F@ *#
欧拉
R?;@& *#
拉格朗日
S%C&%(C@ *#
卡丹
$%&’%() !#
!!!!,普通高中课程标准实验教科书
数学
!
选修
! !
坐标系与参数方程
责任编辑邹伟华
!
湖南教育出版社出版长沙市韶山北路 号
" !!" #
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